Абстрактное m-пространство

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , абстрактное m -пространство или AM-пространство представляет собой банахову решетку. $(X,\|\cdot \|)$ чья норма удовлетворяет $\left\|\sup\{x,y\}\right\|=\sup \left\{\|x\|,\|y\|\right\}$ для всех x и y в положительном конусе X .

Мы говорим, что AM-пространство X является AM-пространством с единицей , если, кроме того, существует некоторое u ≥ 0 в X такое, что интервал [− u , u ] := { z ∈ X : − u ⩽ z и z ⩽ u } равен единичному шару X ; такой элемент u уникален и является порядка единицей X .

Примеры

Сильным двойником AL-пространства является AM-пространство с единицей.

Если X — архимедова упорядоченная векторная решетка , u — порядковая единица X от , а p _u — Минковского функционал $[u,-u]:=\{x\in X:-u\leq x{\text{ and }}x\leq x\},$ тогда полнота полунормированного пространства ( X , p _u ) является AM-пространством с единицей u .

Характеристики

Каждое AM-пространство изоморфно (как банахова решетка) некоторой замкнутой векторной подрешетке некоторого подходящего $C_{\mathbb {R} }\left(X\right)$. Сильным двойником AM-пространства с единицей является AL-пространство .

Если X ≠ {0} — AM-пространство с единицей, то множество K всех крайних точек положительной грани дуального единичного шара является непустым и слабо компактным (т. е. $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-компактный) подмножество $X^{\prime }$ и, кроме того, оценочная карта $I:X\to C_{\mathbb {R} }\left(K\right)$ определяется $I(x):=I_{x}$ (где $I_{x}:K\to \mathbb {R}$ определяется $I_{x}(t)=\langle x,t\rangle$) является изоморфизмом.

См. также

• Векторная решетка
• AL-пространство

Библиография

• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .