Соседство (математика)

В топологии и смежных областях математики окрестность окрестность (или ) — одно из основных понятий топологического пространства . Оно тесно связано с понятиями открытой площадки и интерьера . Интуитивно говоря, окрестность точки — это набор точек, содержащий эту точку, где можно отойти на некоторую величину в любом направлении от этой точки, не выходя из множества.

Определения [ править ]

Окрестность точки [ править ]

Если $X$ является топологическим пространством и $p$ это точка в $X,$ тогда район ^[1] из $p$ является подмножеством $V$ из $X$ который включает в себя открытый набор $U$ содержащий $p$ ,

p\in U\subseteq V\subseteq X.

Это эквивалентно точке $p\in X$ принадлежащий внутренности топологической $V$ в $X.$

Соседство $V$ не обязательно должно быть открытым подмножеством $X.$ Когда $V$ открыт (соответственно закрыт, компактен и т. д.) в $X,$ это называется открытое соседство ^[2](соответственно закрытое соседство, компактное соседство и т. д.). Некоторые авторы ^[3] требуют, чтобы районы были открытыми, поэтому важно учитывать их условности.

Множество, являющееся окрестностью каждой из своих точек, является открытым, поскольку его можно выразить как объединение открытых множеств, содержащих каждую из его точек. Замкнутый прямоугольник, как показано на рисунке, не является окрестностью всех его точек; точки на краях или углах прямоугольника не содержатся ни в каком открытом множестве, содержащемся внутри прямоугольника.

Совокупность всех окрестностей точки называется системой окрестностей в этой точке.

Окрестности множества [ править ]

Если $S$ является подмножеством топологического пространства $X$ то окрестность , $S$ это набор $V$ который включает в себя открытый набор $U$ содержащий $S$ ,

S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.

Отсюда следует, что набор

V

это район

S

тогда и только тогда, когда она является окрестностью всех точек из

S.

Более того,

V

это район

S

если и только если

S

часть интерьера это

V.

Район

S

это также открытое подмножество

X

называется открытый район

S.

Окрестность точки — лишь частный случай этого определения.

В метрическом пространстве [ править ]

Эпсилон-окрестность числа

a

на действительной числовой прямой.

В метрическом пространстве $M=(X,d),$ множество $V$ является окрестностью точки $p$ если существует открытый шар с центром $p$ и радиус $r>0,$ такой, что

B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}

содержится в

V.

$V$ называется равномерной окрестностью множества $S$ если существует положительное число $r$ такой, что для всех элементов $p$ из $S,$

B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}

содержится в

V.

При этом же условии для $r>0,$ тот $r$ -район $S_{r}$ из набора $S$ это совокупность всех точек $X$ находящиеся на расстоянии меньшем $r$ от $S$ (или, что то же самое, $S_{r}$ является объединением всех открытых шаров радиуса $r$ которые сосредоточены в какой-то точке $S$ ):

S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).

Из этого непосредственно следует, что $r$ -окрестность является однородной окрестностью, и что множество является равномерным окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит $r$ -соседство за некоторую величину $r.$

Примеры [ править ]

Множество M является окрестностью числа a , поскольку существует ε-окрестность числа a , которая является подмножеством числа M.

Учитывая набор действительных чисел $\mathbb {R}$ с обычной евклидовой метрикой и подмножеством $V$ определяется как

V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),

затем

V

является окрестностью множества

\mathbb {N}

натуральных чисел , но не является равномерной окрестностью этого множества.

Топология окрестностей [ править ]

Приведенное выше определение полезно, если понятие открытого множества уже определено. Существует альтернативный способ определения топологии: сначала определить систему окрестностей , а затем открыть множества как те множества, которые содержат окрестность каждой из своих точек.

Система соседства на $X$ это назначение фильтра $N(x)$ подмножеств $X$ для каждого $x$ в $X,$ такой, что

смысл $x$ является элементом каждого $U$ в $N(x)$
каждый $U$ в $N(x)$ содержит некоторые $V$ в $N(x)$ такой, что для каждого $y$ в $V,$ $U$ в $N(y).$

Можно показать, что оба определения совместимы, то есть топология, полученная из системы соседства, определенной с использованием открытых множеств, является исходной, и наоборот, если исходить из системы соседства.

Однородные кварталы [ править ]

В едином пространстве $S=(X,\Phi ),$ $V$ называется окрестностью однородной $P$ если есть окружение $U\in \Phi$ такой, что $V$ содержит все точки $X$ которые $U$ -близко к какой-то точке $P;$ то есть, $U[x]\subseteq V$ для всех $x\in P.$

Удаленный район [ править ]

Удаленная окрестность точки $p$ (иногда называемая проколотой окрестностью ) — это окрестность $p,$ без $\{p\}.$ Например, интервал $(-1,1)=\{y:-1<y<1\}$ это район $p=0$ в реальной строке , поэтому набор $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}$ является удаленным районом $0.$ Удаленная окрестность данной точки на самом деле не является окрестностью этой точки. Понятие удаленной окрестности встречается, в определении предела функции и предельных точек. помимо прочего, ^[4]

См. также [ править ]

Изолированная точка - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
Система окрестностей — (для точки x) совокупность всех окрестностей для точки x.
Регион (математика) — связанное открытое подмножество топологического пространства.
Трубчатая окрестность - окрестность подмногообразия, гомеоморфного нормальному расслоению этого подмногообразия.

Примечания [ править ]

^ Уиллард 2004 , Определение 4.1.
^ Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Стерлинга К. Берберяна. Спрингер. п. 6 . ISBN 0-387-90972-9 . Согласно этому определению, открытая окрестность $x$ представляет собой не что иное, как открытое подмножество $E$ который содержит $x.$
^ Энгелькинг 1989 , стр. 12.
^ Питерс, Чарльз (2022). «Профессор Чарльз Питерс» (PDF) . Хьюстонский математический университет . Проверено 3 апреля 2022 г.

Ссылки [ править ]

Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3 .
Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4 .
Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8 .
Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Нью-Йорк: Springer-Publishing. ISBN 0-387-90125-6 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .

[FOOTNOTEWillard2004Definition_4.1-1] Уиллард 2004 , Определение 4.1.

[2] Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Стерлинга К. Берберяна. Спрингер. п. 6 . ISBN 0-387-90972-9 . Согласно этому определению, открытая окрестность $x$ представляет собой не что иное, как открытое подмножество $E$ который содержит $x.$

[FOOTNOTEEngelking198912-3] Энгелькинг 1989 , стр. 12.

[4] Питерс, Чарльз (2022). «Профессор Чарльз Питерс» (PDF) . Хьюстонский математический университет . Проверено 3 апреля 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]