Пространство Рисса
В математике , пространство Рисса решетчато -упорядоченное векторное пространство или векторная решетка — это частично упорядоченное векторное пространство , в котором структура порядка представляет собой решетку .
Пространства Рисса названы в честь Фригеса Рисса , который впервые определил их в своей статье 1928 года « О разложении линейных функциональных операций» .
Пространства Рисса имеют широкое применение. Они важны в теории меры , поскольку важные результаты являются частными случаями результатов для пространств Рисса. Например, теорема Радона-Никодима является частным случаем спектральной теоремы Фрейденталя . Пространства Рисса также нашли применение в математической экономике благодаря работам греко-американского экономиста и математика Хараламбоса Д. Алипрантиса .
Определение [ править ]
Предварительные сведения [ править ]
Если является упорядоченным векторным пространством (которое по определению является векторным пространством над действительными числами ), и если является подмножеством тогда элемент является верхней границей (соответственно нижней границей ) если (соответственно ) для всех Элемент в является наименьшей верхней границей или верхней границей (соответственно большей нижней границей или нижней границей ) если это верхняя граница (соответственно нижняя граница) и если для любой верхней границы (соответственно любой нижней границы) из (соответственно ).
Определения [ править ]
Предзаказная векторная решетка [ править ]
Предупорядоченная векторная решетка — это предварительно упорядоченное векторное пространство. в котором каждая пара элементов имеет верхнюю границу .
Более явно, предупорядоченная векторная решетка — это векторное пространство, наделенное предварительным порядком , такой, что для любого :
- Инвариантность перевода : подразумевает
- Положительная однородность : для любого скаляра подразумевает
- Для любой пары векторов существует верхняя грань (обозначается ) в относительно заказа
Предварительный заказ вместе с пунктами 1 и 2, которые делают его «совместимым со структурой векторного пространства», делают предупорядоченное векторное пространство. В пункте 3 сказано, что предзаказ представляет собой полурешетку соединения . Поскольку предварительный порядок совместим со структурой векторного пространства, можно показать, что любая пара также имеет нижнюю границу , что делает также встречающаяся полурешетка , следовательно, решетка.
Предварительно упорядоченное векторное пространство является предупорядоченной векторной решеткой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных свойств:
- Для любого их верхняя грань существует в
- Для любого их нижняя грань существует в
- Для любого их низшее и наивысшее существуют в
- Для любого существует в [1]
Рисса и решетки Пространство векторные
Пространство Рисса или векторная решетка — это предупорядоченная векторная решетка, предварительный порядок которой является частичным порядком . Эквивалентно, это упорядоченное векторное пространство. для которого упорядочение является решеткой .
Обратите внимание, что многие авторы требовали, чтобы векторная решетка была частично упорядоченным векторным пространством (а не просто предварительно упорядоченным векторным пространством), в то время как другие требовали, чтобы она была только предварительно упорядоченным векторным пространством. В дальнейшем мы будем предполагать, что каждое пространство Рисса и каждая векторная решетка являются упорядоченным векторным пространством , но предупорядоченная векторная решетка не обязательно является частично упорядоченной.
Если является упорядоченным векторным пространством над чей положительный конус (элементы ) является порождающим (т.е. таким, что ), и если для каждого или или существует, то представляет собой векторную решетку. [2]
Интервалы [ править ]
Порядковый интервал в частично упорядоченном векторном пространстве представляет собой выпуклое множество вида В упорядоченном вещественном векторном пространстве каждый интервал вида является сбалансированным . [3] Из аксиом 1 и 2 выше следует, что и подразумевает Подмножество называется порядково ограниченным, если оно содержится в некотором порядковом интервале. [3] Единицей порядка предупорядоченного векторного пространства является любой элемент. такой, что набор поглощает . [3]
Набор всех линейных функционалов в предупорядоченном векторном пространстве который отображает каждый порядковый интервал в ограниченное множество, называется порядковой границей, двойственной к и обозначается [3] Если пространство упорядочено, то его двойственное порядковое пространство является векторным подпространством своего двойственного алгебраического пространства .
Подмножество векторной решетки называется упорядоченным , если для любого непустого подмножества такой, что ограничен ли порядок оба и существуют и являются элементами Мы говорим, что векторная решетка заказ завершен , если является подмножеством полного порядка [4]
Классификация [ править ]
Конечномерные пространства Рисса полностью классифицируются по архимедовому свойству :
- Теорема : [5] Предположим, что представляет собой векторную решетку конечномерных Если упорядочена по Архимеду , то она (векторная решетка) изоморфна по своему каноническому порядку. В противном случае существует целое число удовлетворяющий такой, что изоморфен где имеет свой канонический порядок, является с лексикографическим порядком , а произведение этих двух пространств имеет канонический порядок произведения.
Тот же результат не справедлив в бесконечных измерениях. В качестве примера Капланского рассмотрим векторное пространство V функций на [0,1] , которые непрерывны, за исключением конечного числа точек, где они имеют полюс второго порядка. Это пространство упорядочено по решетке обычным поточечным сравнением, но его нельзя записать как ℝ К для любого кардинала κ . [6] С другой стороны, эпи-моно факторизация в категории ℝ -векторных пространств также применима к пространствам Рисса: каждое решеточно-упорядоченное векторное пространство инжектируется в фактор ℝ К сплошным подпространством . [7]
Основные свойства [ править ]
Каждое пространство Рисса является частично упорядоченным векторным пространством , но не каждое частично упорядоченное векторное пространство является пространством Рисса.
Обратите внимание, что для любого подмножества из всякий раз, когда существует верхняя или нижняя грань (в этом случае они оба существуют). [2] Если и затем [2] Для всех в пространстве Рисса [4]
Абсолютное значение [ править ]
Для каждого элемента в пространстве Рисса абсолютное значение обозначается определяется как [4] где это удовлетворяет и Для любого и любое действительное число у нас есть и [4]
Непересекаемость [ править ]
Два элемента в векторной решетке называются решеточно непересекающимися или непересекающимися , если в этом случае мы пишем Два элемента не пересекаются тогда и только тогда, когда Если тогда они не пересекаются и где для любого элемента и Мы говорим, что два множества и не пересекаются , если и непересекающиеся для всех и все в этом случае мы пишем [2] Если это одноэлементный набор тогда мы напишем на месте Для любого набора мы определяем непересекающееся дополнение как множество [2] Непересекающиеся дополнения всегда представляют собой полосы , но обратное, как правило, неверно. Если является подмножеством такой, что существует, и если является решеткой подмножеств в это не пересекается с затем представляет собой решетку, не пересекающуюся с [2]
непересекающейся суммы положительных элементов Представление в виде
Для любого позволять и где обратите внимание, что оба эти элемента и с Затем и непересекающиеся, и является уникальным представлением как разность непересекающихся элементов, [2] Для всех и [2] Если и затем Более того, если и только если и [2]
Каждое пространство Рисса является дистрибутивной решеткой ; то есть он имеет следующий эквивалент [Примечание 1] характеристики: [8] для всех
- и всегда подразумевать
Каждое пространство Рисса обладает свойством разложения Рисса .
Схождение порядка [ править ]
Существует ряд осмысленных неэквивалентных способов определения сходимости последовательностей или сетей относительно порядковой структуры пространства Рисса. Последовательность в пространстве Рисса Говорят, что она сходится монотонно, если это монотонно убывающая (соответственно возрастающая) последовательность и ее грань. нижняя (верхняя) существует в и обозначили (соответственно ).
