Абсолютно выпуклое множество

В математике подмножество C ( реального если или комплексного векторного пространства называется абсолютно выпуклым или дисковым, оно выпуклое и сбалансированное некоторые люди используют термин «обведенное» вместо «сбалансированное»), и в этом случае оно называется диск . или Дисковая оболочка абсолютно выпуклая оболочка множества — это пересечение всех дисков, содержащих это множество.

Определение

Светло-серая область — абсолютно выпуклая оболочка креста.

Подмножество $S$ реального или комплексного векторного пространства $X$ называется диск и, как говорят, диск , абсолютно выпуклый и выпуклый сбалансированный, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. $S$ представляет собой выпуклое и сбалансированное множество .
2. для любых скаляров $a$ и $b,$ если $|a|+|b|\leq 1$ затем $aS+bS\subseteq S.$
3. для всех скаляров $a,b,$ и $c,$ если $|a|+|b|\leq |c|,$ затем $aS+bS\subseteq cS.$
4. для любых скаляров $a_{1},\ldots ,a_{n}$ и $c,$ если $|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|$ затем $a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.$
5. для любых скаляров $a_{1},\ldots ,a_{n},$ если $|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1$ затем $a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.$

Наименьшее выпуклое (соответственно сбалансированное ) подмножество $X$ содержащая данное множество, называется выпуклой оболочкой (соответственно сбалансированной оболочкой) этого множества и обозначается $\operatorname {co} S$ (соответственно, $\operatorname {bal} S$).

Аналогичным образом, дисковый корпус , абсолютно выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка набора $S$ определяется как наименьший диск (относительно включения подмножества ), содержащий $S.$ Дисковый корпус $S$ будет обозначаться $\operatorname {disk} S$ или $\operatorname {cobal} S$ и оно равно каждому из следующих наборов:

1. $\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$ которая является выпуклой оболочкой оболочки сбалансированной $S$; таким образом, $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$
   • В общем, $\operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ возможно даже в конечномерных векторных пространствах.
2. пересечение всех дисков, содержащих $S.$
3. $\left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ and }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ are scalars satisfying }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\}.$

Достаточные условия

Пересечение произвольного числа абсолютно выпуклых множеств снова абсолютно выпукло; однако объединения абсолютно выпуклых множеств больше не обязательно должны быть абсолютно выпуклыми.

Если $D$ это диск в $X,$ затем $D$ поглощает $X$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {span} D=X.$

Характеристики

См. Также: Топологическое векторное пространство § Свойства.

Если $S$ представляет собой поглощающий диск в векторном пространстве $X$ тогда существует поглощающий диск $E$ в $X$ такой, что $E+E\subseteq S.$ Если $D$ это диск и $r$ и $s$ являются скалярами тогда $sD=|s|D$ и $(rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.$

Абсолютно выпуклая оболочка ограниченного множества в локально выпуклом топологическом векторном пространстве снова ограничена.

Если $D$ является ограниченным диском в TVS $X$ и если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность в $D,$ тогда частичные суммы $s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ Коши всех , где для $n,$ $s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.$ В частности, если дополнительно $D$ является последовательно полным подмножеством $X,$ тогда эта серия $s_{\bullet }$ сходится в $X$ в какой-то момент $D.$

Выпуклый сбалансированный корпус $S$ содержит как выпуклую оболочку $S$ и сбалансированный корпус $S.$ Кроме того, он содержит сбалансированную оболочку выпуклой оболочки $S;$ таким образом $$\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$$где пример ниже показывает, что это включение может быть строгим. Однако для любых подмножеств $S,T\subseteq X,$ если $S\subseteq T$ затем $\operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T$ что подразумевает $\operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).$

Примеры

Хотя $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$ выпуклая сбалансированная оболочка $S$ не обязательно равна сбалансированной оболочке выпуклой оболочки $S.$ Для примера, где $\operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ позволять $X$ быть реальным векторным пространством $\mathbb {R} ^{2}$ и пусть $S:=\{(-1,1),(1,1)\}.$ Затем $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ является строгим подмножеством $\operatorname {cobal} S$ это даже не выпукло; в частности, этот пример также показывает, что сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно является выпуклой. Набор $\operatorname {cobal} S$ равен замкнутому и заполненному квадрату в $X$ с вершинами $(-1,1),(1,1),(-1,-1),$ и $(1,-1)$ (это потому, что сбалансированный набор $\operatorname {cobal} S$ должен содержать оба $S$ и $-S=\{(-1,-1),(1,-1)\},$ откуда с тех пор $\operatorname {cobal} S$ также выпукло, следовательно, оно должно содержать закрашенный квадрат $\operatorname {co} ((-S)\cup S),$ который для этого конкретного примера также оказывается сбалансированным, так что $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)$). Однако, $\operatorname {co} (S)$ равен горизонтальному замкнутому отрезку между двумя точками в $S$ так что $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ вместо этого представляет собой замкнутое подмножество в форме песочных часов , которое пересекает $x$-ось точно в начале координат и представляет собой объединение двух замкнутых и заполненных равнобедренных треугольников : вершины которого являются началом координат вместе с $S$ и другой треугольник, вершины которого являются началом координат вместе с $-S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.$ Это невыпуклые наполненные «песочные часы». $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$ является правильным подмножеством заполненного квадрата $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$

Обобщения

Учитывая фиксированное действительное число $0<p\leq 1,$ а $p$-выпуклое множество — любое подмножество $C$ векторного пространства $X$ с имуществом, которое $rc+sd\in C$ в любое время $c,d\in C$ и $r,s\geq 0$ являются неотрицательными скалярами, удовлетворяющими $r^{p}+s^{p}=1.$ Это называется абсолютно $p$-выпуклое множество или $p$-диск, если $rc+sd\in C$ в любое время $c,d\in C$ и $r,s$ удовлетворяют ли скаляры $|r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.$

А $p$-полунорма любая неотрицательная функция $q:X\to \mathbb {R}$ который удовлетворяет следующим условиям:

1. Субаддитивность / неравенство треугольника : $q(x+y)\leq q(x)+q(y)$ для всех $x,y\in X.$
2. Абсолютная однородность степени $p$: $q(sx)=|s|^{p}q(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s.$

Это обобщает определение полунорм , поскольку отображение является полунормой тогда и только тогда, когда оно является $1$-полунорма (с использованием $p:=1$). Существуют $p$-полунормы, не являющиеся полунормами . Например, всякий раз, когда $0<p<1$ тогда карта $q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt$ используется для определения пространства Lp $L_{p}(\mathbb {R} )$ это $p$-полунорма, но не полунорма.

Данный $0<p\leq 1,$ топологическое векторное пространство - это $p$-полунормируемый (это означает, что его топология индуцирована некоторой $p$-семинорма) тогда и только тогда, когда оно имеет ограниченную $p$-выпуклая окрестность начала координат.

См. также

• Поглощающий набор - набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Вспомогательное нормированное помещение
• Сбалансированный набор - Конструкт в функциональном анализе
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество - в геометрии множество, пересечение которого с каждой линией представляет собой один отрезок линии.
• Звездная область - свойство множеств точек в евклидовых пространствах.
• Симметричное множество - Свойство групповых подмножеств (математика)
• Вектор (геометрический) — геометрический объект, имеющий длину и направление. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления для векторов в физике.
• Векторное поле – присвоение вектора каждой точке подмножества евклидова пространства.

Библиография

• Робертсон, AP; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . стр. 4–6.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .