Преобразование Лежандра

Эта статья посвящена инволюционному преобразованию, обычно используемому в классической механике и термодинамике. Информацию об интегральном преобразовании с использованием полиномов Лежандра в качестве ядер см. в разделе Преобразование Лежандра (интегральное преобразование) .

Функция $f(x)$ определяется на интервале ${\textstyle [a,b]}$. Для данного $p$, разница $px-f(x)$ берет максимум в $x'$. Таким образом, преобразование Лежандра $f(x)$ является $f^{*}(p)=px'-f(x')$.

В математике ( преобразование Лежандра или преобразование Лежандра ), впервые введенное Адрианом-Мари Лежандром в 1787 году при изучении задачи о минимальной поверхности, представляет собой инволютивное преобразование вещественных выпуклых функций, относительно действительной переменной. В частности, если вещественная функция многих переменных является выпуклой относительно одной из своих независимых действительных переменных, то к этой функции применимо преобразование Лежандра по отношению к этой переменной.

В физических задачах преобразование Лежандра используется для преобразования функций одной величины (например, положения, давления или температуры) в функции сопряженной величины (импульса, объема и энтропии соответственно). Таким образом, он обычно используется в классической механике для вывода гамильтонова формализма из лагранжева формализма (или наоборот) и в термодинамике для вывода термодинамических потенциалов , а также при решении дифференциальных уравнений нескольких переменных.

Для достаточно гладких функций на действительной прямой преобразование Лежандра $f^{*}$ функции $f$может быть задана с точностью до аддитивной константы при условии, что первые производные функций являются обратными функциями друг друга. Это можно выразить в обозначениях производной Эйлера как

$$Df(\cdot )=\left(Df^{*}\right)^{-1}(\cdot )~,$$

где $D$ является оператором дифференцирования, $\cdot$ представляет аргумент или входные данные для связанной функции, $(\phi )^{-1}(\cdot )$ — обратная функция такая, что $(\phi )^{-1}(\phi (x))=x$,

или эквивалентно, как $f'(f^{*\prime }(x^{*}))=x^{*}$ и $f^{*\prime }(f'(x))=x$ в обозначениях Лагранжа .

Обобщение преобразования Лежандра на аффинные пространства и невыпуклые функции известно как выпуклое сопряжение функции (также называемое преобразованием Лежандра-Фенхеля), которое можно использовать для построения выпуклой оболочки .

Определение

Определение в $\mathbb {R}$

Позволять $I\subset \mathbb {R}$ быть интервалом , и $f:I\to \mathbb {R}$выпуклая функция ; то преобразование Лежандра $f$ это функция $f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R}$ определяется

$$f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :f^{*}(x^{*})<\infty \right\}~$$

где ${\textstyle \sup }$ обозначает верхнюю грань над $I$, например, ${\textstyle x}$ в ${\textstyle I}$ выбирается таким, что ${\textstyle x^{*}x-f(x)}$ максимизируется в каждом ${\textstyle x^{*}}$, или ${\textstyle x^{*}}$ таков, что $x^{*}x-f(x)$ как ограниченное значение во всем ${\textstyle x}$ существует (например, когда $f(x)$ является линейной функцией).

Преобразование всегда четко определено, если $f(x)$является выпуклым . Это определение требует $x^{*}x-f(x)$ быть ограниченным сверху в $I$ для того, чтобы супремум существовал.

Определение в $\mathbb {R} ^{n}$

Обобщение на выпуклые функции $f:X\to \mathbb {R}$ на выпуклом множестве $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ это просто: $f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R}$ есть домен

$$X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}$$

и определяется

$$f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,$$

где $\langle x^{*},x\rangle$ обозначает произведение скалярное $x^{*}$ и $x$.

Функция $f^{*}$ называется выпуклой сопряженной функцией $f$. По историческим причинам (уходящим корнями в аналитическую механику) сопряженную переменную часто обозначают $p$, вместо $x^{*}$. Если выпуклая функция $f$ определена на всей прямой и всюду дифференцируема , то

$$f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}$$

можно интерпретировать как отрицательный результат $y$-пересечение касательной ​ к графику ​ $f$ у которого есть уклон $p$.

Преобразование Лежандра — это применение отношения двойственности между точками и линиями. Функциональная связь, определяемая $f$ можно с тем же успехом представить в виде набора $(x,y)$ точки или как набор касательных линий, заданных их значениями наклона и точки пересечения.

Лежандра с точки зрения

Для дифференцируемой выпуклой функции $f$ на действительной строке с первой производной $f'$ и его инверсия $(f')^{-1}$, преобразование Лежандра $f$, $f^{*}$, может быть задано с точностью до аддитивной константы при условии, что первые производные функций являются обратными функциями друг друга, т. е. $f'=((f^{*})')^{-1}$ и $(f^{*})'=(f')^{-1}$.

