Заказ связан двойной

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , порядок, двойственный к упорядоченному векторному пространству. $X$ — множество всех линейных функционалов на $X$ что отображает интервалы порядка, которые представляют собой множества вида $[a,b]:=\{x\in X:a\leq x{\text{ and }}x\leq b\},$ ограниченным множествам. Порядок связан двойной $X$ обозначается $X^{\operatorname {b} }.$ Это пространство играет важную роль в теории упорядоченных топологических векторных пространств .

Канонический порядок

Элемент $g$ порядка, связанного двойственным к $X$ называется положительным, если $x\geq 0$ подразумевает $\operatorname {Re} (f(x))\geq 0.$Положительные элементы двойственного порядка, связанного с порядком, образуют конус, который индуцирует упорядочение на $X^{\operatorname {b} }$ назвал канонический порядок .Если $X$ — упорядоченное векторное пространство , положительный конус которого $C$ генерирует (имеется в виду $X=C-C$), то порядок, двойственный каноническому порядку, является упорядоченным векторным пространством.

Характеристики

Двойственный порядок упорядоченного векторного пространства содержит его двойственный порядок . Если положительный конус упорядоченного векторного пространства $X$ генерирует, и если для всех положительных $x$ и $x$ у нас есть $[0,x]+[0,y]=[0,x+y],$ тогда двойственный порядок равен двойственному порядку, который представляет собой векторную решетку полного порядка при ее каноническом упорядочении.

Предполагать $X$ представляет собой векторную решетку и $f$ и $g$ являются порядково ограниченными линейными формами на $X.$Тогда для всех $x\in X,$

1. $\sup(f,g)(|x|)=\sup\{f(y)+g(z):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ and }}y+z=|x|\}$
2. $\inf(f,g)(|x|)=\inf\{f(y)+g(z):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ and }}y+z=|x|\}$
3. $|f|(|x|)=\sup\{f(y-z):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ and }}y+z=|x|\}$
4. $|f(x)|\leq |f|(|x|)$
5. если $f\geq 0$ и $g\geq 0$ затем $f$ и $g$ являются решеточно непересекающимися тогда и только тогда, когда для каждого $x\geq 0$ и настоящий $r>0,$ существует разложение $x=a+b$ с $a\geq 0,b\geq 0,{\text{ and }}f(a)+g(b)\leq r.$

См. также

• Алгебраическое двойственное пространство - в математике векторное пространство линейных форм. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Непрерывное двойное пространство - в математике векторное пространство линейных форм. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Двойное пространство - в математике векторное пространство линейных форм.
• Заказ двойной (функциональный анализ)

Ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .