Коробчатая топология

В топологии топологических декартову произведению пространств можно задать несколько различных топологий. Одним из наиболее естественных вариантов является блочная топология , где базой являются декартовы произведения открытых множеств в пространствах компонентов. ^[1] Другая возможность - топология продукта , где база задается декартовыми произведениями открытых множеств в пространствах компонентов, только конечное число из которых может быть не равно всему пространству компонентов.

Хотя топология «коробка» имеет несколько более интуитивное определение, чем топология «продукт», она удовлетворяет меньшему числу желательных свойств. В частности, если все пространства компонентов компактны , топология ящика их декартова произведения не обязательно будет компактной, хотя топология произведения их декартова произведения всегда будет компактной. В общем, топология ящика тоньше , чем топология произведения, хотя они согласуются в случае конечных прямых произведений (или когда все факторы, кроме конечного числа, тривиальны ).

Определение [ править ]

Данный $X$ такой, что

X:=\prod _{i\in I}X_{i},

или (возможно, бесконечное) декартово произведение топологических пространств $X_{i}$ , индексируется $i\in I$ , блочная топология на $X$ генерируется базой

{\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}.

имени Поле происходит от случая R ^н, в котором базисные наборы выглядят как коробки. Набор $\prod _{i\in I}X_{i}$ наделенный коробчатой топологией, иногда обозначается ${\underset {i\in I}{\square }}X_{i}.$

Свойства [ править ]

Топология Box на R ^ой: ^[2]

Топология ящика полностью регулярна.
Топология «коробка» не является ни компактной , ни связной.
Топология ящика не является сначала счетной (следовательно, не метризуемой ).
Топология «коробка» неразделима .
Топология ящика паракомпактна (и, следовательно, нормальна и полностью регулярна), если гипотеза континуума . верна

Пример — нарушение непрерывности [ править ]

Следующий пример основан на кубе Гильберта . Пусть Р ^ой обозначают счетное декартово произведение R на самого себя, т.е. множество всех последовательностей в R . Оснастите R стандартной топологией и R ^ой с топологией «коробка». Определять:

{\begin{cases}f:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{\omega }\\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}

Таким образом, все составляющие функции тождественны и, следовательно, непрерывны, однако мы покажем, что f не является непрерывным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим открытое множество

U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right).

Предположим, f непрерывны. Тогда, поскольку:

f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,

должно существовать $\varepsilon >0$ такой, что $(-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).$ Но это означало бы, что

f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,

что неверно, поскольку ${\tfrac {\varepsilon }{2}}>{\tfrac {1}{n}}$ для $n>{\tfrac {2}{\varepsilon }}.$ Таким образом, f не является непрерывным, хотя все его составляющие функции являются непрерывными.

Пример — нарушение компактности [ править ]

Рассмотрим счетное произведение $X=\prod X_{i}$ где для каждого i , $X_{i}=\{0,1\}$ с дискретной топологией. Топология «коробка» включена $X$ также будет дискретной топологией. Поскольку дискретные пространства компактны тогда и только тогда, когда они конечны, мы сразу видим, что $X$ не компактно, хотя пространства его компонент компактны.

$X$ также не является секвенциально компактным: рассмотрим последовательность $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ данный

(x_{n})_{m}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}

Поскольку в последовательности нет двух одинаковых точек, последовательность не имеет предельной точки и, следовательно, $X$ не является секвенциально компактным.

Сходимость в топологии «коробка» [ править ]

Топологии зачастую лучше всего понять, описывая, как сходятся последовательности. В общем, декартово произведение пространства $X$ с самим собой по набору индексации $S$ является пространством функций из $S$ к $X$ , обозначенный ${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$ . Топология произведения дает топологию поточечной сходимости ; последовательности функций сходятся тогда и только тогда, когда они сходятся в каждой точке $S$ .

Поскольку топология «ящик» тоньше, чем топология «продукт», сходимость последовательности в топологии «ящик» является более строгим условием. Предполагая $X$ есть Хаусдорф, последовательность $(f_{n})_{n}$ функций в $X^{S}$ сходится в топологии ящика к функции $f\in X^{S}$ тогда и только тогда, когда оно сходится поточечно к $f$ и существует конечное подмножество $S_{0}\subset S$ и есть $N$ такой, что для всех $n>N$ последовательность $(f_{n}(s))_{n}$ в $X$ является постоянным для всех $s\in S\setminus S_{0}$ . Другими словами, последовательность $(f_{n}(s))_{n}$ в конечном итоге является постоянным почти для всех $s$ и единообразно. ^[3]

Сравнение с топологией продукта [ править ]

Базисные наборы в топологии продукта имеют почти то же определение, что и выше, за исключением того, что все U _i, за исключением конечного числа , равны пространству компонентов X _i . Топология произведения удовлетворяет очень желательному свойству для отображений f _i : Y → X _i в пространства компонентов: отображение произведения f : Y → X, определенное компонентными функциями fi _, является непрерывным тогда и только тогда, когда все f _i непрерывны. Как показано выше, это не всегда справедливо для коробчатой топологии. Это фактически делает топологию ящика очень полезной для предоставления контрпримеров — многие качества, такие как компактность , связность , метризуемость и т. д., если ими обладают фактор-пространства, вообще не сохраняются в произведении с этой топологией.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Уиллард, 8,2 стр. 52–53,
^ Стин, Зеебах, 109. стр. 128–129.
^ Скотт, Брайан М. «Разница между поведением последовательности и функции в топологии продукта и блока на одном и том же множестве» . math.stackexchange.com .

Ссылки [ править ]

Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0030794854 .
Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43479-6 .

Внешние ссылки [ править ]

«Боксовая топология» . ПланетаМатематика .

[1] Уиллард, 8,2 стр. 52–53,

[2] Стин, Зеебах, 109. стр. 128–129.

[3] Скотт, Брайан М. «Разница между поведением последовательности и функции в топологии продукта и блока на одном и том же множестве» . math.stackexchange.com .

[1]

[2]

[3]