Топологическое свойство

В топологии и смежных областях математики топологическое свойство или топологический инвариант — это свойство топологического пространства , инвариантное относительно гомеоморфизмов . Альтернативно, топологическое свойство — это собственный класс топологических пространств, замкнутый относительно гомеоморфизмов. То есть свойство пространств является топологическим свойством, если всякий раз, когда пространство X обладает этим свойством, каждое пространство, гомеоморфное X, обладает этим свойством. Неформально топологическое свойство — это свойство пространства, которое можно выразить с помощью открытых множеств .

Общая проблема топологии — решить, являются ли два топологических пространства гомеоморфными или нет. Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, которое им не присуще.

Свойства топологических свойств [ править ]

Недвижимость $P$ является:

Наследственный , если для всякого топологического пространства $(X,{\mathcal {T}})$ и подмножество $S\subseteq X,$ подпространство $\left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)$ имеет собственность $P.$
Слабо наследственно , если для любого топологического пространства $(X,{\mathcal {T}})$ и закрытое подмножество $S\subseteq X,$ подпространство $\left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)$ имеет собственность $P.$

топологические Общие свойства

Кардинальные функции [ править ]

Мощность $\vert X\vert$ пространства $X$ .
Мощность $\vert \tau (X)\vert$ топологии (множества открытых подмножеств) пространства $X$ .
Масса $w(X)$ , наименьшая мощность базиса топологии пространства $X$ .
Плотность $d(X)$ , наименьшая мощность подмножества $X$ чье закрытие $X$ .

Разделение [ править ]

Некоторые из этих терминов определяются по-разному в старой математической литературе; см. историю аксиом разделения .

Т ₀ или Колмогоров . Пространство является колмогоровским , если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует по крайней мере либо открытое множество, содержащее x , но не y , либо открытое множество, содержащее y , но не y .
Т ₁ или Фреше . Пространство называется Фреше , если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует открытое множество, содержащее x , но не y . (Сравните с T ₀ ; здесь нам разрешено указать, какая точка будет содержаться в открытом множестве.) Эквивалентно, пространство является T ₁ , если все его одиночные элементы закрыты. Пространства T ₁ всегда являются T ₀ .
Трезвый . Пространство называется трезвым , если каждое неприводимое замкнутое множество C имеет единственную точку общего положения p . Другими словами, если C не является (возможно, непересекающимся) объединением двух меньших замкнутых непустых подмножеств, то существует p такое, что замыкание { p } равно C , и p — единственная точка с этим свойством.
Т ₂ или Хаусдорф . Пространство называется Хаусдорфовым , если каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Пространства T ₂ всегда являются T ₁ .
Т _2½ или Урысон . Пространство называется Урысоном , если каждые две различные точки имеют непересекающиеся замкнутые окрестности. Пространства T _2½ всегда являются T ₂ .
Полностью Т ₂ или полностью Хаусдорф . Пространство полностью T2 _, если каждые две различные точки разделены функцией . Всякое вполне хаусдорфово пространство есть Урысон.
Обычный . Пространство является регулярным, если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а p — точка, не принадлежащая C , то C и p имеют непересекающиеся окрестности.
Т ₃ или обычный Хаусдорф . Пространство называется регулярным по Хаусдорфу, если оно является регулярным _{пространством T0} . (Регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₀ , поэтому терминология согласована .)
Совершенно регулярно . Пространство является полностью регулярным, если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а p — точка, не принадлежащая C , то C и { p } разделены функцией .
Т _3½ , Тихонов , Вполне правильный Хаусдорф или Вполне Т ₃ . Тихоновское пространство — это вполне регулярное пространство T ₀ . (Вполне регулярное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₀ , поэтому терминология непротиворечива.) Тихоновские пространства всегда регулярны по Хаусдорфу.
Нормальный . Пространство является нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Нормальные пространства допускают разбиения единицы .
Т ₄ или Нормальный Хаусдорф . Нормальное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₁ . Нормальные хаусдорфовы пространства всегда тихоновские.
Совершенно нормально . Пространство является совершенно нормальным , если любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности.
Т ₅ или Совершенно нормальный Хаусдорф . Вполне нормальное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₁ . Вполне нормальные хаусдорфовы пространства всегда являются нормальными хаусдорфовыми пространствами.
Совершенно нормально . Пространство является совершенно нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены функцией . Совершенно нормальное пространство должно быть и совершенно нормальным.
Т ₆ или Совершенно нормальный Хаусдорф , или совершенно Т ₄ . Пространство является совершенно нормальным по Хаусдорфу , если оно одновременно совершенно нормально и T ₁ . Совершенно нормальное хаусдорфово пространство должно быть также и совершенно нормальным Хаусдорфом.
Дискретное пространство . Пространство дискретно , если все его точки полностью изолированы, т. е. если какое-либо подмножество открыто.
Количество изолированных точек . Число изолированных точек топологического пространства.

Условия счетности [ править ]

Сепарабельный . Пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное плотное подмножество.
Первое счетное . Пространство является первичным счетным, если каждая точка имеет счетную локальную базу.
Второе счетное . Пространство вторично счетно, если оно имеет счетную базу своей топологии. Пространства со второй счетностью всегда сепарабельны, счетны и Линделёфа.

Связность [ править ]

Подключено . Пространство связно , если оно не является объединением пары непересекающихся непустых открытых множеств. Эквивалентно, пространство связно, если единственными замкнуто-замкнутыми множествами являются пустое множество и оно само.
Подключено локально . Пространство называется локально связным , если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из связных множеств.
Полностью отключен . Пространство полностью несвязно , если оно не имеет связного подмножества с более чем одной точкой.
Связано по пути . Пространство X является линейно связным, если для каждых двух точек x , y в X существует путь p от x до y , т. е. непрерывное отображение p : [0,1] → X с p (0) = x и п (1) знак равно у . Пространства, связанные путями, всегда связаны.
Локально подключен по пути . Пространство называется локально линейно связным , если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из линейно связных множеств. Пространство, локально связное по путям, связно тогда и только тогда, когда оно связно по путям.
С дуговым соединением . Пространство X является дугосвязным, если для каждых двух точек x , y в X существует дуга f от x до y , т. е. инъективное непрерывное отображение. $f\colon [0,1]\to X$ с $p(0)=x$ и $p(1)=y$ . Пространства, связанные дугами, связаны путями.
Просто подключен . Пространство X односвязно , если оно линейно связно и всякое непрерывное отображение $f\colon S^{1}\to X$ гомотопно . постоянному отображению
Локально просто подключен . Пространство X , локально односвязно если каждая точка x в X локальную базу окрестностей U. имеет односвязную
Полулокально односвязный . Пространство X полулокально односвязно , если каждая точка имеет локальную базу окрестностей U такую, что каждая петля в U стягиваема в X . Полулокальная простая связность — строго более слабое условие, чем локальная простая связность, — необходимое условие существования универсального покрытия .
Сжимаемый . Пространство X сжимаемо , если тождественное отображение на X гомотопно постоянному отображению. Стягиваемые пространства всегда односвязны.
Гиперподключен . Пространство называется гиперсвязным , если никакие два непустых открытых множества не пересекаются. Каждое гиперсвязное пространство связно.
Ультрасвязный . Пространство называется ультрасвязным , если никакие два непустых замкнутых множества не пересекаются. Каждое ультрасвязное пространство связно по путям.
Недискретный или тривиальный . Пространство является недискретным , если единственными открытыми множествами являются пустое множество и оно само. Говорят, что такое пространство имеет тривиальную топологию .

Компактность [ править ]

Компактный . Пространство компактно , если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие . Некоторые авторы называют эти пространства квазикомпактными и резервными компактами для хаусдорфовых пространств, в которых каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Компактные пространства всегда линделефовы и паракомпактны. Поэтому компактные хаусдорфовы пространства нормальны.
Последовательно компактный . Пространство называется секвенциально компактным , если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
Счетная компактность . Пространство называется счетно компактным , если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
Псевдокомпакт . Пространство называется псевдокомпактным , если каждая непрерывная вещественная функция в нем ограничена.
σ-компактный . Пространство называется σ-компактным, если оно представляет собой объединение счетного числа компактных подмножеств.
Линделёф . Пространство является линделёфовым , если каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие.
Паракомпакт . Пространство паракомпактно , если каждое открытое покрытие имеет открытое локально конечное уточнение. Паракомпакты Хаусдорфа являются нормальными.
Локально компактный . Пространство называется локально компактным , если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей. Используются также несколько иные определения. Локально компактные хаусдорфовы пространства всегда тихоновы.
Ультраподключенный компактный . В ультрасвязном компакте X каждое открытое покрытие должно содержать X. само Непустые ультрасвязные компакты имеют наибольшее собственное открытое подмножество, называемое монолитом .

Метризуемость [ править ]

Метризуемый . Пространство называется метризуемым, если оно гомеоморфно метрическому пространству . Метризуемые пространства всегда хаусдорфовы, паракомпактны (а значит, нормальны и тихоновы) и впервые счетны. Более того, топологическое пространство $(X,T)$ называется метризуемым, если существует метрика для $X$ такая, что метрическая топология $T(d)$ совпадает с топологией $T.$
Польский . Пространство называется польским , если оно метризуемо с сепарабельной и полной метрикой.
Локально метризуемо . Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность.

Разное [ править ]

Пространство Бэра . Пространство X является пространством Бэра, если оно само по себе не скудно . Эквивалентно, X является пространством Бэра, если пересечение счетного числа плотных открытых множеств плотно.
Дверное пространство . Топологическое пространство — это дверное пространство , если каждое подмножество открыто или закрыто (или и то, и другое).
Топологическая однородность . Пространство X является (топологически) однородным , если для каждых x и y в X существует гомеоморфизм $f\colon X\to X$ такой, что $f(x)=y.$ Интуитивно говоря, это означает, что пространство выглядит одинаково в каждой точке. Все топологические группы однородны.
Конечно порожденный или Александров . Пространство X называется Александровым , если произвольные пересечения открытых множеств в X открыты или, что то же самое, если произвольные объединения замкнутых множеств замкнуты. Это именно конечно порожденные члены категории топологических пространств и непрерывных отображений.
Нульмерный . Пространство нульмерно, если оно имеет базу из открытозамкнутых множеств. Это именно пространства с малой индуктивной размерностью 0 .
Почти дискретный . Пространство почти дискретно , если каждое открытое множество замкнуто (следовательно, открыто-замкнуто). Почти дискретные пространства — это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.
Логическое значение . Пространство является булевым , если оно нульмерное, компактное и хаусдорфово (т. е. полностью несвязное, компактное и хаусдорфово). Это именно те пространства, которые гомеоморфны пространствам Стоуна булевых алгебр .
кручение Райдемейстера
$\kappa$ - разрешимый . Пространство называется κ-разрешимым. ^[1] (соответственно: почти κ-разрешимой), если оно содержит κ плотных множеств, попарно непересекающихся (соответственно: почти непересекающихся над идеалом нигде не плотных подмножеств). Если пространство не $\kappa$ -разрешима, то она называется $\kappa$ -неразрешимое.
Максимально решаемый . Космос $X$ максимально разрешима, если $\Delta (X)$ -разрешимая, где $\Delta (X)=\min\{|G|:G\neq \varnothing ,G{\mbox{ is open}}\}.$ Число $\Delta (X)$ называется дисперсионным характером $X.$
Сильно дискретный . Набор $D$ является сильно дискретным подмножеством пространства $X$ если точки в $D$ могут быть разделены попарно непересекающимися окрестностями. Космос $X$ называется сильно дискретным, если каждая неизолированная точка $X$ является точкой накопления некоторого сильно дискретного множества.

Нетопологические свойства [ править ]

Существует множество примеров свойств метрических пространств и т. д., которые не являются топологическими свойствами. Чтобы показать недвижимость $P$ не является топологическим, достаточно найти два гомеоморфных топологических пространства $X\cong Y$ такой, что $X$ имеет $P$ , но $Y$ не имеет $P$ .

Например, свойства ограниченности и полноты метрического пространства не являются топологическими свойствами. Позволять $X=\mathbb {R}$ и $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ — метрические пространства со стандартной метрикой. Затем, $X\cong Y$ через гомеоморфизм $\operatorname {arctan} \colon X\to Y$ . Однако, $X$ полно, но не ограничено, а $Y$ ограничено, но не полно.

См. также [ править ]

Характеристический класс - ассоциация классов когомологий с основными расслоениями.
Характеристические числа – ассоциация классов когомологий с основными пакетами.
Класс Черна - Характеристические классы векторных расслоений
Эйлерова характеристика - Топологический инвариант в математике
Свойство фиксированной точки – Математическое свойство
Гомологии и когомологии
Гомотопическая группа и когомотопическая группа
Инвариант узла - функция узла, которая принимает одно и то же значение для эквивалентных узлов.
Число связи - числовой инвариант, описывающий соединение двух замкнутых кривых в трехмерном пространстве.
Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
Квантовый инвариант - концепция математической теории узлов.
Топологическое квантовое число - физические величины, которые принимают дискретные значения из-за топологических квантово-физических эффектов.
Число витков — количество раз, когда кривая оборачивается вокруг точки на плоскости.

Цитаты [ править ]

^ Юхас, Иштван; Соукуп, Лайош; Сентмиклосси, Золтан (2008). «Разрешимость и монотонная нормальность» . Израильский математический журнал . 166 (1): 1–16. arXiv : math/0609092 . дои : 10.1007/s11856-008-1017-y . ISSN 0021-2172 . S2CID 14743623 .

Ссылки [ править ]

Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. Компания р. 369. ИСБН 9780486434797 .
Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис-Холл . ISBN 0-13-181629-2 .

[2] Саймон Мулиерас, Мачей Левенштейн и Грасиана Пуэнтес, Инженерия запутанности и топологическая защита с помощью квантовых блужданий в дискретном времени, Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf

[1] Юхас, Иштван; Соукуп, Лайош; Сентмиклосси, Золтан (2008). «Разрешимость и монотонная нормальность» . Израильский математический журнал . 166 (1): 1–16. arXiv : math/0609092 . дои : 10.1007/s11856-008-1017-y . ISSN 0021-2172 . S2CID 14743623 .

[1]