Функция поддержки

Не путать с кривой поддержки .

В математике опорная функция h _A непустого замкнутого выпуклого множества A в $\mathbb {R} ^{n}$описывает (со знаком) расстояния опорных гиперплоскостей A от начала координат . Опорная функция является выпуклой функцией на $\mathbb {R} ^{n}$.Любое непустое замкнутое выпуклое множество A однозначно определяется h _A . Более того, опорная функция как функция множества A совместима со многими естественными геометрическими операциями, такими как масштабирование, перенос, вращение и сложение Минковского . Благодаря этим свойствам опорная функция является одним из самых центральных базовых понятий выпуклой геометрии.

Определение

Функция поддержки $h_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ непустого замкнутого выпуклого множества A в $\mathbb {R} ^{n}$ дается

$h_{A}(x)=\sup\{x\cdot a:a\in A\},$

$x\in \mathbb {R} ^{n}$; видеть . Его интерпретация наиболее интуитивно понятна, когда x является единичным вектором: по определению A содержится в замкнутом полупространстве

$\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x\leqslant h_{A}(x)\}$

есть хотя бы одна точка A и на границе

$H(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x=h_{A}(x)\}$

этого полупространства. Поэтому гиперплоскость H ( x ) называется опорной гиперплоскостью. с внешним (или внешним ) единичным вектором нормали x .Слово «внешний» здесь важно, так как ориентация x играет роль, множество H ( x ), вообще говоря, отличается от H (− x ).Теперь h _A ( x ) — это (со знаком) расстояние H ( x ) от начала координат.

Примеры

Опорная функция синглтона A = { a } равна $h_{A}(x)=x\cdot a$.

Опорная функция евклидова единичного шара $B=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\|y\|_{2}\leq 1\}$ является $h_{B}(x)=\|x\|_{2}$ где $\|\cdot \|_{2}$ это 2-норма.

Если A — отрезок линии, проходящий через начало координат, с конечными точками — a и a , то $h_{A}(x)=|x\cdot a|$.

Характеристики

В зависимости от х

Опорная функция компактного непустого выпуклого множества вещественнозначна и непрерывна, но если множество замкнуто и неограниченно, его опорная функция расширена вещественнозначной (принимает значение $\infty$). Поскольку любое непустое замкнутое выпуклое множество является пересечениемопорные полупространства функция h _A определяет A однозначно. Это можно использовать для аналитического описания некоторых геометрических свойств выпуклых множеств. Например, множество A точечно симметрично относительно начала координат тогда и только тогда, когда h _A является четной функцией .

В общем случае опорная функция не дифференцируема. Однако существуют производные по направлению, которые дают опорные функции наборов опор. Если А компактно , и выпукло и h _A '( u ; x ) обозначает производную по направлению h _A при u ≠ 0 в направлении x ,у нас есть

$h_{A}'(u;x)=h_{A\cap H(u)}(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}.$

Здесь H ( u ) — опорная гиперплоскость A с вектором внешней нормали u , определеннойвыше. Если, скажем, A ∩ H ( u ) является одноэлементным { y }, из этого следует, что опорная функция дифференцируема в точке u и его градиент совпадает с y . Обратно, если h _A дифференцируема в точке u , то A ∩ H ( u ) является одноэлементным. Следовательно, h _A дифференцируема во всех точках u ≠ 0. тогда и только тогда, когда A ( строго выпукла граница A не содержит отрезков).

В более общем плане, когда $A$ выпукло и замкнуто, то для любого $u\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$,

$\partial h_{A}(u)=H(u)\cap A\,,$

где $\partial h_{A}(u)$ множество субградиентов обозначает $h_{A}$ в $u$.

Непосредственно из ее определения следует, что опорная функция положительно однородна:

$h_{A}(\alpha x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n},$

и субаддитив:

$h_{A}(x+y)\leq h_{A}(x)+h_{A}(y),\qquad x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$

Отсюда следует, что h _A — выпуклая функция . В выпуклой геометрии крайне важно, чтобы эти свойства характеризовали опорные функции:Любая положительная однородная выпуклая вещественная функция на $\mathbb {R} ^{n}$ это опорная функция непустого компактного выпуклого множества. Известны несколько доказательств, используется тот факт, что преобразование Лежандра положительной однородной выпуклой действительнозначной функции — (выпуклая) индикаторная функция выпуклого компакта.

Многие авторы ограничивают опорную функцию сферой евклидовых единиц. и рассмотрим его как функцию от S ^{п -1} . Свойство однородности показывает, что это ограничение определяет функция поддержки включена $\mathbb {R} ^{n}$, как определено выше.

В зависимости от А

Опорные функции расширенного или транслируемого набора тесно связаны с исходным набором A :

$h_{\alpha A}(x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n}$

и

$h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+x\cdot b,\qquad x,b\in \mathbb {R} ^{n}.$

Последнее обобщается на

$h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},$

где A + B обозначает сумму Минковского :

$A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.$

Расстояние Хаусдорфа d _H ( A , B ) двух непустых компактных выпуклых множеств A и B можно выразить через опорные функции:

$d_{\mathrm {H} }(A,B)=\|h_{A}-h_{B}\|_{\infty }$

где в правой части используется единая норма на единичной сфере.

Свойства опорной функции как функции множества A иногда резюмируют следующим образом:что $\tau$: А $\mapsto$ h _A отображает семейство непустыхкомпактные выпуклые множества к конусу всех вещественнозначных непрерывных функций на сфере, положительные однородное расширение выпукло. Немного злоупотребляя терминологией, $\tau$ иногда называют линейным , поскольку оно учитывает сложение Минковского, хотя это не так. определенный в линейном пространстве, а скорее на (абстрактном) выпуклом конусе непустых компактных выпуклых множеств. Отображение $\tau$ является изометрией между этим конусом, наделенным метрикой Хаусдорфа, и подконус семейства непрерывных функций на S ^{п -1} с единой нормой.

Варианты

В отличие от вышесказанного, опорные функции иногда определяются на границе A, а не на границе A. С ^{п -1} , в предположении, что существует единственная внешняя единичная нормаль в каждой граничной точке. Выпуклость для определения не нужна.Для ориентированной регулярной поверхности M с единичным нормали вектором N , определенным всюду на ее поверхности, опорная функция затем определяется

${x}\mapsto {x}\cdot N({x})$.

Другими словами, для любого ${x}\in M$, эта вспомогательная функция дает расстояние со знаком единственной гиперплоскости, которая касается M по x .

См. также

• Барьерный конус
• Поддерживающий функционал