Единое пространство

В математической области топологии однородное пространство — это набор с дополнительной структурой , который используется для определения однородных свойств , таких как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость . Равномерные пространства обобщают метрические пространства и топологические группы , но эта концепция предназначена для формулировки самых слабых аксиом, необходимых для большинства доказательств анализа .

Помимо обычных свойств топологической структуры, в однородном пространстве формализуются понятия относительной близости и близости точек. Другими словами, идеи типа « x ближе к a, чем y к b » имеют смысл в однородных пространствах. Для сравнения: в общем топологическом пространстве для множеств A, B имеет смысл сказать, что точка x находится сколь угодно близко к A (т. е. в замыкании A ) , или, возможно, что A является меньшей окрестностью x , чем B. , но понятия близости точек и относительной близости не могут быть хорошо описаны только топологической структурой.

Определение

Есть три эквивалентных определения однородного пространства. Все они представляют собой пространство, оснащенное единой структурой.

Определение антуража

Это определение адаптирует представление топологического пространства в терминах систем окрестностей . Непустая коллекция $\Phi$ подмножеств $X\times X$ это однородная структура (или однородность ), если он удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Если $U\in \Phi$ затем $\Delta \subseteq U,$ где $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ это диагональ на $X\times X.$
2. Если $U\in \Phi$ и $U\subseteq V\subseteq X\times X$ затем $V\in \Phi .$
3. Если $U\in \Phi$ и $V\in \Phi$ затем $U\cap V\in \Phi .$
4. Если $U\in \Phi$ тогда есть что-то $V\in \Phi$ такой, что $V\circ V\subseteq U$, где $V\circ V$ обозначает совокупность $V$ с самим собой. Комбинация подмножеств двух $V$ и $U$ из $X\times X$ определяется $$V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.$$
5. Если $U\in \Phi$ затем $U^{-1}\in \Phi ,$ где $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ является обратным ​ $U.$

Непустота $\Phi$ вместе с (2) и (3) утверждает, что $\Phi$ это фильтр на $X\times X.$ Если последнее свойство опущено, мы называем пространство квазиоднородный . Элемент $U$ из $\Phi$ называется окрестности или антураж от французского слова « окружение» .

Обычно пишут $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ где $U\cap (\{x\}\times X)$ вертикальное сечение $U$ и $\operatorname {pr} _{2}$ – каноническая проекция на вторую координату. На графике типичное окружение изображается в виде пятна, окружающего " $y=x$"диагональ; все разные $U[x]$образуют вертикальные сечения. Если $(x,y)\in U$ тогда один говорит, что $x$ и $y$ являются $U$-закрывать . Аналогично, если все пары точек подмножества $A$ из $X$ являются $U$-закрыть (то есть, если $A\times A$ содержится в $U$), $A$ называется $U$-маленький . Окружение $U$ является симметрично, если $(x,y)\in U$ именно тогда, когда $(y,x)\in U.$ Первая аксиома гласит, что каждая точка $U$-близко к себе для каждого окружения $U.$ Третья аксиома гарантирует, что «оба $U$-закрыть и $V$-близость» также является отношением близости в однородности. Четвертая аксиома гласит, что для каждого окружения $U$ есть окружение $V$ это «не более чем в два раза меньше». Наконец, последняя аксиома утверждает, что свойство «близости» по отношению к однородной структуре симметрично относительно $x$ и $y.$

А база окружения или фундаментальная система окружений (или окрестностей ) единообразия $\Phi$ какой-нибудь набор ${\mathcal {B}}$ окружения $\Phi$ так что каждое окружение $\Phi$ содержит множество, принадлежащее ${\mathcal {B}}.$ Таким образом, согласно свойству 2 выше, фундаментальная система окружений ${\mathcal {B}}$ достаточно, чтобы указать однородность $\Phi$ однозначно: $\Phi$ представляет собой набор подмножеств $X\times X$ которые содержат набор ${\mathcal {B}}.$ Каждое однородное пространство имеет фундаментальную систему антуражей, состоящую из симметричных антуражей.

Интуитивное представление о равномерности можно получить на примере метрических пространств : если $(X,d)$ — метрическое пространство, множества $$U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0$$образуют фундаментальную систему окружения для стандартной однородной структуры $X.$ Затем $x$ и $y$ являются $U_{a}$-закрыться именно тогда, когда расстояние между $x$ и $y$ самое большее $a.$

Однородность $\Phi$ тоньше , чем другая однородность $\Psi$ на том же наборе, если $\Phi \supseteq \Psi ;$ в таком случае $\Psi$ говорят, что он грубее, чем $\Phi .$

Определение псевдометрии

Равномерные пространства могут быть определены альтернативно и эквивалентно с использованием систем псевдометрик - подхода, который особенно полезен в функциональном анализе (с псевдометрикой, обеспечиваемой полунормами ). Точнее, пусть $f:X\times X\to \mathbb {R}$ быть псевдометрикой на множестве $X.$ Обратные изображения $U_{a}=f^{-1}([0,a])$ для $a>0$ можно показать, что они образуют фундаментальную систему окружения единообразия. Однородность, создаваемая $U_{a}$ — однородность, определяемая одной псевдометрикой $f.$ Некоторые авторы называют пространства, топология которых определяется в терминах псевдометрических калибровочных пространств .

Для семьи $\left(f_{i}\right)$ псевдометрики на $X,$ однородная структура, определенная семейством, является наименьшей верхней границей однородных структур, определенных отдельными псевдометриками. $f_{i}.$ Фундаментальная система окружений этой однородности обеспечивается множеством конечных пересечений окружений однородностей, определяемых отдельными псевдометриками. $f_{i}.$ Если семейство псевдометрик конечно , то можно видеть, что одна и та же равномерная структура определяется одной псевдометрикой , а именно верхней огибающей. $\sup _{}f_{i}$ семьи.

Менее тривиально можно показать, что однородная структура, допускающая счетную фундаментальную систему окружения (следовательно, в частности, однородность, определяемая счетным семейством псевдометрик), может быть определена одной псевдометрикой. Следствием этого является то, что любая однородная структура может быть определена, как указано выше, с помощью (возможно, несчетного) семейства псевдометрик (см. Бурбаки: Общая топология, глава IX, §1, № 4).

Единое определение покрытия

Единое пространство $(X,\Theta )$ это набор $X$ оснащен выдающимся семейством покрытий $\Theta ,$ покрытиями», взятыми из множества покрытий называемые « равномерными $X,$ которые образуют фильтр при упорядочении по звездности. Говорят, что обложка $\mathbf {P}$ это звездная доработка обложки $\mathbf {Q} ,$ написано $\mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,$ если для каждого $A\in \mathbf {P} ,$ есть $U\in \mathbf {Q}$ такое, что если $A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,$ затем $B\subseteq U.$ Аксиоматически условие быть фильтром сводится к:

1. $\{X\}$ является равномерным покрытием (т. е. $\{X\}\in \Theta$).
2. Если $\mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q}$ с $\mathbf {P}$ однородная обложка и $\mathbf {Q}$ обложка $X,$ затем $\mathbf {Q}$ также является единым чехлом.
3. Если $\mathbf {P}$ и $\mathbf {Q}$ есть однородные обложки, тогда есть единая обложка $\mathbf {R}$ эта звезда улучшает обоих $\mathbf {P}$ и $\mathbf {Q}$

Учитывая точку $x$ и единый чехол $\mathbf {P} ,$ можно рассматривать объединение членов $\mathbf {P}$ которые содержат $x$ как типичный район $x$ "размера" $\mathbf {P} ,$ и эта интуитивная мера применима равномерно по всему пространству.

Учитывая однородное пространство в смысле антуража, определим покрытие $\mathbf {P}$ быть единообразным, если есть какое-то окружение $U$ такой, что для каждого $x\in X,$ есть $A\in \mathbf {P}$ такой, что $U[x]\subseteq A.$ Эти однородные покрытия образуют однородное пространство, как и во втором определении. И наоборот, для однородного пространства в смысле равномерного накрытия надмножества $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ как $\mathbf {P}$ диапазоны над однородными оболочками являются антуражами однородного пространства, как в первом определении. Более того, эти два преобразования являются обратными друг другу.

Топология однородных пространств

Каждое однородное пространство $X$ становится топологическим пространством, определяя подмножество $O\subseteq X$ быть открытым тогда и только тогда, когда для каждого $x\in O$ существует окружение $V$ такой, что $V[x]$ является подмножеством $O.$ В этой топологии фильтр окрестности точки $x$ является $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ Это можно доказать, рекурсивно используя существование окружения «половинного размера». По сравнению с общим топологическим пространством существование однородной структуры делает возможным сравнение размеров окрестностей: $V[x]$ и $V[y]$ считаются «одного размера».

Топология, определяемая однородной структурой, называется вызванное единообразием . Равномерная структура топологического пространства совместима с топологией, если топология, определяемая однородной структурой, совпадает с исходной топологией. В общем, несколько различных однородных структур могут быть совместимы с данной топологией на $X.$

Униформизируемые пространства

Основная статья: Унифицированное пространство

Топологическое пространство называется униформизуема , если существует однородная структура, совместимая с топологией.

Всякое униформизируемое пространство является вполне регулярным топологическим пространством. Более того, для униформизируемого пространства $X$ следующие эквивалентны:

• $X$ является пространством Колмогорова
• $X$ является хаусдорфовым пространством
• $X$ это тихоновское пространство
• для любой совместимой однородной структуры пересечением всех антуражей является диагональ $\{(x,x):x\in X\}.$

Некоторые авторы (например, Энгелькинг) добавляют это последнее условие непосредственно в определение униформизуемого пространства.

Топология униформизируемого пространства всегда является симметричной топологией ; то есть пространство является R ₀ -пространством .

И наоборот, каждое вполне регулярное пространство униформизуемо. Равномерность, совместимая с топологией вполне регулярного пространства. $X$ можно определить как самую грубую однородность, которая делает все непрерывные действительные функции на $X$ равномерно непрерывный. Фундаментальной системой окружения этой однородности являются все конечные пересечения множеств. $(f\times f)^{-1}(V),$ где $f$ является непрерывной действительной функцией на $X$ и $V$ это антураж единого пространства $\mathbf {R} .$ Эта однородность определяет топологию, которая явно более грубая, чем исходная топология $X;$ то, что она также тоньше исходной топологии (следовательно, совпадает с ней), является простым следствием полной регулярности: для любой $x\in X$ и район $X$ из $x,$ существует непрерывная вещественная функция $f$ с $f(x)=0$ и равен 1 в дополнении к $V$

В частности, компакт Хаусдорфа униформизуем. Действительно, для компакта Хаусдорфа $X$ множество всех окрестностей диагонали в $X\times X$ образуют уникальную однородность, совместимую с топологией.

Хаусдорфово равномерное пространство называется метризуемым, если его равномерность можно определить счетным семейством псевдометрик. Действительно, как обсуждалось выше , такая однородность может быть определена одной псевдометрикой , которая обязательно является метрикой, если пространство хаусдорфово. В частности, если топология векторного пространства хаусдорфова и определима счетным семейством полунорм , она метризуема.

Равномерная непрерывность

Основная статья: Равномерная преемственность

Аналогичными непрерывным функциям между топологическими пространствами , сохраняющими топологические свойства , являются равномерно непрерывные функции между равномерными пространствами, сохраняющими равномерные свойства.

Равномерно непрерывная функция определяется как функция, в которой прообразы окружений снова являются окружениями, или, что то же самое, функция, в которой прообразы однородных покрытий снова являются однородными покрытиями. Явно функция $f:X\to Y$ между однородными пространствами называется равномерно непрерывно, если для любого окружения $V$ в $Y$ существует окружение $U$ в $X$ такое, что если $\left(x_{1},x_{2}\right)\in U$ затем $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ или, другими словами, всякий раз, когда $V$ это окружение в $Y$ затем $(f\times f)^{-1}(V)$ это окружение в $X$, где $f\times f:X\times X\to Y\times Y$ определяется $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$

Все равномерно непрерывные функции непрерывны относительно индуцированных топологий.

Однородные пространства с однородными отображениями образуют категорию . Изоморфизм между равномерными пространствами называется равномерный изоморфизм ; явно, это равномерно непрерывная биекция которой , обратная также равномерно непрерывна. А равномерное вложение — это инъективное равномерно непрерывное отображение $i:X\to Y$ между равномерными пространствами, обратные к которым $i^{-1}:i(X)\to X$ также равномерно непрерывен, где изображение $i(X)$ имеет однородность подпространства, унаследованную от $Y.$

Полнота

Обобщая понятие полного метрического пространства , можно определить полноту и для равномерных пространств. Вместо работы с последовательностями Коши можно работать с фильтрами Коши (или сетями Коши ).

А фильтр Коши (соответственно предфильтр Коши ) $F$ на едином пространстве $X$ — фильтр (соответственно префильтр ) $F$ такой, что для любого окружения $U,$ существует $A\in F$ с $A\times A\subseteq U.$ Другими словами, фильтр называется Коши, если он содержит «произвольно малые» множества. Из определений следует, что каждый фильтр, сходящийся (относительно топологии, определяемой равномерной структурой), является фильтром Коши.А Минимальный фильтр Коши — это фильтр Коши, который не содержит меньшего (то есть более грубого) фильтра Коши (кроме самого себя). Можно показать, что каждый фильтр Коши содержит уникальный минимальный фильтр Коши . Фильтр окрестности каждой точки (фильтр, состоящий из всех окрестностей точки) является минимальным фильтром Коши.

И наоборот, однородное пространство называется полным, если каждый фильтр Коши сходится. Любой компакт Хаусдорфа является полным равномерным пространством относительно единственной равномерности, совместимой с топологией.

Полные однородные пространства обладают следующим важным свойством: если $f:A\to Y$ — равномерно непрерывная функция из плотного подмножества $A$ единого пространства $X$ в полное однородное пространство $Y,$ затем $f$ можно продолжить (единственным образом) до равномерно непрерывной функции на всех $X.$

Топологическое пространство, которое можно превратить в полное однородное пространство, однородность которого индуцирует исходную топологию, называется полностью униформизируемым пространством .

А завершение единого пространства $X$ это пара $(i,C)$ состоящее из полного однородного пространства $C$ и однородное вложение $i:X\to C$ чей образ $i(C)$ представляет собой подмножество плотное $C.$

Хаусдорфово пополнение однородного пространства

Как и в случае с метрическими пространствами, каждое однородное пространство $X$ имеет Хаусдорфово пополнение : то есть существует полное равномерное Хаусдорфово пространство. $Y$ и равномерно непрерывное отображение $i:X\to Y$ (если $X$ является хаусдорфовым однородным пространством, тогда $i$ является топологическим вложением ) со следующим свойством:

для любого равномерно непрерывного отображения $f$ из $X$ в полное однородное Хаусдорфово пространство. $Z,$ существует единственное равномерно непрерывное отображение $g:Y\to Z$ такой, что $f=gi.$

Завершение Хаусдорфа $Y$ единственна с точностью до изоморфизма. В комплекте, $Y$ можно считать состоящим из минимальных фильтров Коши на $X.$ Как фильтр соседства $\mathbf {B} (x)$ каждой точки $x$ в $X$ — минимальный фильтр Коши, отображение $i$ можно определить путем отображения $x$ к $\mathbf {B} (x).$ Карта $i$ определенное таким образом, вообще говоря, не инъективно; фактически, график отношения эквивалентности $i(x)=i(x')$ является пересечением всего окружения $X,$ и таким образом $i$ инъективен именно тогда, когда $X$ является Хаусдорф.

Однородная структура на $Y$ определяется следующим образом: для каждого симметричный антураж $V$ (то есть такой, что $(x,y)\in V$ подразумевает $(y,x)\in V$), позволять $C(V)$ быть множеством всех пар $(F,G)$ минимальных фильтров Коши , имеющих хотя бы один общий $V$- небольшой набор . Наборы $C(V)$ можно показать, что они образуют фундаментальную систему окружения; $Y$ имеет определенную таким образом единую структуру.

Набор $i(X)$ тогда является плотным подмножеством $Y.$ Если $X$ есть Хаусдорф, тогда $i$ является изоморфизмом на $i(X),$ и таким образом $X$ можно отождествить с плотным подмножеством его завершения. Более того, $i(X)$ всегда Хаусдорф; это называется Хаусдорфово однородное пространство, связанное с $X.$ Если $R$ обозначает отношение эквивалентности $i(x)=i(x'),$ тогда факторпространство $X/R$ гомеоморфен $i(X).$

Примеры

1. Каждое метрическое пространство $(M,d)$ можно рассматривать как однородное пространство. Действительно, поскольку метрика тем более является псевдометрикой, определение псевдометрики дает $M$ с однородной структурой. Фундаментальную систему антуража этой однородности обеспечивают наборы

   $\qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.$

   Эта однородная структура на $M$ генерирует обычную топологию метрического пространства на $M.$ Однако разные метрические пространства могут иметь одинаковую однородную структуру (тривиальный пример — постоянное кратное метрике). Эта равномерная структура дает также эквивалентные определения равномерной непрерывности и полноты для метрических пространств .
2. Используя метрики, можно построить простой пример различных однородных структур с совпадающей топологией. Например, пусть $d_{1}(x,y)=|x-y|$ быть обычным показателем $\mathbb {R}$ и пусть $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ Тогда обе метрики индуцируют обычную топологию на $\mathbb {R} ,$ однако однородные структуры различны, поскольку $\{(x,y):|x-y|<1\}$ представляет собой антураж в единой структуре для $d_{1}(x,y)$ но не для $d_{2}(x,y).$ Неформально этот пример можно рассматривать как взятие обычной однородности и ее искажение действием непрерывной, но неравномерно непрерывной функции.
3. Каждая топологическая группа $G$ (в частности, каждое топологическое векторное пространство ) становится равномерным пространством, если мы определяем подмножество $V\subseteq G\times G$ быть окружением тогда и только тогда, когда оно содержит множество $\{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}$ для какого-то района $U$ элемента идентичности ​ $G.$ Эта однородная структура на $G$ называется правильной однородностью на $G,$ потому что для каждого $a\in G,$ правильное умножение $x\to x\cdot a$ равномерно непрерывна относительно этой однородной структуры. Можно также определить левостороннюю однородность на $G;$ они не обязательно должны совпадать, но они оба порождают данную топологию на $G.$
4. Для каждой топологической группы $G$ и его подгруппа $H\subseteq G$ набор левых смежных классов $G/H$ является однородным пространством относительно однородности $\Phi$ определяется следующим образом. Наборы ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ где $U$ пробегает окрестности идентичности в $G,$ сформировать фундаментальную систему окружения для единообразия $\Phi .$ Соответствующая индуцированная топология на $G/H$ равна фактортопологии, определяемой естественным отображением $g\to G/H.$
5. Тривиальная топология принадлежит однородному пространству, в котором все декартово произведение $X\times X$ это единственное окружение .

История

До того, как Андре Вейль дал первое явное определение однородной структуры в 1937 году, единообразные понятия, такие как полнота, обсуждались с использованием метрических пространств . Николя Бурбаки дал определение однородной структуры с точки зрения окружения в книге «Общая топология», а Джон Тьюки дал определение однородного покрытия. Вейль также охарактеризовал равномерные пространства в терминах семейства псевдометрик.

См. также

• Грубая структура - семейство наборов по геометрии и топологии для измерения крупномасштабных свойств пространства. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Полное метрическое пространство - Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
• Полностью унифицированное пространство
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Исходная единая структура — самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Пространство близости - структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.
• Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
• Топология равномерной сходимости
• Равномерная непрерывность – Равномерное ограничение изменения функций
• Равномерный изоморфизм - Равномерно непрерывный гомеоморфизм.
• Свойство однородности - Объект исследования в категории однородных топологических пространств.
• Равномерно связное пространство - Тип однородного пространства.

Ссылки

• Николя , топология Общая Бурбаки , ISBN   0-387-19374-X (гл. 1–4), ISBN   0-387-19372-3 (гл. 5–10): глава II представляет собой исчерпывающий справочник по однородным структурам, глава IX § 1 посвящена псевдометрике, а глава III § 3 посвящена однородным структурам на топологических группах.
• Рышард Энгелькинг , Общая топология. Переработанное и дополненное издание , Берлин, 1989 г.
• Джон Р. Исбелл , Равномерные пространства ISBN   0-8218-1512-1
• И. М. Джеймс , Введение в однородные пространства ISBN   0-521-38620-9
• И. М. Джеймс , Топологические и равномерные пространства. ISBN   0-387-96466-5
• Джон Тьюки , Сходимость и однородность в топологии ; ISBN   0-691-09568-X
• Андре Вейль , О пространствах с однородной структурой и общей топологии , Акт. наук. Индийский 551 , Париж, 1937 год.