Заказ завершен

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , существует подмножество $A$ упорядоченного векторного пространства называется порядково полным в $X$ если для каждого непустого подмножества $S$ из $X$ это порядок, ограниченный $A$ (то есть содержится в интервале, который представляет собой набор формы $[a,b]:=\{x\in X:a\leq x{\text{ and }}x\leq b\},$ для некоторых $a,b\in A$), высший $\sup S$' и инфимум $\inf S$ оба существуют и являются элементами $A.$ Упорядоченное векторное пространство называется порядково полным , дедекиндово полным , полной векторной решеткой или полным пространством Рисса , если оно является порядково полным как подмножество самого себя, в этом случае это обязательно векторная решетка . Упорядоченное векторное пространство называется счетно-порядковым, если каждое счетное подмножество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Порядково полное векторное пространство — важное свойство, которое часто используется в теории топологических векторных решеток .

Примеры

векторной Двойственный порядок решетки представляет собой векторную решетку полного порядка при ее каноническом упорядочении.

Если $X$ является локально выпуклой топологической векторной решеткой , то сильная двойственная $X_{b}^{\prime }$ является порядково полной локально выпуклой топологической векторной решеткой относительно своего канонического порядка.

Любая рефлексивная локально выпуклая топологическая векторная решетка порядково полная и полная TVS.

Характеристики

Если $X$ является порядково полной векторной решеткой , то для любого подмножества $S\subseteq X,$ $X$ - упорядоченная прямая сумма полосы, порожденной $A$ и группы $A^{\perp }$ всех элементов, не пересекающихся с $A.$ Для любого подмножества $A$ из $X,$ группа, созданная $A$ является $A^{\perp \perp }.$ Если $x$ и $y$ не пересекаются по решетке, то зона, порожденная $\{x\},$ содержит $y$ и не пересекается по решетке с зоной, порожденной $\{y\},$ который содержит $x.$

См. также

• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .