Пространство Рисса

«Векторная решетка» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Решетка (значения) .

В математике , пространство Рисса решетчато -упорядоченное векторное пространство или векторная решетка — это частично упорядоченное векторное пространство , в котором структура порядка представляет собой решетку .

Пространства Рисса названы в честь Фригеса Рисса, который впервые определил их в своей статье 1928 года « О разложении линейных функциональных операций» .

Пространства Рисса имеют широкое применение. Они важны в теории меры , поскольку важные результаты являются частными случаями результатов для пространств Рисса. Например, теорема Радона-Никодима является частным случаем спектральной теоремы Фрейденталя . Пространства Рисса также нашли применение в математической экономике благодаря работам греко-американского экономиста и математика Хараламбоса Д. Алипрантиса .

Определение

Предварительные сведения

Если $X$ является упорядоченным векторным пространством (которое по определению является векторным пространством над действительными числами ), и если $S$ является подмножеством $X$ тогда элемент $b\in X$ является верхней границей (соответственно нижней границей ) $S$ если $s\leq b$ (соответственно $s\geq b$) для всех $s\in S.$Элемент $a$ в $X$ является наименьшей верхней границей или верхней границей (соответственно большей нижней границей или нижней границей ) $S$ если это верхняя граница (соответственно нижняя граница) $S$ и если для любой верхней границы (соответственно любой нижней границы) $b$ из $S,$ $a\leq b$ (соответственно $a\geq b$).

Предзаказная векторная решетка

Предупорядоченная векторная решетка — это предварительно упорядоченное векторное пространство. $E$ в котором каждая пара элементов имеет верхнюю границу .

Более явно, предупорядоченная векторная решетка — это векторное пространство, наделенное предварительным порядком , $\,\leq ,\,$ такой, что для любого $x,y,z\in E$:

1. Инвариантность перевода : $x\leq y$ подразумевает $x+z\leq y+z.$
2. Положительная однородность : для любого скаляра $0\leq a,$ $x\leq y$ подразумевает $ax\leq ay.$
3. Для любой пары векторов $x,y\in E,$ существует верхняя грань (обозначается $x\vee y$) в $E$ относительно заказа $\,(\leq ).\,$

Предварительный заказ вместе с пунктами 1 и 2, которые делают его «совместимым со структурой векторного пространства», делают $E$ предупорядоченное векторное пространство. В пункте 3 сказано, что предзаказ представляет собой полурешетку соединения . Поскольку предварительный порядок совместим со структурой векторного пространства, можно показать, что любая пара также имеет нижнюю границу , что делает $E$ также встречающаяся полурешетка , следовательно, решетка.

Предварительно упорядоченное векторное пространство $E$ является предупорядоченной векторной решеткой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных свойств:

1. Для любого $x,y\in E,$ их верхняя грань существует в $E.$
2. Для любого $x,y\in E,$ их нижняя грань существует в $E.$
3. Для любого $x,y\in E,$ их низшее и наивысшее существуют в $E.$
4. Для любого $x\in E,$ $\sup\{x,0\}$ существует в $E.$

Рисса и

или Пространство Рисса векторная решетка — это предупорядоченная векторная решетка, предварительный порядок которой является частичным порядком . Эквивалентно, это упорядоченное векторное пространство. для которого упорядочение является решеткой .

Обратите внимание, что многие авторы требовали, чтобы векторная решетка была частично упорядоченным векторным пространством (а не просто предварительно упорядоченным векторным пространством), в то время как другие требовали, чтобы она была только предварительно упорядоченным векторным пространством. В дальнейшем мы будем предполагать, что каждое пространство Рисса и каждая векторная решетка являются упорядоченным векторным пространством , но предупорядоченная векторная решетка не обязательно является частично упорядоченной.

Если $E$ является упорядоченным векторным пространством над $\mathbb {R}$ чей положительный конус $C$ (элементы $\,\geq 0$) является порождающим (т.е. таким, что $E=C-C$), и если для каждого $x,y\in C$ или $\sup\{x,y\}$ или $\inf\{x,y\}$ существует, то $E$ представляет собой векторную решетку.

Интервалы

Порядковый интервал в частично упорядоченном векторном пространстве представляет собой выпуклое множество вида $[a,b]=\{x:a\leq x\leq b\}.$ В упорядоченном вещественном векторном пространстве каждый интервал вида $[-x,x]$ является сбалансированным . Из аксиом 1 и 2 выше следует, что $x,y\in [a,b]$ и $t\in (0,1)$ подразумевает $tx(1-t)y\in [a,b].$ Подмножество называется порядково ограниченным , если оно содержится в некотором порядковом интервале. Единицей порядка предупорядоченного векторного пространства является любой элемент. $x$ такой, что набор $[-x,x]$ поглощает ​ .

Набор всех линейных функционалов в предупорядоченном векторном пространстве $V$ который отображает каждый порядковый интервал в ограниченное множество, называется порядковой границей, двойственной к $V$ и обозначается $V^{b}.$ Если пространство упорядочено, то его двойственное порядковое пространство является векторным подпространством своего двойственного алгебраического пространства .

