Ультрафильтр в комплекте

Эта статья посвящена конкретным коллекциям подмножеств данного набора. Для более общих ультрафильтров на частично упорядоченных множествах см. Ультрафильтр . Информацию о физическом устройстве см. в разделе Ультрафильтрация .

Решетка Powerset набора {1,2,3,4}, верхний набор ↑{1,4} окрашен в темно-зеленый цвет. Это основной фильтр , но не ультрафильтр , поскольку его можно расширить до более крупного нетривиального фильтра ↑{1}, включив также светло-зеленые элементы. Поскольку ↑{1} не может быть расширен дальше, это ультрафильтр.

В математической области множеств ультрафильтр теории на множестве $X$ — максимальный фильтр на множестве $X.$ Другими словами, это совокупность подмножеств $X$ который удовлетворяет определению фильтра на $X$ и это максимально по включению в том смысле, что не существует строго большего набора подмножеств $X$ это тоже фильтр. (В приведенном выше по определению фильтр на множестве не содержит пустого множества.) Эквивалентно, ультрафильтр на множестве $X$ также можно охарактеризовать как фильтр на $X$ со свойством, что для каждого подмножества $A$ из $X$ или $A$ или его дополнение $X\setminus A$ принадлежит ультрафильтру.

Ультрафильтры на множествах — это важный частный случай ультрафильтров на частично упорядоченных множествах , где частично упорядоченное множество состоит из степенного множества. $\wp (X)$ а частичный порядок - это включение подмножества $\,\subseteq .$ В этой статье речь идет конкретно об ультрафильтрах на съемочной площадке и не рассматривается более общее понятие.

В комплекте два типа ультрафильтра. Основной ультрафильтр на $X$ представляет собой совокупность всех подмножеств $X$ которые содержат фиксированный элемент $x\in X$. Ультрафильтры, не являющиеся главными, — это свободные ультрафильтры . Существование свободных ультрафильтров на любом бесконечном множестве подразумевается леммой об ультрафильтре , которая может быть доказана в ZFC . С другой стороны, существуют модели ZF , в которых каждый ультрафильтр на множестве является главным.

Ультрафильтры имеют множество приложений в теории множеств, теории моделей и топологии . Обычно только свободные ультрафильтры приводят к нетривиальным конструкциям. Например, ультрапроизведение по модулю главного ультрафильтра всегда изоморфно одному из сомножителей, а ультрапроизведение по модулю свободного ультрафильтра обычно имеет более сложную структуру.

Определения

См. Также: Фильтр (математика) и Ультрафильтр.

Учитывая произвольный набор $X,$ ультрафильтр ​ на $X$ это непустая семья $U$ подмножеств $X$ такой, что:

1. Правильный или невырожденный : пустое множество не является элементом $U.$
2. Вверх закрыто $X$: Если $A\in U$ и если $B\subseteq X$ это любое надмножество $A$ (то есть, если $A\subseteq B\subseteq X$) затем $B\in U.$
3. π -система : Если $A$ и $B$ являются элементами $U$ тогда и их пересечение $A\cap B.$
4. Если $A\subseteq X$ тогда либо $A$ или его дополнение $X\setminus A$ является элементом $U.$

Свойства (1), (2) и (3) являются определяющими свойствами фильтра на $X.$ Некоторые авторы не включают невырожденность (которая является свойством (1) выше) в свое определение «фильтра». Однако определение «ультрафильтра» (а также «предфильтра» и «подбазы фильтра») всегда включает в себя невырожденность как определяющее условие. В этой статье требуется, чтобы все фильтры были правильными, хотя для акцента фильтр можно назвать «правильным».

Подбаза фильтра . — это непустое семейство множеств, которое обладает свойством конечного пересечения (т. е. все конечные пересечения непусты) Аналогично, подбаза фильтра — это непустое семейство множеств, содержащееся в некотором (собственном) фильтре. Самый маленький (относительно $\subseteq$Говорят, что фильтр, содержащий данную подбазу фильтров, генерируется подбазой фильтров.

Закрытие вверх в $X$ из семейства наборов $P$ это набор

$P^{\uparrow X}:=\{S:A\subseteq S\subseteq X{\text{ for some }}A\in P\}.$

А предфильтр или база фильтра непустая и правильная (т.е. $\varnothing \not \in P$) семейство множеств $P$ направлено вниз , а это означает, что если $B,C\in P$ тогда существует некоторый $A\in P$ такой, что $A\subseteq B\cap C.$ Аналогично, предварительный фильтр — это любое семейство наборов. $P$ чье закрытие вверх $P^{\uparrow X}$ является фильтром, и в этом случае этот фильтр называется фильтром, сгенерированным $P$ и $P$ считается основой фильтра для $P^{\uparrow X}.$

Двойной вход $X$ из семейства наборов $P$ это набор $X\setminus P:=\{X\setminus B:B\in P\}.$ Например, двойной силовой набор $\wp (X)$ это само по себе: $X\setminus \wp (X)=\wp (X).$ Семейство множеств является правильным фильтром $X$ тогда и только тогда, когда его двойственный идеал является собственным идеалом на $X$ (« правильный » означает не равный установленной мощности).

Обобщение для ультрапрефильтров

Семья $U\neq \varnothing$ подмножеств $X$ называется ультра, если $\varnothing \not \in U$ и любое из следующих эквивалентных условий удовлетворено:

1. Для каждого набора $S\subseteq X$ существует некоторый набор $B\in U$ такой, что $B\subseteq S$ или $B\subseteq X\setminus S$ (или, что то же самое, такое, что $B\cap S$ равно $B$ или $\varnothing$).
2. Для каждого набора $S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B$ существует некоторый набор $B\in U$ такой, что $B\cap S$ равно $B$ или $\varnothing .$
   • Здесь, ${\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B$ определяется как объединение всех множеств в $U.$
   • Эта характеристика « $U$ ультра» не зависит от набора $X,$ так что упомянув набор $X$ не является обязательным при использовании термина «ультра».
3. Для каждого набора $S$ (не обязательно даже подмножество $X$) существует некоторое множество $B\in U$ такой, что $B\cap S$ равно $B$ или $\varnothing .$
   • Если $U$ удовлетворяет этому условию, то и каждый суперсет удовлетворяет этому условию. $V\supseteq U.$ В частности, набор $V$ является ультра тогда и только тогда, когда $\varnothing \not \in V$ и $V$ содержит в качестве подмножества некоторое ультрасемейство множеств.

Фильтрующая подставка ультра обязательно является предварительным фильтром.

Свойство ultra теперь можно использовать для определения как ультрафильтров, так и ультрапрефильтров:

Ан ультра префильтр это префильтр ультра. По сути, это ультрафильтрационная подставка.

Ан ультрафильтр на $X$ это (правильный) фильтр на $X$ это ультра. Эквивалентно, это любой фильтр на $X$ который генерируется ультрапрефильтром.

Ультра префильтры как максимальные префильтры

Чтобы охарактеризовать ультрапрефильтры с точки зрения «максимальности», необходимо следующее соотношение.

Даны два семейства множеств $M$ и $N,$ семья $M$ говорят, что он грубее чем $N,$ и $N$ тоньше ​ и подчинено $M,$ написано $M\leq N$ или N ⊢ M , если для любого $C\in M,$ есть некоторые $F\in N$ такой, что $F\subseteq C.$ Семьи $M$ и $N$ называются эквивалентными, если $M\leq N$ и $N\leq M.$ Семьи $M$ и $N$ сравнимы , если одно из этих множеств тоньше другого.

Отношения подчинения, т. $\,\geq ,\,$ является предварительным порядком, поэтому приведенное выше определение «эквивалента» действительно образует отношение эквивалентности . Если $M\subseteq N$ затем $M\leq N$ но обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если $N$ закрыт вверху, например, как фильтр, тогда $M\leq N$ тогда и только тогда, когда $M\subseteq N.$ Каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. Это показывает, что фильтры могут быть эквивалентны наборам, которые не являются фильтрами.

Если два семейства множеств $M$ и $N$ эквивалентны, то либо оба $M$ и $N$ являются ультра (соответственно префильтры, подбазы фильтров) или, в противном случае, ни один из них не является ультра (соответственно предварительный фильтр, подбаза фильтров). В частности, если подбаза фильтра не является также предварительным фильтром, то она не эквивалентна фильтру или предварительному фильтру, который она генерирует. Если $M$ и $N$ оба фильтра включены $X$ затем $M$ и $N$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $M=N.$ Если собственный фильтр (соответственно ультрафильтр) эквивалентен семейству множеств $M$ затем $M$ обязательно является префильтром (соответственно ультра префильтром). Используя следующую характеристику, можно определить префильтры (соответственно ультрапрефильтры), используя только концепцию фильтров (соответственно ультрафильтров) и подчиненность:

Произвольное семейство множеств является префильтром тогда и только тогда, когда оно эквивалентно (собственному) фильтру.

Произвольное семейство множеств является ультрапрефильтром тогда и только тогда, когда оно эквивалентно ультрафильтру.

А максимальный префильтр включен $X$ это предварительный фильтр $U\subseteq \wp (X)$ который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. $U$ это ультра.
2. $U$ является максимальным на $\operatorname {Prefilters} (X)$ относительно $\,\leq ,$ это означает, что если $P\in \operatorname {Prefilters} (X)$ удовлетворяет $U\leq P$ затем $P\leq U.$
3. Не существует префильтра, должным образом подчиненного $U.$
4. Если (правильный) фильтр $F$ на $X$ удовлетворяет $U\leq F$ затем $F\leq U.$
5. Фильтр включен $X$ созданный $U$ это ультра.

Характеристики

нет ультрафильтров На пустом множестве , поэтому в дальнейшем предполагается, что $X$ непусто.

фильтра База ​ $U$ на $X$ это ультрафильтр на $X$ тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. для любого $S\subseteq X,$ или $S\in U$ или $X\setminus S\in U.$
2. $U$ является максимальной подбазой фильтра на $X,$ это означает, что если $F$ есть ли какая-либо подбаза фильтра на $X$ затем $U\subseteq F$ подразумевает $U=F.$

(Правильный) фильтр $U$ на $X$ это ультрафильтр на $X$ тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. $U$ ультра;
2. $U$ генерируется ультрапрефильтром;
3. Для любого подмножества $S\subseteq X,$ $S\in U$ или $X\setminus S\in U.$
   • Итак, ультрафильтр $U$ решает за каждого $S\subseteq X$ ли $S$ является «большим» (т.е. $S\in U$) или «маленький» (т.е. $X\setminus S\in U$).
4. Для каждого подмножества $A\subseteq X,$ или $A$ находится в $U$ или ( $X\setminus A$) является.
5. $U\cup (X\setminus U)=\wp (X).$ Это условие можно переформулировать так: $\wp (X)$ разделен на $U$ и его двойственность $X\setminus U.$
   • Наборы $P$ и $X\setminus P$ непересекающиеся для всех предфильтров $P$ на $X.$
6. $\wp (X)\setminus U=\left\{S\in \wp (X):S\not \in U\right\}$ является идеалом на $X.$
7. Для любого конечного семейства $S_{1},\ldots ,S_{n}$ подмножеств $X$ (где $n\geq 1$), если $S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}\in U$ затем $S_{i}\in U$ для некоторого индекса $i.$
   • Другими словами, «большое» множество не может быть конечным объединением множеств, ни одно из которых не является большим.
8. Для любого $R,S\subseteq X,$ если $R\cup S=X$ затем $R\in U$ или $S\in U.$
9. Для любого $R,S\subseteq X,$ если $R\cup S\in U$ затем $R\in U$ или $S\in U$ (фильтр с таким свойством называется основной фильтр ).
10. Для любого $R,S\subseteq X,$ если $R\cup S\in U$ и $R\cap S=\varnothing$ тогда либо $R\in U$ или $S\in U.$
11. $U$ – максимальный фильтр; то есть, если $F$ это фильтр на $X$ такой, что $U\subseteq F$ затем $U=F.$ Эквивалентно, $U$ является максимальным фильтром, если фильтра нет $F$ на $X$ который содержит $U$ как собственное подмножество (то есть ни один фильтр не является строго более тонким, чем $U$).

Грили и фильтр-грили

Если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ тогда включается гриль $X$ это семья

$${\mathcal {B}}^{\#X}:=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}\}$$

где ${\mathcal {B}}^{\#}$ можно написать, если $X$ понятно из контекста. Например, $\varnothing ^{\#}=\wp (X)$ и если $\varnothing \in {\mathcal {B}}$ затем ${\mathcal {B}}^{\#}=\varnothing .$ Если ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$ затем ${\mathcal {B}}^{\#}\subseteq {\mathcal {A}}^{\#}$ и более того, если ${\mathcal {B}}$ тогда это подоснова фильтра ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}^{\#}.$ Гриль ${\mathcal {B}}^{\#X}$ закрыто вверх $X$ тогда и только тогда, когда $\varnothing \not \in {\mathcal {B}},$ что и будет считаться впредь. Более того, ${\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ так что ${\mathcal {B}}$ закрыто вверх $X$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}.$

Решетка фильтра на $X$ называется фильтр-решетка на $X.$ Для любого $\varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),$ ${\mathcal {B}}$ есть фильтр-гриль на $X$ тогда и только тогда, когда (1) ${\mathcal {B}}$ закрыто вверх $X$ и (2) для всех наборов $R$ и $S,$ если $R\cup S\in {\mathcal {B}}$ затем $R\in {\mathcal {B}}$ или $S\in {\mathcal {B}}.$ Работа на гриле ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}$ вызывает биекцию

${\bullet }^{\#X}~:~\operatorname {Filters} (X)\to \operatorname {FilterGrills} (X)$

обратное для которого также определяется выражением ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}.$ Если ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)$ затем ${\mathcal {F}}$ есть фильтр-гриль на $X$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\#X},$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}$ это ультрафильтр на $X.$ То есть фильтр на $X$ является фильтром-грилем тогда и только тогда, когда он ультра. Для любого непустого ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),$ ${\mathcal {F}}$ является одновременно фильтром $X$ и фильтр-гриль на $X$ тогда и только тогда, когда (1) $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$ и (2) для всех $R,S\subseteq X,$ имеют место следующие эквивалентности:

$R\cup S\in {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда $R,S\in {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда $R\cap S\in {\mathcal {F}}.$

Бесплатно или по основной сумме

Если $P$ любое непустое семейство множеств, ядро то $P$ является пересечением всех множеств в $P:$

$$\operatorname {ker} P:=\bigcap _{B\in P}B.$$

Непустое семейство множеств $P$ называется:

• бесплатно, если $\operatorname {ker} P=\varnothing$ и фиксируется в противном случае (то есть, если $\operatorname {ker} P\neq \varnothing$).
• основной капитал , если $\operatorname {ker} P\in P.$
• принципал в какой-то момент, если $\operatorname {ker} P\in P$ и $\operatorname {ker} P$ представляет собой одноэлементный набор; в этом случае, если $\operatorname {ker} P=\{x\}$ затем $P$ считается главным в $x.$

Если семейство множеств $P$ исправлено тогда $P$ является ультра тогда и только тогда, когда некоторый элемент $P$ является одноэлементным набором, и в этом случае $P$ обязательно будет предфильтр. Каждый основной префильтр фиксирован, поэтому основной префильтр $P$ является ультра тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} P$ представляет собой одноэлементный набор. Одноэлементное множество является ультра тогда и только тогда, когда его единственный элемент также является одноэлементным множеством.

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он свободен, либо является главным фильтром, порожденным одной точкой.

Предложение — Если $U$ это ультрафильтр на $X$ то следующие условия эквивалентны:

1. $U$ является фиксированным или, что то же самое, не является бесплатным.
2. $U$ является основным.
3. Какой-то элемент $U$ является конечным множеством.
4. Какой-то элемент $U$ представляет собой одноэлементный набор.
5. $U$ является главным в какой-то момент $X,$ что означает $\operatorname {ker} U=\{x\}\in U$ для некоторых $x\in X.$
6. $U$ не содержит фильтра Фреше на $X$ как подмножество.
7. $U$ является последовательным.

Каждый фильтр включен $X$ то есть главным в одной точке является ультрафильтр, а если к тому же $X$ конечно, то на $X$ кроме этих. В частности, если набор $X$ имеет конечную мощность $n<\infty ,$ тогда есть точно $n$ ультрафильтры включены $X$ и это ультрафильтры, генерируемые каждым одноэлементным подмножеством $X.$ Следовательно, свободные ультрафильтры могут существовать только на бесконечном множестве.

Примеры, свойства и достаточные условия

Если $X$ бесконечное множество, то существует столько же ультрафильтров над $X$ поскольку существуют семейства подмножеств $X;$ явно, если $X$ имеет бесконечную мощность $\kappa$ то набор ультрафильтров над $X$ имеет ту же мощность, что и $\wp (\wp (X));$ эта мощность является $2^{2^{\kappa }}.$

Если $U$ и $S$ являются семействами множеств таких, что $U$ это ультра, $\varnothing \not \in S,$ и $U\leq S,$ затем $S$ обязательно ультра. Подоснова фильтра $U$ то, что не является префильтром, не может быть ультра; но, тем не менее, это все еще возможно для предварительного фильтра и фильтра, созданных $U$ быть ультра.

Предполагать $U\subseteq \wp (X)$ это ультра и $Y$ это набор. След $U\vert _{Y}:=\{B\cap Y:B\in U\}$ является ультра тогда и только тогда, когда оно не содержит пустого множества. При этом хотя бы одно из множеств $U\vert _{Y}\setminus \{\varnothing \}$ и $U\vert _{X\setminus Y}\setminus \{\varnothing \}$ будет ультра (этот результат распространяется на любое конечное разбиение $X$). Если $F_{1},\ldots ,F_{n}$ включены ли фильтры $X,$ $U$ это ультрафильтр на $X,$ и $F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\leq U,$ тогда есть что-то $F_{i}$ это удовлетворяет $F_{i}\leq U.$ Этот результат не обязательно верен для бесконечного семейства фильтров.

Изображение под картой $f:X\to Y$ из ультра-набора $U\subseteq \wp (X)$ снова ультра, и если $U$ это ультра префильтр, то и так $f(U).$ Свойство быть ультра сохраняется и при биекциях. Однако прообраз ультрафильтра не обязательно является ультрафильтром, даже если отображение сюръективно. Например, если $X$ имеет более одной точки, и если диапазон $f:X\to Y$ состоит из одной точки $\{y\}$ затем $\{y\}$ это ультрапрефильтр на $Y$ но его прообраз не является ультра. Альтернативно, если $U$ — главный фильтр, порожденный точкой в $Y\setminus f(X)$ тогда прообраз $U$ содержит пустой набор и поэтому не является ультра.

Элементарный фильтр, индуцированный бесконечной последовательностью, все точки которой различны, не является ультрафильтром. Если $n=2,$ затем $U_{n}$ обозначает множество, состоящее из всех подмножеств $X$ имеющий мощность $n,$ и если $X$ содержит как минимум $2n-1$ ( $=3$) различные точки, то $U_{n}$ является ультра, но он не содержится ни в одном предварительном фильтре. Этот пример обобщается на любое целое число $n>1$ а также $n=1$ если $X$ содержит более одного элемента. Ультра-наборы, не являющиеся префильтрами, используются редко.

Для каждого $S\subseteq X\times X$ и каждый $a\in X,$ позволять $S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\{y\in X~:~(a,y)\in S\}.$ Если ${\mathcal {U}}$ это ультрафильтр на $X$ тогда набор всего $S\subseteq X\times X$ такой, что $\left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}$ это ультрафильтр на $X\times X.$

Структура монады

Функтор , связывающий любое множество $X$ набор $U(X)$ всех ультрафильтров на $X$ образует монаду, называемую ультрафильтрационная монада . Карта юнитов

$$X\to U(X)$$

отправляет любой элемент $x\in X$ к главному ультрафильтру, заданному формулой $x.$

Эта монада ультрафильтра является монадой кодовой плотности включения категории конечных множеств в категорию всех множеств , что дает концептуальное объяснение этой монады.

Аналогично, монада ультрапроизведения — это монада кодовой плотности включения категории конечных семейств множеств в категорию всех семейств множеств. Так что в этом смысле ультрапродукты категорически неизбежны.

Лемма

Лемма об ультрафильтре была впервые доказана Альфредом Тарским в 1930 году.

The лемма /принцип/теорема об ультрафильтре — Каждый правильный фильтр в наборе $X$ содержится в некотором ультрафильтре на $X.$

Лемма об ультрафильтре эквивалентна каждому из следующих утверждений:

1. Для каждого префильтра в наборе $X,$ существует максимальный префильтр на $X$ подчинен ему.
2. Каждая правильная подбаза фильтра на множестве $X$ содержится в некотором ультрафильтре на $X.$

Следствием леммы об ультрафильтре является то, что каждый фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров.

