Барьерный конус

В математике , особенно в функциональном анализе , барьерный конус — это конус , связанный с любым непустым подмножеством банахова пространства . Оно тесно связано с понятиями опорных функций и полярных множеств .

Определение

Пусть X — банахово пространство и K — непустое подмножество X . Барьерный конус K K это подмножество b ( ) X — ^∗ , непрерывное двойственное пространство X , определяемое формулой

$b(K):=\left\{\ell \in X^{\ast }\,\left|\,\sup _{x\in K}\langle \ell ,x\rangle <+\infty \right.\right\}.$

Связанные понятия

Функция

$\sigma _{K}\colon \ell \mapsto \sup _{x\in K}\langle \ell ,x\rangle ,$

определенный для каждого непрерывного линейного функционала ℓ на X , известен как опорная функция множества K ; таким образом, барьерный конус K - это в точности набор непрерывных линейных функционалов ℓ, для которых σ _K ( ℓ ) конечно.

Набор непрерывных линейных функционалов ℓ, для которых σ _K ( ℓ известен как полярное множество K ) ≤ 1 , . Набор непрерывных линейных функционалов ℓ, для которых σ _K ( ℓ , известен как (отрицательный) полярный конус K ) ≤ 0 . Очевидно, что и полярное множество, и отрицательный полярный конус являются подмножествами барьерного конуса.

Ссылки

• Обен, Жан-Пьер; Франковска, Элен (2009). Многозначный анализ (переиздание изд. 1990 г.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston Inc., стр. xx+461. ISBN  978-0-8176-4847-3 . МР   2458436 .