Теорема Банаха – Алаоглу

В функциональном анализе и смежных разделах математики теорема Банаха -Алаоглу (также известная как теорема Алаоглу ) утверждает, что единичный шар двойственного пространства нормированного векторного пространства компактен замкнутый в слабой* топологии . Обычное доказательство идентифицирует единичный шар со слабой топологией как замкнутое подмножество произведения компактных множеств с топологией произведения . Как следствие теоремы Тихонова , это произведение и, следовательно, единичный шар внутри него компактны.

Эта теорема имеет приложения в физике, когда описывается набор состояний алгебры наблюдаемых, а именно, что любое состояние можно записать как выпуклую линейную комбинацию так называемых чистых состояний.

История

По словам Лоуренса Наричи и Эдварда Бекенштейна, теорема Алаоглу — это «очень важный результат — возможно, самый важный факт о топологии слабого* — [который] находит отклик во всем функциональном анализе». В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного дуального пространства $C([a,b])$ счетно слабо-* компактно. В 1932 году Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном дуальном пространстве к любому сепарабельному нормированному пространству секвенциально слабо компактен (Банах рассматривал только секвенциальную компактность ). Доказательство общего случая было опубликовано в 1940 году математиком Леонидасом Алаоглу . По мнению Питча [2007], есть как минимум двенадцать математиков, которые могут претендовать на эту теорему или на ее важного предшественника.

Теорема Бурбаки–Алаоглу является обобщением оригинальной теоремы Бурбаки к двойственным топологиям на локально выпуклых пространствах . Эту теорему также называют теоремой Банаха – Алаоглу или теоремой слабой компактности , и ее обычно называют просто теоремой Алаоглу .

Заявление

См. Также: Топологическое векторное пространство § Двойное пространство , Двойная система и Полярное множество.

Если $X$ — векторное пространство над полем $\mathbb {K}$ затем $X^{\#}$ будет обозначать алгебраическое дуальное пространство $X$ и эти два пространства отныне связаны с билинейным оценочным отображением $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K}$ определяется $$\left\langle x,f\right\rangle ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)$$где тройка $\left\langle X,X^{\#},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right\rangle$ образует двойственную систему, называемую канонической дуальной системой .

Если $X$ является топологическим векторным пространством (ТВП), то его непрерывное двойственное пространство будет обозначаться через $X^{\prime },$ где $X^{\prime }\subseteq X^{\#}$ всегда держит. Обозначим топологиюweak-* на $X^{\#}$ к $\sigma \left(X^{\#},X\right)$ и обозначим топологию слабого* на $X^{\prime }$ к $\sigma \left(X^{\prime },X\right).$ Топологию слабого* также называют топологией поточечной сходимости, поскольку для данного отображения $f$ и сеть карт $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I},$ сеть $f_{\bullet }$ сходится к $f$ в этой топологии тогда и только тогда, когда для каждой точки $x$ в области, сеть ценностей $\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}$ сходится к значению $f(x).$

Теорема Алаоглу — Для любого топологического векторного пространства (ТВП) $X$ ( не обязательно Хаусдорф или локально выпуклый ) с непрерывным дуальным пространством $X^{\prime },$ полярный ​ $$U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$$ любого района $U$ происхождения в $X$ компактен в топологии слабого* $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ на $X^{\prime }.$ Более того, $U^{\circ }$ равен поляре $U$ относительно канонической системы $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$ и это также компактное подмножество $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).$

Доказательство с использованием теории двойственности

Доказательство

Обозначим базовым полем $X$ к $\mathbb {K} ,$ это либо действительные числа $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$ В этом доказательстве будут использоваться некоторые основные свойства, перечисленные в статьях: полярное множество , двойственная система и непрерывный линейный оператор .

Для начала доказательства напомним некоторые определения и легко проверяемые результаты. Когда $X^{\#}$ наделен топологиейweak- * $\sigma \left(X^{\#},X\right),$ то это хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство обозначается через $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).$ Пространство $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ всегда является полным TVS ; однако, $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$ может не быть полным пространством, поэтому в этом доказательстве используется пространство $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).$ В частности, это доказательство будет использовать тот факт, что подмножество полного хаусдорфова пространства компактно тогда (и только тогда, когда) оно замкнуто и полностью ограничено . Важно отметить, что топология подпространства , которая $X^{\prime }$ наследует от $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ равно $\sigma \left(X^{\prime },X\right).$ В этом легко убедиться, показав, что при любом $f\in X^{\prime },$ сеть ​ в $X^{\prime }$ сходится к $f$ в одной из этих топологий тогда и только тогда, когда она также сходится к $f$ в другой топологии (заключение следует, поскольку две топологии равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые сходящиеся сети).

тройка $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$ это двойная пара, хотя и в отличие от $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,$ как правило, не гарантируется, что это будет двойная система. Всюду, если не указано иное, все полярные множества будут взяты относительно канонического спаривания. $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .$

Позволять $U$ быть окрестностью начала координат в $X$ и пусть:

• $U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$ быть полярником $U$ относительно канонического спаривания $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$;
• $U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}$ быть биполярным $U$ относительно $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$;
• $U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$ быть полярником $U$ относительно канонической дуальной системы $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle .$ Обратите внимание, что $U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.$

Хорошо известный факт о полярных множествах заключается в том, что $U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.$

1. Покажи это $U^{\#}$ это $\sigma \left(X^{\#},X\right)$-закрытое подмножество $X^{\#}:$ Позволять $f\in X^{\#}$ и предположим, что $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $U^{\#}$ который сходится к $f$ в $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).$ Заключить, что $f\in U^{\#},$ достаточно (и необходимо) показать, что $|f(u)|\leq 1$ для каждого $u\in U.$ Потому что $f_{i}(u)\to f(u)$ в скалярном поле $\mathbb {K}$ и каждое значение $f_{i}(u)$ принадлежит к закрытым (в $\mathbb {K}$) подмножество $\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},$ то же самое должно быть и с пределом этой сети $f(u)$ принадлежат этому множеству. Таким образом $|f(u)|\leq 1.$
2. Покажи это $U^{\#}=U^{\circ }$ а затем сделать вывод, что $U^{\circ }$ является закрытым подмножеством обоих $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ и $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):$ Включение $U^{\circ }\subseteq U^{\#}$ выполняется, поскольку каждый непрерывный линейный функционал является (в частности) линейным функционалом. Для обратного включения $\,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,$ позволять $f\in U^{\#}$ так что $\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,$ которое точно утверждает, что линейный функционал $f$ ограничена окрестностью $U$; таким образом $f$ является непрерывным линейным функционалом (т. е. $f\in X^{\prime }$) и так $f\in U^{\circ },$ по желанию. Используя (1) и тот факт, что пересечение $U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }$ замкнуто в топологии подпространства на $X^{\prime },$ претензия о $U^{\circ }$ следует закрытие.
3. Покажи это $U^{\circ }$ это $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$- вполне ограниченное подмножество $X^{\prime }:$ По биполярной теореме $U\subseteq U^{\circ \circ }$ где, потому что район $U$ представляет собой поглощающее подмножество $X,$ то же самое должно быть верно и для набора $U^{\circ \circ };$ можно доказать, что из этого следует, что $U^{\circ }$ это $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$- ограниченное подмножество $X^{\prime }.$ Потому что $X$ различает точки $X^{\prime },$ подмножество $X^{\prime }$ является $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-ограничен тогда и только тогда, когда $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$- полностью ограничен . Так, в частности, $U^{\circ }$ также $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-полностью ограничен.
4. Сделайте вывод, что $U^{\circ }$ также является $\sigma \left(X^{\#},X\right)$-полностью ограниченное подмножество $X^{\#}:$ Напомним, что $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ топология включена $X^{\prime }$ идентична топологии подпространства, которая $X^{\prime }$ наследует от $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).$ Этот факт вместе с (3) и определением «тотально ограниченного» означает, что $U^{\circ }$ это $\sigma \left(X^{\#},X\right)$-полностью ограниченное подмножество $X^{\#}.$
5. Наконец, сделайте вывод, что $U^{\circ }$ это $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-компактное подмножество $X^{\prime }:$ Потому что $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ представляет собой полноценный TVS и $U^{\circ }$ является замкнутым (по (2)) и вполне ограниченным (по (4)) подмножеством $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),$ отсюда следует, что $U^{\circ }$ компактен. $\blacksquare$

Если $X$ является нормированным векторным пространством , то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в двойственном пространстве. В частности, если $U$ – это открытый (или закрытый) единичный шар в $X$ тогда поляра $U$ — замкнутый единичный шар в непрерывном дуальном пространстве $X^{\prime }$ из $X$ (с обычной двойной нормой ). Следовательно, эта теорема может быть специализирована для:

Теорема Банаха – Алаоглу — Если $X$ является нормированным пространством, то замкнутый единичный шар в непрерывном дуальном пространстве $X^{\prime }$ (наделенный своей обычной операторной нормой ) компактен относительно слабой топологии .

Когда непрерывное двойственное пространство $X^{\prime }$ из $X$ является бесконечномерным нормированным пространством, то это невозможно для замкнутого единичного шара в $X^{\prime }$ быть компактным подмножеством, когда $X^{\prime }$ имеет свою обычную нормальную топологию. Это связано с тем, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (см. теорему Ф. Рисса ). Эта теорема является одним из примеров полезности наличия разных топологий в одном и том же векторном пространстве.

Следует предостеречь, что, несмотря на видимость, теорема Банаха–Алаоглу не означает, что топологияweak-* локально компактна . Это связано с тем, что замкнутый единичный шар является лишь окрестностью начала координат в сильной топологии , но обычно не является окрестностью начала координат в слабой* топологии, поскольку в слабой* топологии он имеет пустую внутреннюю часть, если только пространство не конечномерный. Фактически, это результат Вейля , что все локально компактные топологические векторные пространства Хаусдорфа должны быть конечномерными.