Последовательность в пространстве Рисса говорят, что они чтобы сходятся , если существует монотонная сходящаяся последовательность в такой, что
Если является положительным элементом пространства Рисса затем последовательность в говорят, что он сходится u-равномерно к если для любого существует такой, что для всех
Подпространства [ править ]
Дополнительная структура, обеспечиваемая этими пространствами, обеспечивает различные виды подпространств Рисса. Совокупность структур каждого вида в пространстве Рисса (например, совокупность всех идеалов) образует дистрибутивную решетку .
Подрешетки [ править ]
Если является векторной решеткой, то векторная подрешетка является векторным подпространством из такой, что для всех принадлежит (где эта верхняя грань взята в ). [4] Может случиться так, что подпространство из является векторной решеткой в своем каноническом порядке, но не является векторной подрешеткой [4]
Идеалы [ править ]
Векторное подпространство пространства Рисса называется идеалом , если он твердый , то есть если для и подразумевает, что [4] Пересечение произвольного набора идеалов снова является идеалом, что позволяет определить наименьший идеал, содержащий некоторое непустое подмножество. из и называется идеалом порожденным , Идеал, порожденный одиночным элементом, называется главным идеалом .
и σ идеалы Полосы -
Группа в пространстве Рисса определяется как идеал с дополнительным свойством, что для любого элемента для которого его абсолютное значение является верхней границей произвольного подмножества положительных элементов в что на самом деле находится в - Идеалы определяются аналогично, с заменой слов «произвольное подмножество» на «счетное подмножество». Очевидно, что каждая группа – это -идеально, но обратное, вообще говоря, неверно.
Пересечение произвольного семейства полос снова является полосой. Как и в случае с идеалами, для любого непустого подмножества из существует наименьшая полоса, содержащая это подмножество, называемая полосой, созданной Полоса, порожденная синглтоном, называется основной полосой .
Проекционные полосы [ править ]
Группа в пространстве Рисса называется проекционной полосой , если имеется в виду каждый элемент можно однозначно записать в виде суммы двух элементов: с и Тогда существует также положительный линейный идемпотент проекция или такой, что
Совокупность всех проекционных полос в пространстве Рисса образует булеву алгебру . Некоторые пространства не имеют нетривиальных проекционных зон (например, ), поэтому эта булева алгебра может быть тривиальной.
Полнота [ править ]
Векторная решетка является полной , если каждое подмножество имеет как верхнюю, так и нижнюю грань.
Векторная решетка является дедекиндовой полной, если каждое множество с верхней границей имеет верхнюю грань, а каждое множество с нижней границей имеет нижнюю границу.
Порядково полная, правильно упорядоченная векторная решетка, канонический образ которой в ее бидуальном порядке является порядково полной, называется минимальной и называется минимальной . [4]
Подпространства, факторы и произведения [ править ]
Подрешетки
Если является векторным подпространством предупорядоченного векторного пространства тогда канонический порядок на индуцированный положительный конус — предпорядок, индуцированный заостренным выпуклым конусом где этот конус собственный, если является правильным (то есть, если ). [3]
Подрешетка решетки векторной является векторным подпространством из такой, что для всех принадлежит (важно, обратите внимание, что эта супремум взята в и не в ). [3] Если с тогда двумерное векторное подпространство из определяется всеми отображениями вида (где ) является векторной решеткой индуцированного порядка, но не является подрешеткой [5] И это несмотря на являясь порядково полной архимедовой упорядоченной топологической векторной решеткой . Кроме того, существует векторная векторная подрешетка этого пространства такой, что имеет пустой салон внутри но нет положительного линейного функционала на можно продолжить до положительного линейного функционала на [5]
Факторные решетки
Позволять быть векторным подпространством упорядоченного векторного пространства имеющий положительный конус позволять — каноническая проекция, и пусть Затем представляет собой конус в что индуцирует канонический предварительный порядок в факторпространстве Если является правильным конусом в затем делает в упорядоченное векторное пространство. [3] Если является -насыщенный тогда определяет канонический порядок [5] Обратите внимание, что представляет собой пример упорядоченного векторного пространства, где не является правильным конусом.
Если представляет собой векторную решетку и является сплошным векторным подпространством затем определяет канонический порядок под которым представляет собой векторную решетку и каноническое отображение является гомоморфизмом векторной решетки. Кроме того, если заказ завершен и это группа в затем изоморфен [5] Кроме того, если является сплошным, то топология порядка является фактором топологии порядка на [5]
Если представляет собой топологическую векторную решетку и представляет собой замкнутую сплошную подрешетку затем также является топологической векторной решеткой. [5]
Продукт
Если любое множество, то пространство всех функций из в канонически упорядочен по собственному конусу [3]
Предположим, что является семейством предупорядоченных векторных пространств и что положительный конус является Затем представляет собой заостренный выпуклый конус что определяет канонический порядок на ; является правильным конусом, если все являются собственными конусами. [3]
Алгебраическая прямая сумма
Алгебраическая прямая сумма из является векторным подпространством то есть задан канонический порядок подпространства, унаследованный от [3] Если являются упорядоченными векторными подпространствами упорядоченного векторного пространства. затем является упорядоченной прямой суммой этих подпространств, если канонический алгебраический изоморфизм на (с каноническим порядком произведения) является изоморфизмом порядка . [3]
Пространства линейных карт [ править ]
Конус в векторном пространстве называется порождающим , если равно всему векторному пространству. [3] Если и представляют собой два нетривиальных упорядоченных векторных пространства с соответствующими положительными конусами и затем генерируется в тогда и только тогда, когда множество является правильным конусом в которое является пространством всех линейных отображений из в В этом случае порядок, определяемый называется упорядочением каноническим [3] В более общем смысле, если — любое векторное подпространство такой, что является собственным конусом, порядок которого определяется формулой называется упорядочением каноническим [3]
Линейная карта между двумя предупорядоченными векторными пространствами и с соответствующими положительными конусами и называется положительным , если Если и представляют собой векторные решетки с заказ завершен , и если — множество всех положительных линейных отображений из в тогда подпространство из является порядково полной векторной решеткой относительно своего канонического порядка; более того, содержит именно те линейные отображения, которые отображают порядковые интервалы на интервалы порядка [5]
Положительные функционалы и двойственный порядок [ править ]
Линейная функция в предупорядоченном векторном пространстве называется положительным , если подразумевает Множество всех положительных линейных форм в векторном пространстве, обозначаемое представляет собой конус, поляру равный упорядоченного Двойственный порядок векторного пространства множество, обозначаемое определяется Хотя существуют упорядоченные векторные пространства, для которых равенство множеств не выполняется. [3]
векторной Гомоморфизм решетки
Предположим, что и представляют собой предупорядоченные векторные решетки с положительными конусами и и разреши быть картой. Затем является предупорядоченным гомоморфизмом векторной решетки , если является линейным и выполняется любое из следующих эквивалентных условий: [9] [5]
- сохраняет операции решетки
- для всех
- для всех
- для всех
- для всех
- и представляет собой твердое подмножество [5]
- если затем [1]
- сохраняет порядок. [1]
Предупорядоченный гомоморфизм векторной решетки, который является биективным, представляет собой предупорядоченный изоморфизм векторной решетки .
Предварительно упорядоченный гомоморфизм векторной решетки между двумя пространствами Рисса называется гомоморфизмом векторной решетки ; если он также биективен, то он называется изоморфизмом векторной решетки .
Если — ненулевой линейный функционал на векторной решетке с положительным конусом то следующие условия эквивалентны:
- является сюръективным гомоморфизмом векторной решетки.
- для всех
- и представляет собой твердую гиперплоскость в
- генерирует крайний луч конуса в
Крайний луч конуса это набор где не равно нулю, и если таков, что затем для некоторых такой, что [9]
Гомоморфизм векторной решетки из в является топологическим гомоморфизмом , когда и даны соответствующие топологии порядка . [5]
Свойства проекции [ править ]
Пространства Рисса могут обладать множеством проекционных свойств. Говорят, что пространство Рисса обладает (главным) свойством проекции, если каждая (главная) полоса является проекционной.
Так называемая основная теорема включения связывает следующие дополнительные свойства с (главным) свойством проекции: [10] Пространство Рисса - это...
- Дедекиндово полное (DC), если каждое непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань ;
- Супердедекиндово полное (SDC), если каждое непустое множество, ограниченное сверху, имеет счетное подмножество с одинаковой верхней границей;
- Дедекинд -полным, если всякое счетное непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань; и
- Архимедово свойство , если для каждой пары положительных элементов и , всякий раз, когда неравенство справедливо для всех целых чисел , .
Тогда эти свойства связаны следующим образом. SDC подразумевает DC; DC подразумевает как Дедекинда - полнота и свойство проекции; Оба Дедекинда - полнота и свойство проекции по отдельности подразумевают главное свойство проекции; а из главного свойства проекции следует архимедово свойство .
Ни один из обратных выводов не имеет места, но Дедекинд -полнота и свойство проецирования вместе подразумевают DC.
Примеры [ править ]
- Пространство непрерывных вещественных функций с компактным носителем на топологическом пространстве с поточечным частичным порядком , определяемым формулой когда для всех является пространством Рисса. Оно является архимедовым, но обычно не обладает свойством главной проекции, если только удовлетворяет дополнительным условиям (например, является экстремально несвязным ).
- Любой Пространство с ( почти всюду ) поточечным частичным порядком является дедекиндовым полным пространством Рисса.
- Космос с лексикографическим порядком является неархимедовым пространством Рисса.
Свойства [ править ]
- Пространства Рисса представляют собой решеточно упорядоченные группы.
- Каждое пространство Рисса является дистрибутивной решеткой.
См. также [ править ]
- Выпуклый конус - математическое множество, замкнутое относительно положительных линейных комбинаций.
- Нижняя и верхняя границы - наибольшая нижняя граница и наименьшая верхняя граница.
- Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
- Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
Примечания [ править ]
- ^ Условия эквивалентны только тогда, когда они применяются ко всем тройкам в решетке. В (например) N 5 есть элементы , которые удовлетворяют первому уравнению, но не удовлетворяют второму.
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 139–153.
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час я Шефер и Вольф 1999 , стр. 74–78.
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час я дж к л м н О Шефер и Вольф 1999 , стр. 205–209.
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час Шефер и Вольф 1999 , стр. 204–214.
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час я дж к Шефер и Вольф 1999 , стр. 250–257.
- ^ Биркгоф 1967 , с. 240.
- ^ Фремлин, Теория меры , утверждение 352L.
- ^ Биркгоф, Гаррет (1967). Теория решетки . Публикации коллоквиума (3-е изд.). Американское математическое общество. п. 11. ISBN 0-8218-1025-1 . §6, Теорема 9
- ^ Перейти обратно: а б Шефер и Вольф 1999 , стр. 205–214.
- ^ Люксембург, WAJ; Заанен, AC (1971). Пространства Рисса: Том. 1 . Лондон: Северная Голландия. стр. 122–138. ISBN 0720424518 . Проверено 8 января 2018 г.
Библиография [ править ]
- Бурбаки, Николя ; Элементы математики: Интеграция. Главы 1–6 ; ISBN 3-540-41129-1
- Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
- Рисс, Фридьес; О декомпозиции линейных функциональных операций , Конгресс Атти. интерназ. mathematici (Болонья, 1928), 3, Заничелли (1930), стр. 143–148
- Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
- Соболев, В.И. (2001) [1994], «Пространство Рисса» , Энциклопедия математики , EMS Press , ISBN 978-1-4020-0609-8
- Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса , Springer , ISBN 3-540-61989-5