Схождение порядка

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , фильтр ${\mathcal {F}}$ в порядковой полной векторной решетке $X$ сходится по порядку, если оно содержит ограниченное по порядку подмножество (т. е. подмножество, содержащееся в интервале вида $[a,b]:=\{x\in X:a\leq x{\text{ and }}x\leq b\}$) и если $$\sup \left\{\inf S:S\in \operatorname {OBound} (X)\cap {\mathcal {F}}\right\}=\inf \left\{\sup S:S\in \operatorname {OBound} (X)\cap {\mathcal {F}}\right\},$$ где $\operatorname {OBound} (X)$ - это набор всех ограниченных по порядку подмножеств X , и в этом случае это общее значение называется порядковым пределом ${\mathcal {F}}$ в $X.$

Порядковая сходимость играет важную роль в теории векторных решеток , поскольку определение порядковой сходимости не зависит от какой-либо топологии.

Определение

сеть $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ в векторной решетке $X$ говорят, уменьшается до $x_{0}\in X$ если $\alpha \leq \beta$ подразумевает $x_{\beta }\leq x_{\alpha }$ и $x_{0}=inf\left\{x_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ в $X.$ сеть $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ в векторной решетке $X$ говорят, что порядок-сходится к $x_{0}\in X$ если есть сеть $\left(y_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ в $X$ который уменьшается до $0$ и удовлетворяет $\left|x_{\alpha }-x_{0}\right|\leq y_{\alpha }$ для всех $\alpha \in A$.

Непрерывность заказа

Линейная карта $T:X\to Y$ между векторными решетками называется порядково непрерывным, если всегда $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ это сеть в $X$ этот порядок сходится к $x_{0}$ в $X,$ тогда сеть $\left(T\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}$ порядок-сходится к $T\left(x_{0}\right)$ в $Y.$$T$ называется последовательно-порядково-непрерывным, если всякий раз, когда $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ представляет собой последовательность в $X$ этот порядок сходится к $x_{0}$ в $X,$тогда последовательность $\left(T\left(x_{n}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ порядок-сходится к $T\left(x_{0}\right)$ в $Y.$

Связанные результаты

В порядковой полной векторной решетке $X$ чей порядок регулярный , $X$ имеет минимальный тип тогда и только тогда, когда каждый сходящийся по порядку фильтр в $X$ сходится, когда $X$ наделен порядковой топологией .

См. также

• Банахова решетка - банахово пространство с совместимой структурой решетки.
• Решетка Фреше - Топологическая векторная решетка
• Локально выпуклая решетка
• Нормированная решетка
• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .