Jump to content

Свойство фиксированной точки

Математический , объект X обладает свойством фиксированной точки если каждое правильное отображение в X себя имеет фиксированную точку . Этот термин чаще всего используется для описания топологических пространств , в которых каждое непрерывное отображение имеет фиксированную точку. Но есть еще одно применение в теории порядка , где частично упорядоченное множество P говорят, что обладает свойством неподвижной точки, если каждая возрастающая функция на P имеет фиксированную точку.

Определение [ править ]

Пусть A объект конкретной категории C. — Тогда A обладает свойством неподвижной точки , если каждый морфизм (т. е. каждая функция ) имеет фиксированную точку.

Чаще всего используется, когда C = Top — категория топологических пространств . Тогда топологическое пространство X обладает свойством неподвижной точки, если каждое непрерывное отображение имеет фиксированную точку.

Примеры [ править ]

Синглтоны [ править ]

В категории множеств объекты со свойством фиксированной точки — это именно одиночки .

Закрытый интервал [ править ]

Замкнутый интервал [0,1] обладает свойством неподвижной точки: пусть f : [0,1] → [0,1] — непрерывное отображение. Если f (0) = 0 или f (1) = 1, то наше отображение имеет неподвижную точку в точке 0 или 1. Если нет, то f (0) > 0 и f (1) − 1 < 0. Таким образом, функция g ( x ) = f ( x ) − x является непрерывной вещественнозначной функцией, которая положительна при x = 0 и отрицательна при x = 1. По теореме о промежуточном значении существует некоторая точка x 0 с g ( x 0 ) = 0, то есть f ( x 0 ) − x 0 = 0, и поэтому x 0 является фиксированной точкой.

не Открытый интервал обладает свойством фиксированной точки. Отображение f ( x ) = x 2 не имеет неподвижной точки на отрезке (0,1).

Закрытый диск [ править ]

Замкнутый интервал — это частный случай замкнутого диска , который в любой конечной размерности обладает свойством неподвижной точки по теореме Брауэра о неподвижной точке .

Топология [ править ]

Ретракт X A пространства . со свойством неподвижной точки также обладает свойством неподвижной точки Это потому, что если представляет собой откат и — любая непрерывная функция, то композиция (где является включением) имеет неподвижную точку. То есть, есть такой, что . С у нас есть это и поэтому

Топологическое пространство обладает свойством неподвижной точки тогда и только тогда, когда его тождественное отображение универсально .

Произведение пространств со свойством неподвижной точки, как правило, не обладает свойством неподвижной точки, даже если одно из пространств является замкнутым вещественным интервалом.

ФПП является топологическим инвариантом , т. е. сохраняется при любом гомеоморфизме . FPP также сохраняется при любом втягивании .

Согласно теореме Брауэра о неподвижной точке , каждое компактное и выпуклое подмножество имеет евклидова пространства FPP. В более общем смысле, согласно теореме Шаудера-Тихонова о неподвижной точке, каждое компактное и выпуклое подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства имеет FPP. Сама по себе компактность не подразумевает FPP, а выпуклость даже не является топологическим свойством, поэтому имеет смысл задаться вопросом, как топологически охарактеризовать FPP. В 1932 году Борсук задался вопросом, может ли компактность вместе со сжимаемостью быть достаточным условием для существования FPP. Проблема оставалась открытой в течение 20 лет, пока гипотеза не была опровергнута Киношитой, который нашел пример компактного сжимаемого пространства без ФПП. [1]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Киношита, С. О некоторых сжимаемых континуумах без свойства неподвижной точки. Фонд. Математика. 40 (1953), 96–98
  • Сэмюэл Эйленберг, Норман Стинрод (1952). Основы алгебраической топологии . Издательство Принстонского университета.
  • Шредер, Бернд (2002). Заказанные наборы . Биркхойзер Бостон.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8e9f9640a9542be4b80dfc01b52cb5e8__1715629380
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8e/e8/8e9f9640a9542be4b80dfc01b52cb5e8.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Fixed-point property - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)