Чтобы увидеть это, сначала заметим, что если $f$ поскольку выпуклая функция на действительной прямой дифференцируема и ${\overline {x}}$ является критической точкой функции $x\mapsto p\cdot x-f(x)$, то верхняя грань достигается при ${\textstyle {\overline {x}}}$(по выпуклости см. первый рисунок на этой странице Википедии). Следовательно, преобразование Лежандра $f$ является $f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})$.

Тогда предположим, что первая производная $f'$ обратимо, и пусть обратное будет $g=(f')^{-1}$. Тогда для каждого ${\textstyle p}$, смысл $g(p)$ это единственная критическая точка ${\textstyle {\overline {x}}}$ функции $x\mapsto px-f(x)$ (т.е. ${\overline {x}}=g(p)$) потому что $f'(g(p))=p$ и первая производная функции по $x$ в $g(p)$ является $p-f'(g(p))=0$. Следовательно, мы имеем $f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))$ для каждого ${\textstyle p}$. Дифференцируя по ${\textstyle p}$, мы нашли

$$(f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).$$

С $f'(g(p))=p$ это упрощает $(f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)$. Другими словами, $(f^{*})'$ и $f'$ являются обратными друг другу .

В общем, если $h'=(f')^{-1}$ как инверсия $f'$, затем $h'=(f^{*})'$ поэтому интеграция дает $f^{*}=h+c$. с постоянной $c$.

В практическом плане, учитывая $f(x)$, параметрический график $xf'(x)-f(x)$ против $f'(x)$ представляет собой график $f^{*}(p)$ против $p$.

В некоторых случаях (например, термодинамические потенциалы, ниже) используется нестандартное требование, сводящееся к альтернативному определению f * со знаком минус ,

$$f(x)-f^{*}(p)=xp.$$

Формальное определение

В аналитической механике и термодинамике преобразование Лежандра обычно определяют следующим образом: предположим, что $f$ является функцией $x$, тогда мы имеем

$\mathrm {d} f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x$.

выполнение преобразования Лежандра для этой функции означает, что мы берем $p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ в качестве независимой переменной, так что приведенное выше выражение можно записать как

$\mathrm {d} f=p\mathrm {d} x$,

и по правилу Лейбница $\mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u$, тогда мы имеем

$\mathrm {d} \left(xp-f\right)=x\mathrm {d} p$,

и принимая $f^{*}=xp-f$, у нас есть $\mathrm {d} f^{*}=x\mathrm {d} p$, что значит

${\frac {\mathrm {d} f^{*}}{\mathrm {d} p}}=x.$

Когда $f$ является функцией $n$ переменные $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$, то мы можем выполнить преобразование Лежандра для каждой одной или нескольких переменных: имеем

$\mathrm {d} f=p_{1}\mathrm {d} x_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}$

где $p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$. Тогда, если мы хотим выполнить преобразование Лежандра, например $x_{1}$, то берем $p_{1}$ вместе с $x_{2},\cdots ,x_{n}$ как независимые переменные, и по правилу Лейбница мы имеем

$\mathrm {d} (f-x_{1}p_{1})=-x_{1}\mathrm {d} p_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}$.

так что для функции $\varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})-x_{1}p_{1}$, у нас есть

${\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=-x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=p_{n}$.

Мы также можем выполнить это преобразование для переменных $x_{2},\cdots ,x_{n}$. Если мы проделаем это со всеми переменными, то мы получим

$\mathrm {d} \varphi =-x_{1}\mathrm {d} p_{1}-x_{2}\mathrm {d} p_{2}-\cdots -x_{n}\mathrm {d} p_{n}$ где $\varphi =f-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}-\cdots -x_{n}p_{n}$.

В аналитической механике люди выполняют это преобразование над переменными. ${\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}$ лагранжиана $L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})$ чтобы получить гамильтониан:

$H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n})$

а в термодинамике люди выполняют это преобразование переменных в соответствии с типом термодинамической системы, который им нужен. Например, исходя из кардинальной функции состояния, внутренней энергии $U(S,V)$, у нас есть

$\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V$,

мы можем выполнить преобразование Лежандра для одного или обоих из $S,V$ уступчивость

$\mathrm {d} H=\mathrm {d} (U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\mathrm {d} S+V\mathrm {d} p$

$\mathrm {d} F=\mathrm {d} (U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\mathrm {d} T-p\mathrm {d} V$

$\mathrm {d} G=\mathrm {d} (U-TS+pV)=-S\mathrm {d} T+V\mathrm {d} p$

и каждое из этих трёх выражений имеет физический смысл.

Это определение преобразования Лежандра первоначально было введено Лежандром в его работе в 1787 году. и до сих пор применяется физиками. Действительно, это определение может быть математически строгим, если мы будем рассматривать все переменные и функции, определенные выше, например $f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},$ как дифференцируемые функции, определенные на открытом множестве $\mathbb {R} ^{n}$ или на дифференцируемом многообразии, и $\mathrm {d} f,\mathrm {d} x_{i},\mathrm {d} p_{i}$их дифференциалы (которые рассматриваются как котангенс векторное поле в контексте дифференцируемого многообразия). И это определение эквивалентно определению современных математиков, пока $f$ дифференцируема и выпукла для переменных $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$.