Элементарное доказательство

Следующее элементарное доказательство не использует теорию двойственности и требует только основных понятий теории множеств, топологии и функционального анализа. Что необходимо от топологии, так это практические знания сетевой сходимости в топологических пространствах и знание того факта, что линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в окрестности начала координат (см. статьи о непрерывных линейных функционалах и сублинейных функционалах) . подробности). Также необходимо правильное понимание технических деталей того, как пространство $\mathbb {K} ^{X}$ всех функций формы $X\to \mathbb {K}$ идентифицируется как декартово произведение ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}$ и взаимосвязь между поточечной сходимостью , топологией произведения и топологиями подпространств, которые они индуцируют на таких подмножествах, как алгебраическое дуальное пространство. $X^{\#}$ и продукты подпространств, таких как ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$ Объяснение этих деталей теперь дано для заинтересованных читателей.

show Премьера пространств продуктов/функций, сетей и поточечной сходимости

For every real $r,$ $B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{c\in \mathbb {K} :|c|\leq r\}$ will denote the closed ball of radius $r$ centered at $0$ and $rU~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:u\in U\}$ for any $U\subseteq X,$ Identification of functions with tuples The Cartesian product ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ is usually thought of as the set of all $X$-indexed tuples $s_{\bullet }=\left(s_{x}\right)_{x\in X}$ but, since tuples are technically just functions from an indexing set, it can also be identified with the space $\mathbb {K} ^{X}$ of all functions having prototype $X\to \mathbb {K} ,$ as is now described: Function $\to$ Tuple: A function $s:X\to \mathbb {K}$ belonging to $\mathbb {K} ^{X}$ is identified with its ($X$-indexed) "tuple of values" $s_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~(s(x))_{x\in X}.$ Tuple $\to$ Function: A tuple $s_{\bullet }=\left(s_{x}\right)_{x\in X}$ in ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ is identified with the function $s:X\to \mathbb {K}$ defined by $s(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~s_{x}$; this function's "tuple of values" is the original tuple $\left(s_{x}\right)_{x\in X}.$ This is the reason why many authors write, often without comment, the equality $$\mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K}$$and why the Cartesian product ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ is sometimes taken as the definition of the set of maps $\mathbb {K} ^{X}$ (or conversely). However, the Cartesian product, being the (categorical) product in the category of sets (which is a type of inverse limit), also comes equipped with associated maps that are known as its (coordinate) projections. The canonical projection of the Cartesian product at a given point $z\in X$ is the function$$\Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} \quad {\text{ defined by }}\quad s_{\bullet }=\left(s_{x}\right)_{x\in X}\mapsto s_{z}$$where under the above identification, $\Pr {}_{z}$ sends a function $s:X\to \mathbb {K}$ to$$\Pr {}_{z}(s)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~s(z).$$ Stated in words, for a point $z$ and function $s,$ "plugging $z$ into $s$" is the same as "plugging $s$ into $\Pr {}_{z}$". In particular, suppose that $\left(r_{x}\right)_{x\in X}$ are non-negative real numbers. Then $\prod _{x\in X}B_{r_{x}}\subseteq \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X},$ where under the above identification of tuples with functions, $\prod _{x\in X}B_{r_{x}}$ is the set of all functions $s\in \mathbb {K} ^{X}$ such that $s(x)\in B_{r_{x}}$ for every $x\in X.$ If a subset $U\subseteq X$ partitions $X$ into $X=U\,\cup \,(X\setminus U)$ then the linear bijection$${\begin{alignedat}{4}H:\;&&\prod _{x\in X}\mathbb {K} &&\;\to \;&\left(\prod _{u\in U}\mathbb {K} \right)\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \\[0.3ex]&&\left(f_{x}\right)_{x\in X}&&\;\mapsto \;&\left(\left(f_{u}\right)_{u\in U},\;\left(f_{x}\right)_{x\in X\setminus U}\right)\\\end{alignedat}}$$canonically identifies these two Cartesian products; moreover, this map is a homeomorphism when these products are endowed with their product topologies. In terms of function spaces, this bijection could be expressed as $${\begin{alignedat}{4}H:\;&&\mathbb {K} ^{X}&&\;\to \;&\mathbb {K} ^{U}\times \mathbb {K} ^{X\setminus U}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&\left(f{\big \vert }_{U},\;f{\big \vert }_{X\setminus U}\right)\\\end{alignedat}}.$$ Notation for nets and function composition with nets A net $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ in $X$ is by definition a function $x_{\bullet }:I\to X$ from a non-empty directed set $(I,\leq ).$ Every sequence in $X,$ which by definition is just a function of the form $\mathbb {N} \to X,$ is also a net. As with sequences, the value of a net $x_{\bullet }$ at an index $i\in I$ is denoted by $x_{i}$; however, for this proof, this value $x_{i}$ may also be denoted by the usual function parentheses notation $x_{\bullet }(i).$ Similarly for function composition, if $F:X\to Y$ is any function then the net (or sequence) that results from "plugging $x_{\bullet }$ into $F$" is just the function $F\circ x_{\bullet }:I\to Y,$ although this is typically denoted by $\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}$ (or by $\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ if $x_{\bullet }$ is a sequence). In the proofs below, this resulting net may be denoted by any of the following notations $$F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~F\circ x_{\bullet },$$ depending on whichever notation is cleanest or most clearly communicates the intended information. In particular, if $F:X\to Y$ is continuous and $x_{\bullet }\to x$ in $X,$ then the conclusion commonly written as $\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to F(x)$ may instead be written as $F\left(x_{\bullet }\right)\to F(x)$ or $F\circ x_{\bullet }\to F(x).$ Topology The set ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ is assumed to be endowed with the product topology. It is well known that the product topology is identical to the topology of pointwise convergence. This is because given $f$ and a net $\left(f_{i}\right)_{i\in I},$ where $f$ and every $f_{i}$ is an element of ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}$ then the net $\left(f_{i}\right)_{i\in I}\to f$ converges in the product topology if and only if for every $z\in X,$ the net $\Pr {}_{z}\left(\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)\to \Pr {}_{z}(f)$ converges in $\mathbb {K} ,$ where because $\;\Pr {}_{z}(f)=f(z)\;$ and ${\textstyle \Pr {}_{z}\left(\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\Pr {}_{z}\left(f_{i}\right)\right)_{i\in I}=\left(f_{i}(z)\right)_{i\in I},}$ this happens if and only if for every $z\in X,$ the net $\left(f_{i}(z)\right)_{i\in I}\to f(z)$ converges in $\mathbb {K} ,$ Thus $\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ converges to $f$ in the product topology if and only if it converges to $f$ pointwise on $X.$ This proof will also use the fact that the topology of pointwise convergence is preserved when passing to topological subspaces. This means, for example, that if for every $x\in X,$ $S_{x}\subseteq \mathbb {K}$ is some (topological) subspace of $\mathbb {K}$ then the topology of pointwise convergence (or equivalently, the product topology) on ${\textstyle \prod _{x\in X}S_{x}}$ is equal to the subspace topology that the set ${\textstyle \prod _{x\in X}S_{x}}$ inherits from ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} .}$ And if $S_{x}$ is closed in $\mathbb {K}$ for every $x\in X,$ then ${\textstyle \prod _{x\in X}S_{x}}$ is a closed subset of ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} .}$ Characterization of $\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r$ An important fact used by the proof is that for any real $r,$$$\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r\qquad {\text{ if and only if }}\qquad f(U)\subseteq B_{r}$$where $\,\sup \,$ denotes the supremum and $f(U)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{f(u):u\in U\}.$ As a side note, this characterization does not hold if the closed ball $B_{r}$ is replaced with the open ball $\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}$ (and replacing $\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r\;$ with the strict inequality $\;\sup _{u\in U}|f(u)|<r\;$ will not change this; for counter-examples, consider $X~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\mathbb {K}$ and the identity map $f~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {Id}$ on $X$).

Суть теоремы Банаха–Алаоглу можно найти в следующем предложении, из которого следует теорема Банаха–Алаоглу. В отличие от теоремы Банаха–Алаоглу, это предложение не требует векторного пространства $X$ наделить любой топологией.

Предложение - Позволять $U$ быть подмножеством векторного пространства $X$ над полем $\mathbb {K}$ (где $\mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {K} =\mathbb {C}$) и для каждого действительного числа $r,$ одарить закрытый шар ${\textstyle B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$ с обычной топологией ( $X$ не обязательно должно быть наделено какой-либо топологией, но $\mathbb {K}$ имеет свою обычную евклидову топологию ). Определять $$U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}.$$

Если для каждого $x\in X,$ $r_{x}>0$ действительное число такое, что $x\in r_{x}U,$ затем $U^{\#}$ является замкнутым и компактным подпространством пространства произведений $\prod _{x\in X}B_{r_{x}}$ (где, поскольку эта топология произведения идентична топологии поточечной сходимости , которую в функциональном анализе также называют топологией слабого* , это означает, что $U^{\#}$ компактен в топологииweak-* или для краткости «weak-* компакт»).

Прежде чем доказывать приведенное выше предложение, сначала показывается, как из него следует теорема Банаха–Алаоглу (в отличие от предложения Банах–Алаоглу предполагает, что $X$ является топологическим векторным пространством (TVS) и что $U$ является окрестностью начала координат).

Доказательство того, что Банах-Алаоглу следует из предыдущего предложения.

Предположим, что $X$ является топологическим векторным пространством с непрерывным двойственным пространством $X^{\prime }$ и это $U$ является окрестностью начала координат. Потому что $U$ является окрестностью начала координат в $X,$ это также поглощающее подмножество $X,$ так что для каждого $x\in X,$ существует действительное число $r_{x}>0$ такой, что $x\in r_{x}U.$ Таким образом, условия предыдущего предложения удовлетворены, и, следовательно, множество $U^{\#}$ поэтому компактен в слабой топологии . Доказательство теоремы Банаха–Алаоглу будет завершено, если будет показано, что $U^{\#}=U^{\circ },$ где вспомнить это $U^{\circ }$ был определен как $$U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.$$

Доказательство того, что $U^{\circ }=U^{\#}:$ Потому что $U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },$ вывод эквивалентен $U^{\#}\subseteq X^{\prime }.$ Если $f\in U^{\#}$ затем $\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,$ которое точно утверждает, что линейный функционал $f$ ограничена окрестностью $U;$ таким образом $f$ является непрерывным линейным функционалом (т. е. $f\in X^{\prime }$), по желанию. $\blacksquare$

Доказательство предложения

Пространство продукта ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ компактен по теореме Тихонова (поскольку каждый замкнутый шар $B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}$ это Хаусдорф компактное пространство ). Поскольку замкнутое подмножество компакта компактно, доказательство предложения будет завершено, как только будет показано, что $$U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}$$является закрытым подмножеством ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$ Следующие утверждения гарантируют этот вывод:

1. $U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.$
2. $U^{\#}$ представляет собой закрытое подмножество пространства продуктов $\prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.$

Доказательство (1) :

Для любого $z\in X,$ позволять ${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$ обозначим проекцию на $z$^й координата ( как определено выше ). Чтобы доказать это ${\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$ достаточно (и необходимо) показать, что $\Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}$ для каждого $x\in X.$ Так что исправь $x\in X$ и пусть $f\in U^{\#}.$ Потому что $\Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),$ осталось показать, что $f(x)\in B_{r_{x}}.$ Напомним, что $r_{x}>0$ был определен в формулировке предложения как любое положительное действительное число, которое удовлетворяет $x\in r_{x}U$ (так, например, $r_{u}:=1$ будет правильным выбором для каждого $u\in U$), что подразумевает $\,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,$ Потому что $f$ является положительной однородной функцией, удовлетворяющей условию $\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,$$${\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.$$

Таким образом $|f(x)|\leq r_{x},$ что показывает, что $f(x)\in B_{r_{x}},$ по желанию.

Доказательство (2) :

Алгебраическое дуальное пространство $X^{\#}$ всегда является закрытым подмножеством ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ это доказывается в лемме ниже ( для читателей, не знакомых с этим результатом, ). Набор $${\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}$$замкнуто в топологии продукта на $\prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}$ поскольку оно является произведением замкнутых подмножеств $\mathbb {K} .$ Таким образом $U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}$ является пересечением двух замкнутых подмножеств $\mathbb {K} ^{X},$ что доказывает (2). $\blacksquare$

Вывод о том, что множество $U_{B_{1}}=\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}$ замкнуто, можно также получить, применив следующий более общий результат, на этот раз доказанный с помощью сетей, к частному случаю $Y:=\mathbb {K}$ и $B:=B_{1}.$

Наблюдение : Если $U\subseteq X$ любое множество, и если $B\subseteq Y$ является замкнутым подмножеством топологического пространства $Y,$ затем $U_{B}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in Y^{X}:f(U)\subseteq B\right\}$ является закрытым подмножеством $Y^{X}$ в топологии поточечной сходимости.

Доказательство наблюдения : Пусть $f\in Y^{X}$ и предположим, что $\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $U_{B}$ который поточечно сходится к $f.$ Осталось показать, что $f\in U_{B},$ что по определению означает $f(U)\subseteq B.$ Для любого $u\in U,$ потому что $\left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)$ в $Y$ и каждое значение $f_{i}(u)\in f_{i}(U)\subseteq B$ принадлежит к закрытым (в $Y$) подмножество $B,$ так же и предел этой сети должен принадлежать этому замкнутому множеству; таким образом $f(u)\in B,$ что завершает доказательство. $\blacksquare$

Лемма ( $X^{\#}$ закрыт в $\mathbb {K} ^{X}$) — Алгебраическое дуальное пространство $X^{\#}$ любого векторного пространства $X$ над полем $\mathbb {K}$ (где $\mathbb {K}$ является $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$) является замкнутым подмножеством ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ в топологии поточечной сходимости. (Векторное пространство $X$ не обязательно иметь какую-либо топологию).

show Доказательство леммы

Let $f\in \mathbb {K} ^{X}$ and suppose that $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ is a net in $X^{\#}$ the converges to $f$ in $\mathbb {K} ^{X}.$ To conclude that $f\in X^{\#},$ it must be shown that $f$ is a linear functional. So let $s$ be a scalar and let $x,y\in X.$ For any $z\in X,$ let $f_{\bullet }(z):I\to \mathbb {K}$ denote $f_{\bullet }$'s net of values at $z$$$f_{\bullet }(z)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(f_{i}(z)\right)_{i\in I}.$$Because $f_{\bullet }\to f$ in $\mathbb {K} ^{X},$ which has the topology of pointwise convergence, $f_{\bullet }(z)\to f(z)$ in $\mathbb {K}$ for every $z\in X.$ By using $x,y,sx,{\text{ and }}x+y,$ in place of $z,$ it follows that each of the following nets of scalars converges in $\mathbb {K} :$$$f_{\bullet }(x)\to f(x),\quad f_{\bullet }(y)\to f(y),\quad f_{\bullet }(x+y)\to f(x+y),\quad {\text{ and }}\quad f_{\bullet }(sx)\to f(sx).$$ Proof that $f(sx)=sf(x):$ Let $M:\mathbb {K} \to \mathbb {K}$ be the "multiplication by $s$" map defined by $M(c)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~sc.$ Because $M$ is continuous and $f_{\bullet }(x)\to f(x)$ in $\mathbb {K} ,$ it follows that $M\left(f_{\bullet }(x)\right)\to M(f(x))$ where the right hand side is $M(f(x))=sf(x)$ and the left hand side is$${\begin{alignedat}{4}M\left(f_{\bullet }(x)\right){\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}&~M\circ f_{\bullet }(x)&&{\text{ by definition of notation }}\\=&~\left(M\left(f_{i}(x)\right)\right)_{i\in I}~~~&&{\text{ because }}f_{\bullet }(x)=\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}:I\to \mathbb {K} \\=&~\left(sf_{i}(x)\right)_{i\in I}&&M\left(f_{i}(x)\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~sf_{i}(x)\\=&~\left(f_{i}(sx)\right)_{i\in I}&&{\text{ by linearity of }}f_{i}\\=&~f_{\bullet }(sx)&&{\text{ notation }}\end{alignedat}}$$which proves that $f_{\bullet }(sx)\to sf(x).$ Because also $f_{\bullet }(sx)\to f(sx)$ and limits in $\mathbb {K}$ are unique, it follows that $sf(x)=f(sx),$ as desired. Proof that $f(x+y)=f(x)+f(y):$ Define a net $z_{\bullet }=\left(z_{i}\right)_{i\in I}:I\to \mathbb {K} \times \mathbb {K}$ by letting $z_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)$ for every $i\in I.$ Because $f_{\bullet }(x)=\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\to f(x)$ and $f_{\bullet }(y)=\left(f_{i}(y)\right)_{i\in I}\to f(y),$ it follows that $z_{\bullet }\to (f(x),f(y))$ in $\mathbb {K} \times \mathbb {K} .$ Let $A:\mathbb {K} \times \mathbb {K} \to \mathbb {K}$ be the addition map defined by $A(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x+y.$ The continuity of $A$ implies that $A\left(z_{\bullet }\right)\to A(f(x),f(y))$ in $\mathbb {K}$ where the right hand side is $A(f(x),f(y))=f(x)+f(y)$ and the left hand side is$$A\left(z_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~A\circ z_{\bullet }=\left(A\left(z_{i}\right)\right)_{i\in I}=\left(A\left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\right)_{i\in I}=\left(f_{i}(x)+f_{i}(y)\right)_{i\in I}=\left(f_{i}(x+y)\right)_{i\in I}=f_{\bullet }(x+y)$$which proves that $f_{\bullet }(x+y)\to f(x)+f(y).$ Because also $f_{\bullet }(x+y)\to f(x+y),$ it follows that $f(x+y)=f(x)+f(y),$ as desired. $\blacksquare$

Приведенная выше лемма фактически также следует из ее следствия ниже, поскольку $\prod _{x\in X}\mathbb {K}$ является хаусдорфовым полным равномерным пространством , и любое подмножество такого пространства (в частности, $X^{\#}$) замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно.

Следствие к лемме ( $X^{\#}$ является слабым* полным) — Когда алгебраическое дуальное пространство $X^{\#}$ векторного пространства $X$ оснащен топологией $\sigma \left(X^{\#},X\right)$ поточечной сходимости (также известной как топология слабого*), то результирующее топологическое пространство $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ — полное хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство .

show Доказательство следствия леммы.
Because the underlying field $\mathbb {K}$ is a complete Hausdorff locally convex topological vector space, the same is true of the product space ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} .}$ A closed subset of a complete space is complete, so by the lemma, the space $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ is complete.$\blacksquare$

Приведенное выше элементарное доказательство теоремы Банаха–Алаоглу фактически показывает, что если $U\subseteq X$ любое подмножество, которое удовлетворяет $X=(0,\infty )U~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:r>0,u\in U\}$ (например, любое поглощающее подмножество $X$), затем $U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in X^{\#}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}$ является слабым* компактным подмножеством $X^{\#}.$

В качестве примечания: с помощью приведенного выше элементарного доказательства можно показать (см. эту сноску) что существуют $X$-индексированные неотрицательные действительные числа $m_{\bullet }=\left(m_{x}\right)_{x\in X}$ такой, что $${\begin{alignedat}{4}U^{\circ }&=U^{\#}&&\\&=X^{\#}&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\&=X^{\prime }&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\\end{alignedat}}$$где эти реальные цифры $m_{\bullet }$ также может быть выбрано «минимальным» в следующем смысле: с использованием $P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\circ }$ (так $P=U^{\#}$ как в доказательстве) и определив обозначения $\prod B_{R_{\bullet }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{x\in X}B_{R_{x}}$ для любого $R_{\bullet }=\left(R_{x}\right)_{x\in X}\in \mathbb {R} ^{X},$ если $$T_{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{R_{\bullet }\in \mathbb {R} ^{X}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\}$$ затем $m_{\bullet }\in T_{P}$ и для каждого $x\in X,$ $m_{x}=\inf \left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\},$ что показывает, что эти числа $m_{\bullet }$ уникальны; действительно, эту формулу нижней границы можно использовать для их определения.

Фактически, если $\operatorname {Box} _{P}$ обозначает множество всех таких произведений замкнутых шаров, содержащих полярное множество $P,$$$\operatorname {Box} _{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~R_{\bullet }\in T_{P}\right\}~=~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\},$$ затем ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P}}$ где ${\textstyle \bigcap \operatorname {Box} _{P}}$ обозначает пересечение всех множеств, принадлежащих $\operatorname {Box} _{P}.$

Это подразумевает (помимо прочего) ) что ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}}$ уникальный наименьший элемент $\operatorname {Box} _{P}$ относительно $\,\subseteq ;$ это можно использовать как альтернативное определение этого (обязательно выпуклого и сбалансированного ) множества. Функция $m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}:X\to [0,\infty )$ является полунормой и не изменяется, если $U$ заменяется выпуклой сбалансированной оболочкой $U$ (потому что $U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}$). Аналогично, потому что $U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },$ $m_{\bullet }$ также не изменится, если $U$ заменяется его закрытием в $X.$

Последовательная теорема Банаха – Алаоглу

Частным случаем теоремы Банаха–Алаоглу является секвенциальная версия теоремы, которая утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства сепарабельному нормированному векторному пространству секвенциально компактен в слабой топологии. Фактически, слабая* топология на замкнутом единичном шаре двойственного к сепарабельному пространству метризуема , и, таким образом, компактность и секвенциальная компактность эквивалентны.

Конкретно, пусть $X$ быть сепарабельным нормированным пространством и $B$ замкнутый единичный шар в $X^{\prime }.$ С $X$ отделима, пусть $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ — счетное плотное подмножество. Тогда следующее определяет метрику, где для любого $x,y\in B$$$\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}$$в котором $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает дуальное спаривание $X^{\prime }$ с $X.$ Последовательная компактность $B$ в этой метрике можно показать с помощью аргумента диагонализации, аналогичного тому, который использовался при доказательстве теоремы Арсела–Асколи .

Благодаря конструктивному характеру доказательства (в отличие от общего случая, основанного на аксиоме выбора), секвенциальная теорема Банаха–Алаоглу часто используется в области уравнений в частных производных для построения решений УЧП или вариационных задач. . Например, если кто-то хочет минимизировать функционал $F:X^{\prime }\to \mathbb {R}$ на двойственном сепарабельному нормированному векторному пространству $X,$ одна из распространенных стратегий — сначала построить минимизирующую последовательность $x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }$ который приближается к нижней части $F,$ использовать секвенциальную теорему Банаха – Алаоглу, чтобы выделить подпоследовательность, которая сходится в слабой* топологии до предела $x,$ а затем установить, что $x$ является минимизатором $F.$ Последний шаг часто требует $F$ подчиняться (последовательному) свойству полунепрерывности снизу в слабой* топологии.

Когда $X^{\prime }$ — пространство конечных мер Радона на вещественной прямой (так что $X=C_{0}(\mathbb {R} )$ — пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, по теореме о представлении Рисса ), секвенциальная теорема Банаха–Алаоглу эквивалентна теореме выбора Хелли .

Доказательство

Для каждого $x\in X,$ позволять $$D_{x}=\{c\in \mathbb {C} :|c|\leq \|x\|\}$$и пусть $$D=\prod _{x\in X}D_{x}$$быть наделен топологией продукта . Потому что каждый $D_{x}$ является компактным подмножеством комплексной плоскости, теорема Тихонова гарантирует, что их произведение $D$ компактен.

Замкнутый единичный шар в $X^{\prime },$ обозначается $B_{1}^{\,\prime },$ можно определить как подмножество $D$ естественным путем: $${\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}$$

Это отображение инъективно и непрерывно, когда $B_{1}^{\,\prime }$ имеет топологиюweak-* . Обратная карта, определенная на ее изображении, также непрерывна.

Теперь будет показано, что образ приведенного выше отображения замкнут, что завершит доказательство теоремы. Учитывая точку $\lambda _{\bullet }=\left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}\in D$ и сеть $\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}$ в образе $F$ индексируется $i\in I$ такой, что $$\lim _{i}\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}\to \lambda _{\bullet }\quad {\text{ in }}D,$$функционал $g:X\to \mathbb {C}$ определяется $$g(x)=\lambda _{x}\qquad {\text{ for every }}x\in X,$$лежит в $B_{1}^{\,\prime }$ и $F(g)=\lambda _{\bullet }.$$\blacksquare$

Последствия

Следствия для нормированных пространств

Предположим, что $X$ является нормированным пространством и наделяет его непрерывным двойственным пространством $X^{\prime }$ с обычной двойной нормой .

• Замкнутый единичный шар в $X^{\prime }$ слаб-* компактен. Итак, если $X^{\prime }$ бесконечномерен, то его замкнутый единичный шар обязательно не компактен в топологии нормы по теореме Ф. Рисса (несмотря на то, что он слабо* компактен).
• Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда , когда его замкнутый единичный шар $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$-компактный; это известно как теорема Джеймса .
• Если $X$ является рефлексивным банаховым пространством , то любая ограниченная последовательность из $X$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха–Алаоглу к слабо метризуемому подпространству $X$; или, более кратко, путем применения теоремы Эберлейна–Шмулиана .) Например, предположим, что $X$ пространство Lp $L^{p}(\mu )$ где $1<p<\infty$ и пусть $q$ удовлетворить ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$Позволять $f_{1},f_{2},\ldots$ — ограниченная последовательность функций из $X.$ Тогда существует подпоследовательность $\left(f_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ и $f\in X$ такой, что $$\int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu \qquad {\text{ for all }}g\in L^{q}(\mu )=X^{\prime }.$$Соответствующий результат для $p=1$ неправда, так как $L^{1}(\mu )$ не является рефлексивным.

Следствия для гильбертовых пространств

• В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, следовательно, каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (гильбертово пространство рефлексивно ).
• Как замкнутые по норме выпуклые множества слабо замкнуты ( теорема Хана–Банаха ), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых пространствах или рефлексивных банаховых пространствах слабо компактны.
• Замкнутые и ограниченные множества в $B(H)$ предкомпактны относительно топологии слабых операторов (топология слабых операторов слабее, чем ультраслабая топология , которая, в свою очередь, является топологией слабого оператора относительно предуала $B(H),$ операторы класса трассировки ). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, $B(H)$ обладает свойством Гейне – Бореля , если снабжен либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией.

Связь с аксиомой выбора и другими утверждениями

См. Также: Теорема Крейна – Милмана § Связь с другими утверждениями.

Банаха-Алаоглу можно доказать с помощью теоремы Тихонова , которая в рамках аксиоматической структуры теории множеств Цермело-Френкеля ( ZF ) эквивалентна аксиоме выбора . Большая часть основного функционального анализа опирается на ZF + аксиому выбора, которую часто обозначают ZFC . случае теорема не опирается на аксиому выбора Однако в сепарабельном (см. выше ): в этом случае конструктивное доказательство действительно существует. В общем случае произвольного нормированного пространства лемма об ультрафильтре , которая строго слабее аксиомы выбора и эквивалентна теореме Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств, достаточна для доказательства теоремы Банаха–Алаоглу и фактически эквивалентна это.

Теорема Банаха–Алаоглу эквивалентна лемме об ультрафильтре , из которой следует теорема Хана–Банаха для вещественных векторных пространств ( HB ), но не эквивалентна ей (иными словами, Банаха–Алаоглу также строго сильнее, чем HB ). Однако теорема Хана–Банаха эквивалентна следующей слабой версии теоремы Банаха–Алаоглу для нормированного пространства: в котором вывод о компактности (в слабой топологии замкнутого единичного шара двойственного пространства) заменяется выводом о квазикомпактности (также иногда называемой выпуклой компактностью );

Слабая версия теоремы Алаоглу - Позволять $X$ быть нормированным пространством и пусть $B$ обозначим замкнутый единичный шар его непрерывного дуального пространства $X^{\prime }.$ Затем $B$ имеет следующее свойство, которое называется ( weak-* ) квазикомпактность или выпуклая компактность : всякий раз, когда ${\mathcal {C}}$ это обложка $B$ выпуклыми замкнутыми слабо* подмножествами $X^{\prime }$ такой, что $\{B\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}$ имеет свойство конечного пересечения , то $B\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C$ не пуст.

Компактность подразумевает выпуклую компактность , поскольку топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств, обладающее свойством конечного пересечения (FIP), имеет непустое пересечение. Определение выпуклой компактности аналогично этой характеристике компактных пространств в терминах FIP, за исключением того, что оно включает только те замкнутые подмножества, которые также являются выпуклыми (а не все замкнутые подмножества).

См. также

• Теорема Бишопа – Фелпса
• Теорема Банаха–Мазура
• Теорема о дельта-компактности
• Теорема Диксмье – Н.
• Теорема Эберлейна – Шмулиана - связывает три различных вида слабой компактности в банаховом пространстве.
• Теорема Голдстайна
• Теорема Джеймса - теорема по математике. Страницы, отображающие описания из Викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема Крейна-Мильмана . Когда пространство равно замкнутой выпуклой оболочке своих крайних точек. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Лемма Мазура - О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Примечания

Доказательства

Ссылки

• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Мейзе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). «Теорема 23.5». Введение в функциональный анализ . Оксфорд, Англия: Clarendon Press. п. 264. ИСБН  0-19-851485-9 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 . См. теорему 3.15, с. 68.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

Дальнейшее чтение

• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-55604-6 . OCLC   47767143 . Проверено 22 июля 2020 г.