K-выпуклая функция

K -выпуклые функции , впервые введенные Скарфом , являются особым ослаблением понятия выпуклой функции , которое имеет решающее значение для оптимальности доказательства $(s,S)$ политика в теории управления запасами . Политика характеризуется двумя числами s и S , $S\geq s$, так что, когда уровень запасов падает ниже уровня s , выдается заказ на количество, которое поднимает запасы до уровня S , и в противном случае ничего не заказывается. Гальего и Сетхи обобщили концепцию K -выпуклости на евклидовы пространства более высокой размерности.

Определение

Два эквивалентных определения заключаются в следующем:

Определение 1 (Исходное определение)

Пусть K — неотрицательное действительное число. Функция $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ является K -выпуклой, если

$g(u)+z\left[{\frac {g(u)-g(u-b)}{b}}\right]\leq g(u+z)+K$

для любого $u,z\geq 0,$ и $b>0$.

Определение 2 (Определение с геометрической интерпретацией)

Функция $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ является K -выпуклой, если

$g(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)\leq \lambda g(x)+{\bar {\lambda }}[g(y)+K]$

для всех $x\leq y,\lambda \in [0,1]$, где ${\bar {\lambda }}=1-\lambda$.

Это определение допускает простую геометрическую интерпретацию, связанную с понятием видимости. Позволять $a\geq 0$. точка $(x,f(x))$ говорят, что видно из $(y,f(y)+a)$ если все промежуточные точки $(\lambda x+{\bar {\lambda }}y,f(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)),0\leq \lambda \leq 1$ лежат ниже отрезка, соединяющего эти две точки. Тогда геометрическую характеристику K -выпуклости можно получить как:

Функция $g$ является K -выпуклой тогда и только тогда, когда $(x,g(x))$ видно из $(y,g(y)+K)$ для всех $y\geq x$.

Доказательство эквивалентности

Достаточно доказать, что приведенные выше определения можно преобразовать друг в друга. В этом можно убедиться, воспользовавшись преобразованием

$\lambda =z/(b+z),\quad x=u-b,\quad y=u+z.$

Свойства

Недвижимость 1

Если $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ является K -выпуклой, то она L -выпуклая для любого $L\geq K$. В частности, если $g$ выпукло, то оно и K -выпукло для любого $K\geq 0$.

Недвижимость 2

Если $g_{1}$ является K -выпуклым и $g_{2}$ является L -выпуклой, то для $\alpha \geq 0,\beta \geq 0,\;g=\alpha g_{1}+\beta g_{2}$ является $(\alpha K+\beta L)$-выпуклый.

Объект 3

Если $g$ является K -выпуклым и $\xi$ является случайной величиной такой, что $E|g(x-\xi )|<\infty$ для всех $x$, затем $Eg(x-\xi )$ также K -выпуклая.

Объект 4

Если $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ является K -выпуклой, ограничение $g$ на любом выпуклом множестве $\mathbb {D} \subset \mathbb {R}$ является K -выпуклым.

Объект 5

Если $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ является непрерывной K -выпуклой функцией и $g(y)\rightarrow \infty$ как $|y|\rightarrow \infty$, то существуют скаляры выхода $s$ и $S$ с $s\leq S$ такой, что

• $g(S)\leq g(y)$, для всех $y\in \mathbb {R}$;
• $g(S)+K=g(s)<g(y)$, для всех $y<s$;
• $g(y)$ является убывающей функцией на $(-\infty ,s)$;
• $g(y)\leq g(z)+K$ для всех $y,z$ с $s\leq y\leq z$.

Дальнейшее чтение

• Гальего, Г.; Сети, СП (2005). " ${\mathcal {K}}$-выпуклость в ${\mathfrak {R}}^{n}$ Журнал (PDF) . теории оптимизации и приложений . 127 (1): 71–88. doi : 10.1007/s10957-005-6393-4 . MR   2174750 .