Двойной конус и полярный конус

Множество C и его двойственный конус C ^* .

Множество C и его полярный конус C ^тот . Двойной конус и полярный конус симметричны друг другу относительно начала координат.

Двойной конус и полярный конус — тесно связанные понятия в выпуклом анализе , разделе математики .

Двойной конус

В векторном пространстве

Двойной конус C ^* подмножества C пространстве в линейном пространстве X над вещественными числами , например евклидовом R ^н , с двойным пробелом X ^* это набор

$C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},$

где $\langle y,x\rangle$ - это пара двойственности между X и X ^* , то есть $\langle y,x\rangle =y(x)$.

С ^* всегда является выпуклым конусом , даже если C не является ни выпуклым , ни конусом .

В топологическом векторном пространстве

Если X — топологическое векторное пространство над действительными или комплексными числами, то двойственный конус подмножества C ⊆ X — это следующий набор непрерывных линейных функционалов на X :

$C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}$,

который является поляром множества - C . Неважно, что такое C , $C^{\prime }$ будет выпуклый конус. Если C ⊆ {0}, то $C^{\prime }=X^{\prime }$.

В гильбертовом пространстве (внутренний двойной конус)

В качестве альтернативы многие авторы определяют двойственный конус в контексте реального гильбертова пространства (например, R ^н оснащенный евклидовым внутренним произведением), который иногда называют внутренним двойным конусом .

$C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

Свойства

Используя это последнее определение для C ^* , мы имеем, что когда C является конусом, выполняются следующие свойства:

• Ненулевой вектор y находится в C ^* тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

1. y — нормаль начале гиперплоскости , поддерживающей C. в
2. y и C лежат на одной стороне опорной гиперплоскости.

• С ^* является замкнутым и выпуклым.
• $C_{1}\subseteq C_{2}$ подразумевает $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$.
• Если C имеет непустую внутренность, то C ^* указан , т.е. C* не содержит строки целиком.
• Если C — конус и замыкание C заострено, то C ^* имеет непустую внутреннюю часть.
• С ^** — замыкание наименьшего выпуклого конуса, содержащего C (следствие теоремы об отделении гиперплоскостей )

Самодвойственные конусы

Конус C в векторном пространстве X называется самодвойственным, если X может быть снабжен скалярным произведением ⟨⋅,⋅⟩ таким, что внутренний двойственный конус относительно этого скалярного произведения равен C . Те авторы, которые определяют двойственный конус как внутренний двойственный конус в реальном гильбертовом пространстве, обычно говорят, что конус самодуален, если он равен своему внутреннему двойственному конусу. Это немного отличается от приведенного выше определения, которое допускает изменение внутреннего продукта. Например, приведенное выше определение делает конус в R ^н с эллипсоидным основанием самодвойственным, поскольку внутреннее произведение можно изменить, чтобы сделать основание сферическим, а конус со сферическим основанием в R ^н равен своему внутреннему двойнику.

Неотрицательный ортант ​ R ^н и пространство всех положительных полуопределенных матриц самодвойственны, как и конусы с эллипсоидным основанием (часто называемые «сферическими конусами», «конусами Лоренца» или иногда «рожками мороженого»). Как и все конусы в R ³ основанием которого является выпуклая оболочка правильного многоугольника с нечетным числом вершин. Менее регулярный пример — конус в R ³ основанием которого является «дом»: выпуклая оболочка квадрата и точка вне квадрата, образующая с одной из сторон квадрата равносторонний треугольник (соответствующей высоты).

Полярный конус

Поларой замкнутого выпуклого конуса C является замкнутый выпуклый конус C ^тот , и наоборот.

Для множества C в X полярным конусом C множество является

$C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

Видно, что полярный конус равен отрицательному значению двойного конуса, т.е. C ^тот = − С ^* .

Для замкнутого выпуклого конуса C в X полярный конус эквивалентен полярному множеству для C .

См. также

• Биполярная теорема
• Полярный набор

Библиография

• Болтянский, В.Г. ; Мартини, Х.; Солтан, П. (1997). Экскурсии в комбинаторную геометрию . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  3-540-61341-2 .
• Го, CJ; Ян, XQ (2002). Двойственность в оптимизации и вариационных неравенствах . Лондон; Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-415-27479-6 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рамм, АГ (2000). Шивакумар, Пенсильвания; Штраус, А.В. (ред.). Теория операторов и ее приложения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1990-9 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .