Нормальный конус (функциональный анализ)

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , если $C$ - это конус в начале координат топологического векторного пространства. $X$ такой, что $0\in C$ и если ${\mathcal {U}}$ — фильтр окрестности в начале координат, тогда $C$ называется нормальным, если ${\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C},$ где $\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}:=\left\{[U]_{C}:U\in {\mathcal {U}}\right\}$ и где для любого подмножества $S\subseteq X,$ $[S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)$ это $C$-насыщение ​ $S.$

Нормальные конусы играют важную роль в теории упорядоченных топологических векторных пространств и топологических векторных решеток .

Характеристики

Если $C$ это конус в ТВС $X$ тогда для любого подмножества $S\subseteq X$ позволять $[S]_{C}:=\left(S+C\right)\cap \left(S-C\right)$ быть $C$-насыщенный корпус $S\subseteq X$ и для любой коллекции ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X$ позволять $\left[{\mathcal {S}}\right]_{C}:=\left\{\left[S\right]_{C}:S\in {\mathcal {S}}\right\}.$ Если $C$ это конус в ТВС $X$ затем $C$ это нормально , если ${\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C},$ где ${\mathcal {U}}$ — фильтр окрестности в начале координат.

Если ${\mathcal {T}}$ представляет собой совокупность подмножеств $X$ и если ${\mathcal {F}}$ является подмножеством ${\mathcal {T}}$ затем ${\mathcal {F}}$ является фундаментальным подсемейством ${\mathcal {T}}$ если каждый $T\in {\mathcal {T}}$ содержится как подмножество некоторого элемента ${\mathcal {F}}.$ Если ${\mathcal {G}}$ это семейство подмножеств TVS $X$ затем конус $C$ в $X$ называется ${\mathcal {G}}$-конус, если $\left\{{\overline {\left[G\right]_{C}}}:G\in {\mathcal {G}}\right\}$ является фундаментальным подсемейством ${\mathcal {G}}$ и $C$ является строгим ${\mathcal {G}}$-конус, если $\left\{\left[G\right]_{C}:G\in {\mathcal {G}}\right\}$ является фундаментальным подсемейством ${\mathcal {G}}.$ Позволять ${\mathcal {B}}$ обозначают семейство всех ограниченных подмножеств $X.$

Если $C$ это конус в ТВС $X$ (по действительным или комплексным числам), то следующие условия эквивалентны:

1. $C$ это обычный конус.
2. Для каждого фильтра ${\mathcal {F}}$ в $X,$ если $\lim {\mathcal {F}}=0$ затем $\lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0.$
3. Существует база соседства ${\mathcal {G}}$ в $X$ такой, что $B\in {\mathcal {G}}$ подразумевает $\left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B.$

и если $X$ является векторным пространством над вещественными числами, то мы можем добавить к этому списку:

4. В начале координат существует база окрестности, состоящая из выпуклых, сбалансированных , $C$-насыщенные наборы.
5. Существует порождающая семья ${\mathcal {P}}$ полунорм по $X$ такой, что $p(x)\leq p(x+y)$ для всех $x,y\in C$ и $p\in {\mathcal {P}}.$

и если $X$ — локально выпуклое пространство, и если двойственный конус $C$ обозначается $X^{\prime }$ то мы можем добавить к этому списку:

6. Для любого равнонепрерывного подмножества $S\subseteq X^{\prime },$ существует равнонепрерывный $B\subseteq C^{\prime }$ такой, что $S\subseteq B-B.$
7. Топология $X$ — топология равномерной сходимости на равнонепрерывных подмножествах $C^{\prime }.$

и если $X$ — инфрабочкообразное локально-выпуклое пространство, и если ${\mathcal {B}}^{\prime }$ является семейством всех сильно ограниченных подмножеств $X^{\prime }$ то мы можем добавить к этому списку:

8. Топология $X$ — топология равномерной сходимости на сильно ограниченных подмножествах $C^{\prime }.$
9. $C^{\prime }$ это ${\mathcal {B}}^{\prime }$-конус в $X^{\prime }.$
   • это значит, что семья $\left\{{\overline {\left[B^{\prime }\right]_{C}}}:B^{\prime }\in {\mathcal {B}}^{\prime }\right\}$ является фундаментальным подсемейством ${\mathcal {B}}^{\prime }.$
10. $C^{\prime }$ является строгим ${\mathcal {B}}^{\prime }$-конус в $X^{\prime }.$
    • это значит, что семья $\left\{\left[B^{\prime }\right]_{C}:B^{\prime }\in {\mathcal {B}}^{\prime }\right\}$ является фундаментальным подсемейством ${\mathcal {B}}^{\prime }.$

и если $X$ представляет собой упорядоченную локально выпуклую TVS над вещественными числами, положительный конус которой равен $C,$ то мы можем добавить к этому списку:

11. существует хаусдорфово локально компактное топологическое пространство $S$ такой, что $X$ изоморфно (как упорядоченное TVS) подпространству $R(S),$ где $R(S)$ - пространство всех вещественных непрерывных функций на $X$ в топологии компактной сходимости.

Если $X$ является локально выпуклым TVS, $C$ представляет собой конус в $X$ с двойным конусом $C^{\prime }\subseteq X^{\prime },$ и ${\mathcal {G}}$ является насыщенным семейством слабо ограниченных подмножеств $X^{\prime },$ затем

1. если $C^{\prime }$ это ${\mathcal {G}}$-конус тогда $C$ это обычный конус ${\mathcal {G}}$-топология на $X$;
2. если $C$ это обычный конус ${\mathcal {G}}$-топология на $X$ в соответствии с $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$ затем $C^{\prime }$ является строгим ${\mathcal {G}}$-конус в $X^{\prime }.$

Если $X$ является банаховым пространством, $C$ представляет собой замкнутый конус $X,$, и ${\mathcal {B}}^{\prime }$ является семейством всех ограниченных подмножеств $X_{b}^{\prime }$ тогда двойной конус $C^{\prime }$ это нормально в $X_{b}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда $C$ является строгим ${\mathcal {B}}$-конус.

Если $X$ является банаховым пространством и $C$ представляет собой конус в $X$ то следующие условия эквивалентны:

1. $C$ это ${\mathcal {B}}$-конус в $X$;
2. $X={\overline {C}}-{\overline {C}}$;
3. ${\overline {C}}$ является строгим ${\mathcal {B}}$-конус в $X.$

векторные

Предполагать $L$ — упорядоченное топологическое векторное пространство . То есть, $L$ является топологическим векторным пространством , и мы определяем $x\geq y$ в любое время $x-y$ лежит в конусе $L_{+}$. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Конус $L_{+}$ это нормально;
2. Нормированное пространство $L$ допускает эквивалентную монотонную норму ;
3. Существует константа $c>0$ такой, что $a\leq x\leq b$ подразумевает $\lVert x\rVert \leq c\max\{\lVert a\rVert ,\lVert b\rVert \}$;
4. Полный корпус $[U]=(U+L_{+})\cap (U-L_{+})$ замкнутого единичного шара $U$ из $L$ является нормой;
5. Существует постоянная $c>0$ такой, что $0\leq x\leq y$ подразумевает $\lVert x\rVert \leq c\lVert y\rVert$.

Свойства

• Если $X$ является ТВС Хаусдорфа, то каждый нормальный конус в $X$ является правильным конусом.
• Если $X$ является нормируемым пространством, и если $C$ это обычный конус $X$ затем $X^{\prime }=C^{\prime }-C^{\prime }.$
• Предположим, что положительный конус упорядоченной локально выпуклой ТВС $X$ является слабо нормальным в $X$ и это $Y$ представляет собой упорядоченную локально выпуклую ТВС с положительным конусом $D.$ Если $Y=D-D$ затем $H-H$ плотный в $L_{s}(X;Y)$ где $H$ является каноническим положительным конусом $L(X;Y)$ и $L_{s}(X;Y)$ это пространство $L(X;Y)$ с топологией простой сходимости.
  • Если ${\mathcal {G}}$ представляет собой семейство ограниченных подмножеств $X,$ то, по-видимому, не существует простых условий, гарантирующих, что $H$ это ${\mathcal {T}}$-конус в $L_{\mathcal {G}}(X;Y),$ даже для самых распространенных типов семей ${\mathcal {T}}$ ограниченных подмножеств $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$ (за исключением очень особых случаев).

Достаточные условия

Если топология на $X$ локально выпукло, то замыкание нормального конуса является нормальным конусом.

Предположим, что $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ является семейством локально выпуклых TVS и что $C_{\alpha }$ представляет собой конус в $X_{\alpha }.$Если $X:=\bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }$ — локально выпуклая прямая сумма, то конус $C:=\bigoplus _{\alpha }C_{\alpha }$ это обычный конус $X$ тогда и только тогда, когда каждый $X_{\alpha }$ это нормально в $X_{\alpha }.$

Если $X$ — локально выпуклое пространство, то замыкание нормального конуса является нормальным конусом.

Если $C$ является конусом в локально выпуклой TVS $X$ и если $C^{\prime }$ представляет собой двойной конус $C,$ затем $X^{\prime }=C^{\prime }-C^{\prime }$ тогда и только тогда, когда $C$ слабо нормально. Каждый нормальный конус в локально-выпуклом ТВС является слабо нормальным. В нормированном пространстве конус нормален тогда и только тогда, когда он слабо нормален.

Если $X$ и $Y$ являются упорядоченными локально выпуклыми ТВС, и если ${\mathcal {G}}$ представляет собой семейство ограниченных подмножеств $X,$ то если положительный конус $X$ это ${\mathcal {G}}$-конус в $X$ и если положительный конус $Y$ это обычный конус $Y$ тогда положительный конус $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$ это обычный конус ${\mathcal {G}}$-топология на $L(X;Y).$

См. также

• Конус-насыщенный
• Топологическая векторная решетка
• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .