Естественная топология
В любой области математики пространство имеет естественную топологию , если существует топология пространства, которая «наилучшим образом приспособлена» для его изучения в рассматриваемой области. Во многих случаях это неточное определение означает немногим больше, чем утверждение, что рассматриваемая топология возникает естественным или каноническим образом (см. математический жаргон ) в данном контексте.
Обратите внимание, что в некоторых случаях несколько топологий кажутся «естественными». Например, если Y является подмножеством полностью упорядоченного множества X , то топология индуцированного порядка , т. е. топология порядка полностью упорядоченного Y , где этот порядок наследуется от X , является более грубой, чем топология подпространства топологии порядка Х.
«Естественная топология» довольно часто имеет более конкретное значение, по крайней мере, с учетом некоторой предварительной контекстной информации: естественная топология — это топология, которая делает естественную карту или набор карт непрерывными . Это все равно неточно, даже если указать, что такое естественные отображения, поскольку может существовать множество топологий с требуемым свойством. Однако часто существует самая тонкая или самая грубая топология, которая делает данные отображения непрерывными, и в этом случае они являются очевидными кандидатами на естественную топологию.
Простейшими случаями (которые, тем не менее, охватывают множество примеров) являются начальная топология и конечная топология (Уиллард (1970)). Исходная топология — это самая грубая топология пространства X , которая делает заданный набор отображений X в топологические пространства X i непрерывным. Окончательная топология — это тончайшая топология пространства X , которая делает заданный набор отображений топологических пространств X i в X непрерывным.
Двумя простейшими примерами являются естественные топологии подпространств и факторпространств.
- Естественная топология подмножества топологического пространства — это топология подпространства . Это самая грубая топология, которая делает отображение включения непрерывным.
- Естественная топология на факторе топологического пространства — это фактортопология . Это тончайшая топология, которая делает фактор-отображение непрерывным.
Другой пример: любое метрическое пространство имеет естественную топологию, индуцированную его метрикой .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли, Массачусетс. (Последнее издание опубликовано Dover (2004 г.) ISBN 0-486-43479-6 .)