Свойства

• Преобразование Лежандра выпуклой функции, все значения двойной производной которой положительны, также является выпуклой функцией, все значения двойной производной которой положительны.
  Доказательство. Покажем это с помощью дважды дифференцируемой функции $f(x)$ со всеми положительными значениями двойной производной и с биективной (обратимой) производной.
  Для фиксированной $p$, позволять ${\bar {x}}$ максимизировать или сделать функцию $px-f(x)$ ограниченный $x$. Тогда преобразование Лежандра $f$ является $f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})$, таким образом,
  $$f'({\bar {x}})=p$$
  по максимизирующему или ограничивающему условию ${\frac {d}{dx}}(px-f(x))=p-f'(x)=0$. Обратите внимание, что ${\bar {x}}$ зависит от $p$. (Наглядно это можно показать на первом рисунке этой страницы выше.)
  Таким образом ${\bar {x}}=g(p)$ где $g\equiv (f')^{-1}$, означающий, что $g$ является обратным $f'$ это производная от $f$ (так $f'(g(p))=p$).
  Обратите внимание, что $g$ также дифференцируема со следующей производной (правило обратной функции) :
  $${\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}~.$$
  Таким образом, преобразование Лежандра $f^{*}(p)=pg(p)-f(g(p))$ является композицией дифференцируемых функций, следовательно, она дифференцируема.
  Применение правила произведения и правила цепочки с найденным равенством ${\bar {x}}=g(p)$ урожайность
  $${\frac {d(f^{*})}{dp}}=g(p)+\left(p-f'(g(p))\right)\cdot {\frac {dg(p)}{dp}}=g(p),$$
  предоставление
  $${\frac {d^{2}(f^{*})}{dp^{2}}}={\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}>0,$$
  так $f^{*}$ является выпуклым, все его двойные производные положительны.
• Преобразование Лежандра является инволюцией , т. е. $f^{**}=f~$.
  Доказательство. Используя приведенные выше идентификаторы как $f'({\bar {x}})=p$, ${\bar {x}}=g(p)$, $f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})$ и его производная $(f^{*})'(p)=g(p)$,
  $${\begin{aligned}f^{**}(y)&{}=\left(y\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\right)|_{(f^{*})'({\bar {p}})=y}\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-({\bar {p}}g({\bar {p}})-f(g({\bar {p}})))\\[5pt]&{}=f(g({\bar {p}}))\\[5pt]&{}=f(y)~.\end{aligned}}$$
  Обратите внимание, что этот вывод не требует, чтобы условие имело все положительные значения в двойной производной исходной функции. $f$.

Личности

Как было показано выше , для выпуклой функции $f(x)$, с $x={\bar {x}}$ максимизация или создание $px-f(x)$ ограничен в каждом $p$ определить преобразование Лежандра $f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})$ и с $g\equiv (f')^{-1}$, имеют место следующие тождества.

• $f'({\bar {x}})=p$,
• ${\bar {x}}=g(p)$,
• $(f^{*})'(p)=g(p)$.

Примеры

Пример 1

$f(x)=e^{x}$ по домену $I=\mathbb {R}$ показано красным цветом, а его преобразование Лежандра $f^{*}(x^{*})=x^{*}(\ln(x^{*})-1)$ по домену $I^{*}=(0,\infty )$в пунктирном синем цвете. Обратите внимание, что преобразование Лежандра выглядит выпуклым.

Рассмотрим показательную функцию $f(x)=e^{x},$ у которого есть домен $I=\mathbb {R}$. По определению преобразование Лежандра имеет вид

$$f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}$$

где $I^{*}$еще предстоит определить. Чтобы оценить супремум , вычислите производную $x^{*}x-e^{x}$ относительно $x$ и приравняем нулю:

$${\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.$$

Вторая производная $-e^{x}$ везде отрицательно, поэтому максимальное значение достигается при $x=\ln(x^{*})$. Таким образом, преобразование Лежандра имеет вид

$$f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)$$

и имеет домен $I^{*}=(0,\infty ).$ Это показывает, что области определения функции и ее преобразования Лежандра могут быть разными.

Чтобы найти преобразование Лежандра преобразования Лежандра $f$,

$$f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,$$

где переменная $x$ намеренно используется в качестве аргумента функции $f^{**}$ чтобы показать свойство инволюции преобразования Лежандра как $f^{**}=f$. мы вычисляем

$${\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}$$

таким образом, максимум происходит при $x^{*}=e^{x}$ потому что вторая производная ${\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0$ над доменом $f^{**}$ как $I^{*}=(0,\infty ).$ Как результат, $f^{**}$ находится как

$${\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}$$

тем самым подтвердив, что $f=f^{**},$ как и ожидалось.

Пример 2

Пусть f ( x ) = cx ² определенное на R , где c > 0 — фиксированная константа.

При фиксированном x * функция x , x * x - f ( x ) = x * x - cx ² имеет первую производную x * − 2 cx и вторую производную −2 c ; существует одна стационарная точка x = x */2 c , которая всегда является максимумом.

