Двойной конус и полярный конус

Двойной конус и полярный конус — тесно связанные понятия в выпуклом анализе , разделе математики .

Двойной конус

В векторном пространстве

Двойной конус C ^* подмножества C пространстве в линейном пространстве X над вещественными числами , например евклидовом R ^н, с двойным пробелом X ^* это набор

C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},

где $\langle y,x\rangle$ - это пара двойственности между X и X ^*, то есть $\langle y,x\rangle =y(x)$ .

С ^* всегда является выпуклым конусом , даже если C не является ни выпуклым , ни конусом .

В топологическом векторном пространстве

Если X — топологическое векторное пространство над действительными или комплексными числами, то двойственный конус подмножества C ⊆ X — это следующий набор непрерывных линейных функционалов на X :

C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}

, ^{[ 1 ]}

который является поляром множества - C . ^{[ 1 ]} Неважно, что такое C , $C^{\prime }$ будет выпуклый конус. Если C ⊆ {0}, то $C^{\prime }=X^{\prime }$ .

В гильбертовом пространстве (внутренний двойственный конус)

В качестве альтернативы многие авторы определяют двойственный конус в контексте реального гильбертова пространства (например, R ^н оснащенный евклидовым внутренним произведением), который иногда называют внутренним двойным конусом .

C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.

Характеристики

Используя это последнее определение для C ^*, мы имеем, что когда C является конусом, выполняются следующие свойства: ^{[ 2 ]}

Ненулевой вектор y находится в C ^* тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

y — нормаль начале гиперплоскости , поддерживающей C. в
y и C лежат на одной стороне опорной гиперплоскости.

С ^* является замкнутым и выпуклым.
$C_{1}\subseteq C_{2}$ подразумевает $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$ .
Если C имеет непустую внутренность, то C ^* указан C , т. е. * не содержит строки целиком.
Если C — конус и замыкание C заострено, то C ^* имеет непустую внутреннюю часть.
С ^** — замыкание наименьшего выпуклого конуса, содержащего C (следствие теоремы об отделении гиперплоскости )

Самодвойственные конусы

Конус C в векторном пространстве X называется самодвойственным, если X может быть снабжен скалярным произведением ⟨⋅,⋅⟩ таким, что внутренний двойственный конус относительно этого скалярного произведения равен C . ^{[ 3 ]} Те авторы, которые определяют двойственный конус как внутренний двойственный конус в реальном гильбертовом пространстве, обычно говорят, что конус самодуален, если он равен своему внутреннему двойственному конусу. Это немного отличается от приведенного выше определения, которое допускает изменение внутреннего продукта. Например, приведенное выше определение делает конус в R ^н с эллипсоидальным основанием самодвойственным, поскольку внутреннее произведение можно изменить, чтобы сделать основание сферическим, а конус со сферическим основанием в R ^н равен своему внутреннему двойнику.

Неотрицательный ортант R ^н и пространство всех положительных полуопределенных матриц самодвойственны, как и конусы с эллипсоидным основанием (часто называемые «сферическими конусами», «конусами Лоренца» или иногда «рожками мороженого»). Как и все конусы в R ³ основанием которого является выпуклая оболочка правильного многоугольника с нечетным числом вершин. Менее регулярный пример — конус в R ³ основанием которого является «домик»: выпуклая оболочка квадрата и точка вне квадрата, образующая с одной из сторон квадрата равносторонний треугольник (соответствующей высоты).

Полярный конус

Для множества C в X полярным конусом C множество является ^{[ 4 ]}

C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.

Видно, что полярный конус равен отрицательному значению двойного конуса, т.е. C ^тот = − С ^*.

Для замкнутого выпуклого конуса C в X полярный конус эквивалентен полярному множеству для C . ^{[ 5 ]}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , стр. 215–222.
^ Бойд, Стивен П.; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Издательство Кембриджского университета. стр. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3 . Проверено 15 октября 2011 г.
^ Иочум, Бруно, «Самополярные конусы и йордановые алгебры», Springer, 1984.
^ Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6 .
^ Алипрантис, CD; Граница, КЦ (2007). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для автостопа (3-е изд.). Спрингер. п. 215. дои : 10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0 .

Библиография

Болтянский, В.Г .; Мартини, Х.; Солтан, П. (1997). Экскурсии в комбинаторную геометрию . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-61341-2 .
Го, CJ; Ян, XQ (2002). Двойственность в оптимизации и вариационных неравенствах . Лондон; Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27479-6 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Рамм, АГ (2000). Шивакумар, Пенсильвания; Штраус, А.В. (ред.). Теория операторов и ее приложения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1990-9 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-1] Jump up to: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , стр. 215–222.

[Boyd-2] Бойд, Стивен П.; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Издательство Кембриджского университета. стр. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3 . Проверено 15 октября 2011 г.

[3] Иочум, Бруно, «Самополярные конусы и йордановые алгебры», Springer, 1984.

[Rockafellar-4] Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6 .

[5] Алипрантис, CD; Граница, КЦ (2007). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для автостопа (3-е изд.). Спрингер. п. 215. дои : 10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

v т и Упорядоченные топологические векторные пространства
Основные понятия	Упорядоченное векторное пространство Частично упорядоченное пространство Пространство Рисса Заказать топологию Заказать единицу Положительный линейный оператор Топологическая векторная решетка Векторная решетка
Типы заказов/мест	AL-пространство AM-пространство Архимед Банахова решетка Решетка Фреше Локально выпуклая векторная решетка Нормированная решетка Заказ связан двойной Заказать двойной Заказ завершен Регулярно заказываем
Типы элементов/подмножеств	Группа Конус-насыщенный Решетка непересекающаяся Двойной/полярный конус Нормальный конус Заказ завершен Суммируемый заказ Заказать единицу Квазивнутренняя точка Твердый набор Слабая единица заказа
Топологии/Конвергенция	Схождение порядка Заказать топологию
Операторы	Позитивный Состояние
Основные результаты	Фрейденталь спектральный