Следующие результаты можно доказать с помощью леммы об ультрафильтре. На множестве существует свободный ультрафильтр $X$ тогда и только тогда, когда $X$ бесконечен. Каждый собственный фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. Поскольку существуют фильтры, которые не являются ультрафильтрами, это показывает, что пересечение семейства ультрафильтров не обязательно должно быть ультрафильтром. Семейство наборов $\mathbb {F} \neq \varnothing$ можно расширить до свободного ультрафильтра тогда и только тогда, когда пересечение любого конечного семейства элементов $\mathbb {F}$ бесконечен.

Связь с другими заявлениями в рамках ZF

См. Также: Булева теорема о простых идеалах и теоретико-множественная топология.

В этом разделе ZF относится к теории множеств Цермело–Френкеля , а ZFC относится к ZF с аксиомой выбора ( AC ). Лемма об ультрафильтре не зависит от ZF . То есть существуют модели , в которых аксиомы ZF выполняются, но лемма об ультрафильтре — нет. Существуют также модели ZF , в которых каждый ультрафильтр обязательно является главным.

Каждый фильтр, содержащий одноэлементное множество, обязательно является ультрафильтром и задан $x\in X,$ определение дискретного ультрафильтра $\{S\subseteq X:x\in S\}$ не требуется больше, чем ZF . Если $X$ конечен, то каждый ультрафильтр является дискретным фильтром в точке; следовательно, свободные ультрафильтры могут существовать только на бесконечных множествах. В частности, если $X$ конечно, то лемму об ультрафильтре можно доказать на основе аксиом ZF . Существование свободного ультрафильтра на бесконечных множествах можно доказать, если принять аксиому выбора. В более общем смысле лемму об ультрафильтре можно доказать с помощью аксиомы выбора , которая вкратце утверждает, что любое декартово произведение непустых множеств непусто. При ZF выбранная аксиома, в частности, эквивалентна (а) лемме Цорна , (б) теореме Тихонова , (в) слабой форме теоремы о векторном базисе (которая утверждает, что каждое векторное пространство имеет базис ), ( г) сильная форма теоремы о векторном базисе и другие утверждения. Однако лемма об ультрафильтре строго слабее аксиомы выбора. Хотя существование свободных ультрафильтров можно доказать, невозможно построить явный пример свободного ультрафильтра (используя только ZF и лемму об ультрафильтре); то есть свободные ультрафильтры нематериальны. Альфред Тарский доказал, что при ZFC мощность множества всех свободных ультрафильтров на бесконечном множестве $X$ равна мощности $\wp (\wp (X)),$ где $\wp (X)$ обозначает набор мощности $X.$Другие авторы приписывают это открытие Бедржиху Поспишилу (следуя комбинаторному аргументу Фихтенгольца и Канторовича , усовершенствованному Хаусдорфом ).

При ZF может выбранная аксиома использоваться для доказательства как леммы об ультрафильтре, так и теоремы Крейна – Милмана ; и наоборот, при ZF лемма об ультрафильтре вместе с теоремой Крейна – Милмана может доказать выбранную аксиому.

Утверждения, которые невозможно вывести

Лемма об ультрафильтре является относительно слабой аксиомой. Например, каждое из утверждений в следующем списке не может быть выведено из ZF вместе только с леммой об ультрафильтре:

1. Счетное объединение счетных множеств является счетным множеством.
2. Аксиома счетного выбора ( ACC ).
3. Аксиома зависимого выбора ( ADC ).

Эквивалентные утверждения

В соответствии с ZF лемма об ультрафильтре эквивалентна каждому из следующих утверждений:

1. Булева теорема о простых идеалах ( BPIT ).
2. Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр .
3. Любое произведение булевых пространств является булевым пространством.
4. Теорема о существовании булевого простого идеала. Каждая невырожденная булева алгебра имеет простой идеал.
5. Теорема Тихонова для хаусдорфовых пространств : Любое произведение компактных компактно хаусдорфовых пространств .
6. Если $\{0,1\}$ наделен дискретной топологией , то для любого множества $I,$ пространство продукта $\{0,1\}^{I}$ компактен ​ .
7. Каждая из следующих версий теоремы Банаха-Алаоглу эквивалентна лемме об ультрафильтре:
   1. Любое равнонепрерывное множество скалярнозначных отображений на топологическом векторном пространстве (ТВП) относительно компактно в слабо*-топологии (т. е. содержится в некотором слабо*-компактном множестве).
   2. Поляра любой окрестности начала координат в TVS $X$ является слабо*-компактным подмножеством своего непрерывного двойственного пространства .
   3. Замкнутый единичный шар в непрерывном дуальном пространстве любого нормированного пространства слабо компактен.
      • Если нормированное пространство сепарабельно, то леммы об ультрафильтре достаточно, но не обязательно для доказательства этого утверждения.
8. Топологическое пространство $X$ компактен, если каждый ультрафильтр на $X$ сходится к некоторому пределу.
9. Топологическое пространство $X$ компактен тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на $X$ сходится к некоторому пределу.
   • Добавление слов «и только если» — единственное отличие этого утверждения от предыдущего.
10. Теорема Александера о подбазисах .
11. Лемма Ultranet: каждая сеть имеет универсальную подсеть.
    • По определению, сеть в $X$ называется ультрасетью или универсальной сетью , если для любого подмножества $S\subseteq X,$ сеть наконец-то появилась $S$ или в $X\setminus S.$
12. Топологическое пространство $X$ компактна тогда и только тогда, когда каждая ультрасеть в $X$ сходится к некоторому пределу.
    • Если убрать слова «и только тогда», то полученное утверждение останется эквивалентным лемме об ультрафильтре.
13. Пространство конвергенции $X$ компактен, если каждый ультрафильтр на $X$ сходится.
14. Равномерное пространство называется компактным, если оно полно и вполне ограничено .
15. Теорема Стоуна –Чеха о компактификации .
16. Каждая из следующих версий теоремы о компактности эквивалентна лемме об ультрафильтре:
    1. Если $\Sigma$ — это набор первого порядка, предложений такой что каждое конечное подмножество $\Sigma$ есть модель , то $\Sigma$ есть модель.
    2. Если $\Sigma$ — это набор предложений нулевого порядка, такой что каждое конечное подмножество $\Sigma$ есть модель, то $\Sigma$ есть модель.
17. Теорема о полноте : если $\Sigma$ представляет собой набор предложений нулевого порядка , синтаксически непротиворечивый, то он имеет модель (то есть он семантически непротиворечив).

Более слабые утверждения

Любое утверждение, которое можно вывести из леммы об ультрафильтре (вместе с ZF ), называется более слабым , чем лемма об ультрафильтре. Более слабое утверждение называется строго более слабым , если при ZF оно не эквивалентно лемме об ультрафильтре. В соответствии с ZF лемма об ультрафильтре подразумевает каждое из следующих утверждений:

1. Аксиома выбора конечных множеств ( ACF ): дано $I\neq \varnothing$ и семья $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ непустых конечных множеств, их произведение ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i}$ не пуст.
2. объединение Счётное конечных множеств — счётное множество.
   • Однако ZF с леммой об ультрафильтре слишком слаб, чтобы доказать, что счетное объединение счетных множеств является счетным множеством.
3. Теорема Хана –Банаха .
   • В ZF теорема Хана–Банаха строго слабее леммы об ультрафильтре.
4. Тарского Парадокс Банаха- .
   • Фактически, при ZF парадокс Банаха–Тарского можно вывести из теоремы Хана–Банаха : что строго слабее леммы об ультрафильтре.
5. Каждое множество может быть линейно упорядочено .
6. Каждое поле имеет единственное алгебраическое замыкание .
7. Нетривиальные ультрапроизведения существуют.
8. Теорема о слабом ультрафильтре: свободный ультрафильтр существует на $\mathbb {N} .$
   • При ZF теорема о слабом ультрафильтре не влечет за собой лемму об ультрафильтре; то есть она строго слабее леммы об ультрафильтре.
9. На каждом бесконечном множестве существует свободный ультрафильтр;
   • На самом деле это утверждение строго слабее леммы об ультрафильтре.
   • Сам по себе ZF даже не подразумевает существования неглавного ультрафильтра на некотором множестве.

Полнота

Комплектность ​ ультрафильтра $U$ на наборе степеней — это наименьший кардинал κ такой, что существует κ элементов $U$ пересечение которого не находится в $U.$ Определение ультрафильтра подразумевает, что полнота любого ультрафильтра Powerset не менее $\aleph _{0}$. Ультрафильтр, полнота больше которого $\aleph _{0}$— то есть пересечение любого счетного набора элементов $U$ все еще находится $U$— называется счётно полным или σ-полным .

Полнота счетно полного неглавного ультрафильтра на наборе степеней всегда является измеримым кардиналом .

Заказ ультрафильтров

The Порядок Рудина-Кейслера (названный в честь Мэри Эллен Рудин и Говарда Джерома Кейслера ) — это предварительный порядок в классе ультрафильтров Powerset, определяемый следующим образом: если $U$ это ультрафильтр на $\wp (X),$ и $V$ ультрафильтр на $\wp (Y),$ затем $V\leq {}_{RK}U$ если существует функция $f:X\to Y$ такой, что

$C\in V$ тогда и только тогда, когда $f^{-1}[C]\in U$

для каждого подмножества $C\subseteq Y.$

Ультрафильтры $U$ и $V$ называются Эквивалент Рудина–Кейслера , обозначаемый U ≡ _RK V , если существуют множества $A\in U$ и $B\in V$ и биекция $f:A\to B$ что удовлетворяет условию выше. (Если $X$ и $Y$ имеют одинаковую мощность, определение можно упростить, зафиксировав $A=X,$ $B=Y.$)

Известно, что ≡ _RK является ядром ≤ _RK , т. е. U ≡ _RK V тогда и только тогда, когда $U\leq {}_{RK}V$ и $V\leq {}_{RK}U.$

Ультрафильтры на ℘(ω)

Ультрафильтр обладает несколькими особыми свойствами. $\wp (\omega ),$ где $\omega$ расширяет возможные натуральные числа , которые могут оказаться полезными в различных областях теории множеств и топологии.

• Неглавный ультрафильтр $U$ называется P-точкой (или слабо избирательно ), если для каждого раздела $\left\{C_{n}:n<\omega \right\}$ из $\omega$ такой, что для всех $n<\omega ,$ $C_{n}\not \in U,$ существует какой-то $A\in U$ такой, что $A\cap C_{n}$ является конечным множеством для каждого $n.$
• Неглавный ультрафильтр $U$ называется Рамзи (или селективным ), если для каждого раздела $\left\{C_{n}:n<\omega \right\}$ из $\omega$ такой, что для всех $n<\omega ,$ $C_{n}\not \in U,$ существует какой-то $A\in U$ такой, что $A\cap C_{n}$ представляет собой одноэлементный набор для каждого $n.$

Тривиально наблюдать, что все ультрафильтры Рамсея являются P-точками. Уолтер Рудин доказал, что гипотеза континуума предполагает существование ультрафильтров Рамсея. Фактически, многие гипотезы предполагают существование ультрафильтров Рамсея, включая аксиому Мартина . Сахарон Шела позже показал, что ультрафильтров P-точки не существует. Следовательно, существование этих типов ультрафильтров не зависит от ZFC .

P-точки называются так потому, что они являются топологическими P-точками в обычной топологии пространства βω \ ω неглавных ультрафильтров. Имя Рэмси происходит от теоремы Рамсея . Чтобы понять почему, можно доказать, что ультрафильтр является Рамсеевским тогда и только тогда, когда для каждой 2-раскраски $[\omega ]^{2}$ существует элемент ультрафильтра, имеющий однородный цвет.

Ультрафильтр включен $\wp (\omega )$ является Рэмси тогда и только тогда, когда он минимален в порядке Рудина–Кейслера неглавных ультрафильтров степенного множества.

См. также

• Расширитель (теория множеств) - в теории множеств система ультрафильтров, представляющая элементарное вложение, свидетельствующее о больших кардинальных свойствах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Фильтр (математика) – в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Теорема Лоша – математическая конструкция. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Ультрафильтр – Максимально правильный фильтр
• Универсальная сеть – обобщение последовательности точек . Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Примечания

Доказательства

Библиография

• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN  978-90-277-1355-1 . OCLC   9944489 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90972-1 . ОСЛК   10277303 .
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Adam Hilger Ltd. Бристоль, Англия: ISBN  0-85274-275-4 . ОСЛК   4146011 .
• Джех, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-44085-7 . OCLC   50422939 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd.  978-0-85226-444-7 . OCLC   9218750 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co.  978-0-356-02077-8 . OCLC   463753 .

Дальнейшее чтение

• Комфорт, WW (1977). «Ультрафильтры: некоторые старые и некоторые новые результаты» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 83 (4): 417–455. дои : 10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN   0002-9904 . МР   0454893 .
• Комфорт, WW; Негрепонтис, С. (1974), Теория ультрафильтров , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0396267.
• Ультрафильтр в n Lab