Таким образом, I * = R и

$$f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.$$

Первые производные f , 2 cx и f * , x */(2 c ) являются обратными функциями друг друга. Очевидно, кроме того,

$$f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,$$

а именно ж ** = ж .

Пример 3

Пусть f ( x ) = x ² для x ∈ ( я знак равно [2, 3]) .

При x * фиксированном x − f , следовательно , x ( ) он всегда принимает на непрерывен на I компакте нем конечный максимум; то область определения преобразования Лежандра $f$ я * = р .

Стационарная точка x = x */2 (найденная путем установки первой производной x * x − f ( x ) по отношению к $x$равно нулю) находится в области [2, 3] тогда и только тогда, когда 4 ≤ x * ≤ 6 . В противном случае максимум берется либо при x = 2 , либо при x = 3, поскольку вторая производная x * x − f ( x ) по $x$ является отрицательным, поскольку $-2$; за часть домена $x^{*}<4$ максимум, который x * x − f ( x ) может принять по отношению к $x\in [2,3]$ получается в $x=2$ в то время как для $x^{*}>6$ становится максимальным при $x=3$. Таким образом, следует, что

$$f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}$$

Пример 4

Функция f ( x ) = cx является выпуклой для любого x (строгая выпуклость не требуется для корректного определения преобразования Лежандра). Очевидно, x * x - f ( x ) = ( x * - c ) x никогда не ограничена сверху как функция от x , если только x * - c = 0 . Следовательно, f * определено на I * = { c } и f *( c ) = 0 . ( Определение преобразования Лежандра требует существования супремума , что требует верхних границ.)

Можно проверить инволютивность: конечно, x * x − f *( x *) всегда ограничена как функция от x *ε{ c } , следовательно, I ** = R . Тогда для всех x имеем

$$\sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,$$

и, следовательно, ж **( Икс ) знак равно cx знак равно ж ( Икс ) .

Пример 5

В качестве примера выпуклой непрерывной функции, не всюду дифференцируемой, рассмотрим $f(x)=|x|$. Это дает

$$f^{*}(x^{*})=\sup _{x}(xx^{*}-|x|)=\max \left(\sup _{x\geq 0}x(x^{*}-1),\,\sup _{x\leq 0}x(x^{*}+1)\right),$$

и поэтому $f^{*}(x^{*})=0$ на своем домене $I^{*}=[-1,1]$.

Пример 6: несколько переменных

Позволять

$$f(x)=\langle x,Ax\rangle +c$$

быть определен на X = R ^н , где A — действительная положительно определенная матрица.

Тогда f выпукло и

$$\langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,$$

имеет градиент p − 2 Ax и гессиан −2 A , который является отрицательным; следовательно, точка покоя x = A ⁻¹ p /2 – максимум.

Имеем Х * = R ^н , и

$$f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.$$

дифференциалов при

Преобразование Лежандра связано с интегрированием по частям : p dx = d ( px ) − x dp .

Пусть f ( x , y ) — функция двух независимых переменных x и y с дифференциалом

$$df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy=p\,dx+v\,dy.$$

Предположим, что функция f выпукла по x для всех y , так что можно выполнить преобразование Лежандра для f в x , где p — переменная, сопряженная с x (для информации существует соотношение ${\frac {\partial f}{\partial x}}|_{\bar {x}}=p$ где ${\bar {x}}$ это точка в x максимизации или создании $px-f(x,y)$ограничено для данных p и y ). Поскольку новой независимой переменной преобразования по отношению к f является p , дифференциалы dx и dy в df переходят в dp и dy в дифференциале преобразования, т.е. мы строим другую функцию с ее дифференциалом, выраженным через новый базис. дп и ди .

Таким образом, мы рассматриваем функцию g ( p , y ) = f − px так, что

$$dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp+v\,dy$$

$$x=-{\frac {\partial g}{\partial p}}$$

$$v={\frac {\partial g}{\partial y}}.$$

Функция −g p ( y , y ) является преобразованием Лежандра функции f ( x , ) , где только независимая переменная x была заменена на p . Это широко используется в термодинамике , как показано ниже.

Приложения

Аналитическая механика

Преобразование Лежандра используется в классической механике для вывода гамильтоновой формулировки из лагранжевой формулировки и наоборот. Типичный лагранжиан имеет вид

$$L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),$$

где $(v,q)$ — координаты на R ^н × Р ^н , M — положительно определенная действительная матрица, и

$$\langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.$$

Для каждого q фиксированного $L(v,q)$ является выпуклой функцией $v$, пока $V(q)$ играет роль константы.

