Jump to content

Топология продукта

(Перенаправлено с продукта (топология) )

В топологии и смежных областях математики пространство продукта представляет собой декартово произведение семейства топологических пространств, снабженных естественной топологией, называемой топологией продукта . Эта топология отличается от другой, возможно, более естественной топологии, называемой топологией ящика , которая также может быть задана пространству произведения и которая согласуется с топологией произведения, когда произведение занимает только конечное число пространств. Однако топология продукта «правильна» в том смысле, что она делает пространство продукта категориальным продуктом своих факторов, тогда как топология «ящик» слишком тонка ; в этом смысле топология произведения является естественной топологией декартова произведения.

Определение

[ редактировать ]

Через, будет некоторый непустой набор индексов и для каждого индекса позволять быть топологическим пространством .Обозначим декартово произведение множеств к

и для каждого индекса обозначают проекция каноническая

The топология продукта , иногда называемая Тихоновская топология , на определяется как самая грубая топология (то есть топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекции являются непрерывными . Декартово произведение наделенный топологией произведения, называется пространство продукта .Открытые множества в топологии произведения представляют собой произвольные объединения (конечные или бесконечные) множеств вида где каждый открыт в и только для конечного числа В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) совокупность всех декартовых произведений между одним базисным элементом из каждого дает основу для топологии продукта То есть для конечного произведения множество всех где является элементом (выбранного) базиса является основой топологии продукта

Топология продукта на — топология, порожденная множествами вида где и является открытым подмножеством Другими словами, множества

сформировать подбазу для топологии на Подмножество открыто тогда и только тогда, когда оно представляет собой (возможно, бесконечное) конечного числа объединение пересечений множеств вида иногда называют открытыми цилиндрами , а их пересечения — множествами цилиндров .

Топологию произведения также называют топологией поточечной сходимости , поскольку последовательность (или, в более общем смысле, сеть ) в сходится тогда и только тогда, когда все его проекции на пространства сходиться.Явно последовательность (соответственно, сеть ) сходится к заданной точке тогда и только тогда, когда в для каждого индекса где обозначает (соответственно обозначает ).В частности, если используется для всех тогда декартово произведение — это пространство всех действительных функций на и сходимость в топологии произведения аналогична поточечной сходимости функций.

Если реальная линия наделен своей стандартной топологией , то топология произведения на произведении копии равна обычной евклидовой топологии на (Потому что конечно, это также эквивалентно топологии ящика на )

Множество Кантора гомеоморфно . произведению счетного числа копий дискретного пространства и пространство иррациональных чисел гомеоморфно произведению счетного числа копий натуральных чисел , где каждая копия снова несет дискретную топологию.

Несколько дополнительных примеров приведены в статье об исходной топологии .

Характеристики

[ редактировать ]

Набор декартовых произведений между открытыми множествами топологий каждого формирует основу для так называемой коробчатой ​​топологии на В общем случае топология ящика тоньше топологии произведения, но для конечных произведений они совпадают.

Пространство продукта вместе с каноническими проекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если является топологическим пространством, и для каждого является непрерывным отображением, то существует ровно одно непрерывное отображение такой, что для каждого следующая диаграмма коммутирует :

Характеристика пространств продуктов

Это показывает, что пространство продукта является продуктом категории топологических пространств . Из указанного выше универсального свойства следует, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда является непрерывным для всех Во многих случаях проще проверить работоспособность компонента. являются непрерывными. Проверяем, есть ли карта является непрерывным, обычно сложнее; пытаются использовать тот факт, что в некотором смысле непрерывны.

Канонические проекции не только непрерывны, но и открытые карты . Это означает, что любое открытое подмножество пространства продукта остается открытым при проецировании на Обратное неверно: если — это подпространство пространства продуктов, проекции которого на все открыты, то не обязательно быть открытым в (рассмотрим, например, ) Канонические проекции, как правило, не являются замкнутыми отображениями (рассмотрим, например, замкнутое множество чьи проекции на обе оси равны ).

Предполагать является произведением произвольных подмножеств, где для каждого Если все непусты , то представляет собой закрытое подмножество пространства продуктов тогда и только тогда, когда каждый является закрытым подмножеством В более общем смысле, закрытие продукта произвольных подмножеств в пространстве произведений равно произведению замыканий: [1]

Любое произведение хаусдорфовых пространств снова является хаусдорфовым пространством.

Теорема Тихонова , которая эквивалентна аксиоме выбора , утверждает, что любое произведение компактов является компактным пространством. Специализация теоремы Тихонова , которая требует только леммы об ультрафильтре (а не полной силы выбранной аксиомы), утверждает, что любое произведение компактных хаусдорфовых пространств является компактным пространством.

Если фиксировано, то набор

является плотным подмножеством пространства продуктов . [1]

Связь с другими топологическими понятиями

[ редактировать ]

Разделение

Компактность

  • Всякое произведение компактов компактно ( теорема Тихонова ).
  • Произведение локально компактных пространств не обязательно должно быть локально компактным. Однако произвольное произведение локально компактных пространств, где все, кроме конечного числа, компактны , локально компактно (это условие является достаточным и необходимым).

Связность

  • Всякое произведение связных (соответственно линейно-связных) пространств связно (соответственно линейно-связно).
  • Всякое произведение наследственно несвязных пространств наследственно несвязно.

Метрические пространства

Аксиома выбора

[ редактировать ]

Один из многих способов выразить аксиому выбора — сказать, что она эквивалентна утверждению о том, что декартово произведение набора непустых множеств непусто. [2] Доказательство того, что это эквивалентно формулировке аксиомы в терминах функций выбора, является немедленным: нужно только выбрать элемент из каждого набора, чтобы найти представителя в произведении. И наоборот, представителем произведения является множество, содержащее ровно по одному элементу от каждого компонента.

Аксиома выбора снова возникает при изучении (топологических) пространств произведений; например, теорема Тихонова о компактах представляет собой более сложный и тонкий пример утверждения, требующего аксиомы выбора и эквивалентного ей в самой общей формулировке: [3] и показывает, почему топологию произведения можно считать более полезной топологией для декартова произведения.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б Бурбаки 1989 , стр. 43–50.
  2. ^ Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press, стр. 33
  3. ^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, с. 28 , ISBN  978-0-486-65676-2
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8a6a5efdb188fb19f0f07ee867be6ba3__1695682080
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8a/a3/8a6a5efdb188fb19f0f07ee867be6ba3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Product topology - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)