Следовательно, преобразование Лежандра $L(v,q)$ как функция $v$ – функция Гамильтона,

$$H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).$$

В более общей ситуации $(v,q)$ — локальные координаты на касательном расслоении $T{\mathcal {M}}$ многообразия ${\mathcal {M}}$. Для q каждого $L(v,q)$является выпуклой функцией касательного пространства V _q . Преобразование Лежандра дает гамильтониан $H(p,q)$ как функция координат ( p , q ) кокасательного расслоения $T^{*}{\mathcal {M}}$; внутренний продукт, используемый для определения преобразования Лежандра, наследуется от соответствующей канонической симплектической структуры . В этой абстрактной постановке преобразование Лежандра соответствует тавтологической форме .

Термодинамика

Стратегия использования преобразований Лежандра в термодинамике заключается в переходе от функции, зависящей от переменной, к новой (сопряженной) функции, которая зависит от новой переменной, сопряженной с исходной. Новая переменная является частной производной исходной функции по исходной переменной. Новая функция — это разница между исходной функцией и произведением старой и новой переменных. Обычно это преобразование полезно, поскольку оно смещает зависимость, например, энергии от экстенсивной переменной к сопряженной ей интенсивной переменной, которой часто легче управлять в физическом эксперименте.

Например, внутренняя энергия U является явной функцией обширных переменных энтропии S , объема V и химического состава N _i (например, $i=1,2,3,\ldots$)

$$U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),$$

который имеет полный дифференциал

$$dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}$$

где $T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i\ for\ all\ i\ values}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ for\ all\ i\ values}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j\ for\ all\ j\neq i}}$.

(Низкие индексы не являются необходимыми по определению частных производных, но оставлены здесь для пояснения переменных.) Установив некоторое общее эталонное состояние, используя (нестандартное) преобразование Лежандра внутренней энергии U по отношению к объему V , энтальпия H может быть получено следующим образом.

Чтобы получить (стандартное) преобразование Лежандра ${\textstyle U^{*}}$ внутренней энергии U по объему V функция ${\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U}$определяется первым, затем оно должно быть максимизировано или ограничено V . Для этого условие ${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}}$ должен быть удовлетворен, поэтому ${\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U}$получается. Этот подход оправдан, поскольку U является линейной функцией относительно V (то есть выпуклой функцией на V ) по определению обширных переменных . Нестандартное преобразование Лежандра здесь получается отрицанием стандартной версии, поэтому ${\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}$.

H определенно является функцией состояния , поскольку она получается путем добавления PV ( P и V как переменные состояния ) к функции состояния. ${\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)}$, поэтому его дифференциал является точным дифференциалом . Из-за ${\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$ и тот факт, что это должен быть точный дифференциал, $H=H(S,P,\{N_{i}\})$.

Энтальпия подходит для описания процессов, в которых давление контролируется из окружающей среды.

Аналогично можно сместить зависимость энергии от экстенсивной переменной энтропии S к (часто более удобной) интенсивной переменной T , что приведет к Гельмгольца и Гиббса свободным энергиям . Свободная энергия Гельмгольца A и энергия Гиббса G получаются путем выполнения преобразований Лежандра внутренней энергии и энтальпии соответственно:

$$A=U-TS~,$$

$$G=H-TS=U+PV-TS~.$$

Свободная энергия Гельмгольца часто является наиболее полезным термодинамическим потенциалом, когда температура и объем контролируются из окружающей среды, тогда как энергия Гиббса часто является наиболее полезной, когда температура и давление контролируются из окружающей среды.

Переменный

В качестве еще одного примера из физики рассмотрим конденсатор с параллельными проводящими пластинами , в котором пластины могут перемещаться относительно друг друга. Такой конденсатор позволит передавать электрическую энергию, запасенную в конденсаторе, во внешнюю механическую работу, совершаемую силой, действующей на обкладки. Электрический заряд можно рассматривать как аналог «заряда» газа в цилиндре , результирующая механическая сила которого действует на поршень .

Вычислите силу, действующую на пластины, как функцию x — расстояния, разделяющего их. Чтобы найти силу, вычислите потенциальную энергию, а затем примените определение силы как градиента функции потенциальной энергии.

Электростатическая потенциальная энергия , запасенная в конденсаторе емкостью C ( x ) и положительный электрический заряд + Q или отрицательный заряд - Q на каждой проводящей пластине равна (с использованием определения емкости как ${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$),

$$U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~$$

где зависимость от площади пластин, диэлектрической проницаемости изоляционного материала между пластинами и расстояния x абстрагируются как емкость C ( x ) . (Для конденсатора с параллельными пластинами это пропорционально площади пластин и обратно пропорционально их разделению.)

Тогда сила F между пластинами, возникающая из-за электрического поля, создаваемого разделением зарядов, равна

$$\mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.$$

Если конденсатор не подключен к какой-либо электрической цепи, то заряды на обкладках остаются постоянными, а напряжение изменяется при движении обкладок относительно друг друга, а сила представляет собой отрицательный градиент электростатической электрические потенциальной энергии как

$$\mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}$$

где ${\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}$ поскольку в этой конфигурации заряд фиксирован.

Однако вместо этого предположим, что напряжение между пластинами V поддерживается постоянным при движении пластины за счет подключения к батарее , которая является резервуаром для электрических зарядов при постоянной разности потенциалов. Тогда сумма сборов ${\textstyle Q}$ – переменная вместо напряжения; ${\textstyle Q}$ и ${\textstyle V}$являются сопряженными друг другу Лежандра. Чтобы найти силу, сначала вычислите нестандартное преобразование Лежандра. ${\textstyle U^{*}}$ относительно ${\textstyle Q}$ (также с использованием ${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$),

$$U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).$$

Это преобразование возможно, потому что ${\textstyle U}$ теперь является линейной функцией ${\textstyle Q}$поэтому выпукло на нем. Теперь сила становится отрицательным градиентом этого преобразования Лежандра, в результате чего получается та же сила, что и исходная функция. ${\textstyle U}$,

$$\mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.$$

Две сопряженные энергии ${\textstyle U}$ и ${\textstyle U^{*}}$оказываются противоположными друг другу (их знаки противоположны) только из-за линейности емкости Q — за исключением того, что теперь больше не является постоянной величиной. Они отражают два разных пути накопления энергии в конденсаторе, что приводит, например, к одинаковому «притяжению» между обкладками конденсатора.

Теория вероятностей

В теории больших уклонений определяется функция скорости как преобразование Лежандра логарифма производящей функции момента случайной величины. Важным применением функции скорости является вычисление хвостовых вероятностей сумм случайных величин iid , в частности, в теореме Крамера .

Если $X_{n}$ являются iid случайными величинами, пусть $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}$ быть связанным случайным блужданием и $M(\xi )$ производящая функция момента $X_{1}$. Для $\xi \in \mathbb {R}$, $E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}$. Следовательно, по неравенству Маркова имеем для $\xi \geq 0$ и $a\in \mathbb {R}$

$$P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]$$

где $\Lambda (\xi )=\log M(\xi )$. Поскольку левая часть не зависит от $\xi$, мы можем взять нижнюю границу правой части, что приводит к рассмотрению верхней границы $\xi a-\Lambda (\xi )$, т. е. преобразование Лежандра $\Lambda$, оцененный в $x=a$.

Микроэкономика

Преобразование Лежандра естественным образом возникает в микроэкономике в процессе определения предложения S ( P ) некоторого продукта при фиксированной цене P на рынке, зная функцию затрат C ( Q ) , то есть затраты производителя на производство/добычу/и т. д. Q единиц данного продукта.

Простая теория объясняет форму кривой предложения, основываясь исключительно на функции издержек. Предположим, что рыночная цена единицы нашего продукта P. равна Для компании, продающей этот товар, лучшая стратегия — скорректировать объем производства Q так, чтобы ее прибыль была максимизирована. Мы можем максимизировать прибыль

$${\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)$$

дифференцируя по Q и решая

$$P-C'(Q_{\text{opt}})=0.$$

Q _opt представляет собой оптимальное количество Q товаров, которое производитель готов поставить, что на самом деле является самим предложением:

$$S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).$$

Если мы рассмотрим максимальную прибыль как функцию цены, ${\text{profit}}_{\text{max}}(P)$, мы видим, что это преобразование Лежандра функции стоимости $C(Q)$.

Геометрическая

Для строго выпуклой функции преобразование Лежандра можно интерпретировать как отображение графика функции и семейства касательных графика. (Для функции одной переменной касательные четко определены во всех точках, кроме не более чем счетного числа , поскольку выпуклая функция дифференцируема во всех точках, кроме не более чем счетного числа.)

Уравнение прямой с наклоном $p$ и $y$-перехват $b$ дан кем-то $y=px+b$. Чтобы эта линия касалась графика функции $f$ в точку $\left(x_{0},f(x_{0})\right)$ требует

$$f(x_{0})=px_{0}+b$$

и

$$p=f'(x_{0}).$$

Будучи производной строго выпуклой функции, функция $f'$строго монотонно и, следовательно, инъективно . Второе уравнение можно решить относительно ${\textstyle x_{0}=f^{\prime -1}(p),}$ позволяющий устранить $x_{0}$ с самого начала и решая $y$-перехват $b$ касательной как функция ее наклона $p,$ ${\textstyle b=f(x_{0})-px_{0}=f\left(f^{\prime -1}(p)\right)-p\cdot f^{\prime -1}(p)=-f^{\star }(p)}$ где $f^{\star }$ обозначает преобразование Лежандра $f.$

Семейство касательных линий графика $f$ параметризованный наклоном $p$ поэтому дается ${\textstyle y=px-f^{\star }(p),}$ или, записанный в неявном виде, решениями уравнения

$$F(x,y,p)=y+f^{\star }(p)-px=0~.$$

График исходной функции можно восстановить по этому семейству линий как огибающей этого семейства, потребовав

$${\frac {\partial F(x,y,p)}{\partial p}}=f^{\star \prime }(p)-x=0.$$

Устранение $p$ из этих двух уравнений дает

$$y=x\cdot f^{\star \prime -1}(x)-f^{\star }\left(f^{\star \prime -1}(x)\right).$$

Идентификация $y$ с $f(x)$ и признав правую часть предыдущего уравнения преобразованием Лежандра $f^{\star },$ урожай ${\textstyle f(x)=f^{\star \star }(x)~.}$

Преобразование Лежандра в более

Для дифференцируемой вещественной функции на открытом выпуклом подмножестве U в R ^н лежандрово сопряжение пары ( U , f ) определяется как пара ( V , g ) , где V — образ U при градиента отображении Df , а g — функция на V , заданная формулой

$$g(y)=\left\langle y,x\right\rangle -f(x),\qquad x=\left(Df\right)^{-1}(y)$$

где

$$\left\langle u,v\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}u_{k}\cdot v_{k}$$

скалярное произведение на R ^н . Многомерное преобразование можно интерпретировать как кодирование выпуклой оболочки функции эпиграфа через поддерживающие ее гиперплоскости . Это можно рассматривать как следствие следующих двух наблюдений. С одной стороны, гиперплоскость, касающаяся эпиграфа $f$ в какой-то момент $(\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))\in U\times \mathbb {R}$ имеет нормальный вектор $(\nabla f(\mathbf {x} ),-1)\in \mathbb {R} ^{n+1}$. С другой стороны, любое замкнутое выпуклое множество $C\in \mathbb {R} ^{m}$ можно охарактеризовать через множество опорных гиперплоскостей уравнениями $\mathbf {x} \cdot \mathbf {n} =h_{C}(\mathbf {n} )$, где $h_{C}(\mathbf {n} )$ является поддержки функцией $C$. Но определение преобразования Лежандра посредством максимизации в точности соответствует определению опорной функции, то есть $f^{*}(\mathbf {x} )=h_{\operatorname {epi} (f)}(\mathbf {x} ,-1)$. Таким образом, мы заключаем, что преобразование Лежандра характеризует надграфик в том смысле, что касательная плоскость к надграфику в любой точке $(\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))$ задается явно

$$\{\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n+1}:\,\,\mathbf {z} \cdot \mathbf {x} =f^{*}(\mathbf {x} )\}.$$

Альтернативно, если X — векторное пространство , а Y — его двойственное векторное пространство , то для каждой точки x из X и y из Y существует естественная идентификация кокасательных пространств T* X _x с Y и T* Y _y с X . Если f — вещественная дифференцируемая функция над X , то ее внешняя производная — df это сечение кокасательного расслоения T* X и поэтому мы можем построить отображение из X в Y. , Аналогично, если g — вещественная дифференцируемая функция по Y , то определяет отображение Y в X. dg Если обе карты оказываются обратными друг другу, мы говорим, что имеем преобразование Лежандра. понятие тавтологической одной формы В этой ситуации обычно используется .

Когда функция недифференцируема, преобразование Лежандра все равно может быть расширено и известно как преобразование Лежандра-Фенхеля . В этом более общем случае теряются некоторые свойства: например, преобразование Лежандра больше не является обратным самому себе (если только нет дополнительных предположений, таких как выпуклость ).

Лежандра

Позволять ${\textstyle M}$ — гладкое многообразие , пусть $E$ и ${\textstyle \pi :E\to M}$ быть векторным расслоением на $M$и связанная с ним проекция расслоения соответственно. Позволять ${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$быть гладкой функцией. Мы думаем о ${\textstyle L}$ как лагранжиан по аналогии с классическим случаем, когда ${\textstyle M=\mathbb {R} }$, ${\textstyle E=TM=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ и ${\textstyle L(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)}$ для некоторого положительного числа ${\textstyle m\in \mathbb {R} }$ и функция ${\textstyle V:M\to \mathbb {R} }$.

Как обычно двойник , ${\textstyle E}$ обозначается ${\textstyle E^{*}}$. Волокно ${\textstyle \pi }$ над ${\textstyle x\in M}$ обозначается ${\textstyle E_{x}}$, и ограничение ${\textstyle L}$ к ${\textstyle E_{x}}$ обозначается ${\textstyle L|_{E_{x}}:E_{x}\to \mathbb {R} }$. Лежандра Преобразование ​ ${\textstyle L}$ — гладкий морфизм

$$\mathbf {F} L:E\to E^{*}$$

определяется ${\textstyle \mathbf {F} L(v)=d(L|_{E_{x}})_{v}\in E_{x}^{*}}$, где ${\textstyle x=\pi (v)}$. Здесь мы воспользуемся тем, что, поскольку ${\textstyle E_{x}}$ векторное пространство, ${\textstyle T_{v}(E_{x})}$ можно отождествить с ${\textstyle E_{x}}$. Другими словами, ${\textstyle \mathbf {F} L(v)\in E_{x}^{*}}$ это ковектор, который отправляет ${\textstyle w\in E_{x}}$ к производной по направлению ${\textstyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}L(v+tw)\in \mathbb {R} }$.

Чтобы описать преобразование Лежандра локально, пусть ${\textstyle U\subseteq M}$ быть координатной картой, на которой ${\textstyle E}$тривиально. Выбор тривиализации ${\textstyle E}$ над ${\textstyle U}$, получаем графики ${\textstyle E_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$ и ${\textstyle E_{U}^{*}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$. С точки зрения этих графиков мы имеем ${\textstyle \mathbf {F} L(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})=(x;p_{1},\dotsc ,p_{r})}$, где

$$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})$$

для всех ${\textstyle i=1,\dots ,r}$. Если, как и в классическом случае, ограничение ${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$ к каждому волокну ${\textstyle E_{x}}$ строго выпукла и ограничена снизу положительно определенной квадратичной формой за вычетом константы, то преобразование Лежандра ${\textstyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}$ является диффеоморфизмом. Предположим, что ${\textstyle \mathbf {F} L}$ является диффеоморфизмом и пусть ${\textstyle H:E^{*}\to \mathbb {R} }$ — функция Гамильтона , определенная формулой

$$H(p)=p\cdot v-L(v),$$

где ${\textstyle v=(\mathbf {F} L)^{-1}(p)}$. Используя естественный изоморфизм ${\textstyle E\cong E^{**}}$, мы можем рассмотреть преобразование Лежандра ${\textstyle H}$ как карта ${\textstyle \mathbf {F} H:E^{*}\to E}$. Тогда у нас есть

$$(\mathbf {F} L)^{-1}=\mathbf {F} H.$$

Дальнейшие свойства

Свойства масштабирования

Преобразование Лежандра имеет следующие масштабирующие свойства: Для a > 0

$$f(x)=a\cdot g(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)$$

$$f(x)=g(a\cdot x)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right).$$

Отсюда следует, что если функция однородна степени r, то ее образ при преобразовании Лежандра является однородной функцией степени s , где 1/ r + 1/ s = 1 . (Поскольку f ( x ) = x ^р / r , где r > 1 , подразумевает f *( p ) = p ^с / s .) Таким образом, единственным мономом, степень которого инвариантна относительно преобразования Лежандра, является квадратичный.

Поведение при переводе

$$f(x)=g(x)+b\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b$$

$$f(x)=g(x+y)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y$$

Поведение

$$f(x)=g^{-1}(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)$$

Поведение при линейных преобразованиях

Пусть А : Р ^н → Р ^м быть линейным преобразованием . Для любой выпуклой функции f на R ^н , надо

$$(Af)^{\star }=f^{\star }A^{\star }$$

где A * — сопряженный оператор A , определенный формулой

$$\left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle ,$$

и Af это продвижение f A вдоль —

$$(Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}.$$

Замкнутая выпуклая функция f симметрична относительно заданного множества G ортогональных линейных преобразований ,

$$f(Ax)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G$$

тогда и только тогда, когда * симметрично относительно G. f

Инфимальная свертка

Инфимальная свертка двух функций f и g определяется как

$$\left(f\star _{\inf }g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbf {R} ^{n}\right\}.$$

Пусть f ₁ , ..., f _m — собственные выпуклые функции на R ^н . Затем

$$\left(f_{1}\star _{\inf }\cdots \star _{\inf }f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.$$

Неравенство Фенхеля

Для любой функции f и ее выпуклой сопряженной f * неравенство Фенхеля (также известное как неравенство Фенхеля–Юнга ) выполняется для любых x ∈ X и p ∈ X * , т.е. независимых x , p пар ,

$$\left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{\star }(p).$$

См. также

• Двойная кривая
• Проективная двойственность
• Неравенство Юнга для продуктов
• Выпуклое сопряжение
• Теорема Моро
• Интеграция по частям
• Теорема двойственности Фенхеля

Ссылки

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (2008). Методы математической физики . Том. 2. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0471504399 .
• Арнольд, Владимир Игоревич (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-96890-3 .
• Фенчел, В. (1949). «О сопряженных выпуклых функциях», Кан. Дж. Математика 1 : 73–77.
• Рокафеллар, Р. Тиррелл (1996) [1970]. Выпуклый анализ . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-01586-4 .
• Зия, РКП; Редиш, EF; Маккей, СР (2009). «Понимание смысла преобразования Лежандра». Американский журнал физики . 77 (7): 614. arXiv : 0806.1147 . Бибкод : 2009AmJPh..77..614Z . дои : 10.1119/1.3119512 . S2CID   37549350 .

Дальнейшее чтение

• Нильсен, Франк (1 сентября 2010 г.). «Преобразование Лежандра и информационная геометрия» (PDF) . Проверено 24 января 2016 г.
• Тушетт, Хьюго (27 июля 2005 г.). «Краткое описание трансформаций Лежандра-Фенхеля» (PDF) . Проверено 24 января 2016 г.
• Тушетт, Хьюго (21 ноября 2006 г.). «Элементы выпуклого анализа» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 1 февраля 2016 г. Проверено 24 января 2016 г.

Внешние ссылки

• Преобразование Лежандра с помощью фигур на maze5.net
• Трансформации Лежандра и Лежандра-Фенхеля с пошаговым объяснением на сайте onmyphd.com.