Подмножество $A$ векторной решетки $E$ называется упорядоченным, если для любого непустого подмножества $B\subseteq A$ такой, что $B$ ограничен ли порядок $A,$ оба $\sup B$ и $\inf B$ существуют и являются элементами $A.$ Мы говорим, что векторная решетка $E$ , заказ завершен если $E$ является подмножеством полного порядка $E.$

Классификация

Конечномерные пространства Рисса полностью классифицируются по архимедовому свойству :

Теорема : Предположим, что $X$ представляет собой векторную решетку конечномерных $n.$ Если $X$ упорядочена по Архимеду , то она (векторная решетка) изоморфна $\mathbb {R} ^{n}$ по своему каноническому порядку. В противном случае существует целое число $k$ удовлетворяющий $2\leq k\leq n$ такой, что $X$ изоморфен $\mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}$ где $\mathbb {R} ^{n-k}$ имеет свой канонический порядок, $\mathbb {R} _{L}^{k}$ является $\mathbb {R} ^{k}$ с лексикографическим порядком , а произведение этих двух пространств имеет канонический порядок произведения.

Тот же результат не справедлив в бесконечных измерениях. В качестве примера Капланского рассмотрим векторное пространство V функций на [0,1] , которые непрерывны, за исключением конечного числа точек, где они имеют полюс второго порядка. Это пространство упорядочено по решетке обычным поточечным сравнением, но его нельзя записать как ℝ ^Мистер для любого кардинала κ . С другой стороны, эпи-моно факторизация в категории ℝ -векторных пространств также применима к пространствам Рисса: каждое решеточно-упорядоченное векторное пространство вкладывает в фактор ℝ ^Мистер сплошным . подпространством

Основные свойства

Каждое пространство Рисса является частично упорядоченным векторным пространством , но не каждое частично упорядоченное векторное пространство является пространством Рисса.

Обратите внимание, что для любого подмножества $A$ из $X,$ $\sup A=-\inf(-A)$ всякий раз, когда существует верхняя или нижняя грань (в этом случае они оба существуют). Если $x\geq 0$ и $y\geq 0$ затем $[0,x]+[0,y]=[0,x+y].$ Для всех $a,b,x,{\text{ and }}y$ в пространстве Рисса $X,$ $a-\inf(x,y)+b=\sup(a-x+b,a-y+b).$

Абсолютное значение

Для каждого элемента $x$ в пространстве Рисса $X,$ абсолютное значение ​ $x,$ обозначается $|x|,$ определяется как $|x|:=\sup\{x,-x\},$ где это удовлетворяет $-|x|\leq x\leq |x|$ и $|x|\geq 0.$ Для любого $x,y\in X$ и любое действительное число $r,$ у нас есть $|rx|=|r||x|$ и $|x+y|\leq |x|+|y|.$

Непересекаемость

Основная статья: Решетка непересекающаяся

Два элемента $x{\text{ and }}y$ в векторной решетке $X$ называются решеточно непересекающимися или непересекающимися, если $\inf\{|x|,|y|\}=0,$ в этом случае мы пишем $x\perp y.$ Два элемента $x{\text{ and }}y$ не пересекаются тогда и только тогда, когда $\sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|.$ Если $x{\text{ and }}y$ тогда они не пересекаются $|x+y|=|x|+|y|$ и $(x+y)^{+}=x^{+}+y^{+},$ где для любого элемента $z,$ $z^{+}:=\sup\{z,0\}$ и $z^{-}:=\sup\{-z,0\}.$ Мы говорим, что два множества $A$ и $B$ , не пересекаются если $a$ и $b$ непересекающиеся для всех $a\in A$ и все $b\in B,$ в этом случае мы пишем $A\perp B.$ Если $A$ это одноэлементный набор $\{a\}$ тогда мы напишем $a\perp B$ вместо $\{a\}\perp B.$ Для любого набора $A,$ мы определяем непересекающееся дополнение как множество $A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}.$ Непересекающиеся дополнения всегда представляют собой полосы , но обратное, как правило, неверно. Если $A$ является подмножеством $X$ такой, что $x=\sup A$ существует, и если $B$ является решеткой подмножеств в $X$ это не пересекается с $A,$ затем $B$ представляет собой решетку, не пересекающуюся с $\{x\}.$

Представление в виде непересекающейся суммы положительных элементов

Для любого $x\in X,$ позволять $x^{+}:=\sup\{x,0\}$ и $x^{-}:=\sup\{-x,0\},$ где обратите внимание, что оба эти элемента $\geq 0$ и $x=x^{+}-x^{-}$ с $|x|=x^{+}+x^{-}.$ Затем $x^{+}$ и $x^{-}$ непересекающиеся, и $x=x^{+}-x^{-}$ является уникальным представлением $x$ как разность непересекающихся элементов, $\geq 0.$ Для всех $x,y\in X,$ $\left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|$ и $x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}.$ Если $y\geq 0$ и $x\leq y$ затем $x^{+}\leq y.$ Более того, $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $x^{+}\leq y^{+}$ и $x^{-}\leq y^{-}.$

Каждое пространство Рисса является дистрибутивной решеткой ; то есть он имеет следующий эквивалент характеристики: для всех $x,y,z\in X$

1. $x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)$
2. $x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$
3. $(x\wedge y)\vee (y\wedge z)\vee (z\wedge x)=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).$
4. $x\wedge z=y\wedge z$и $x\vee z=y\vee z$ всегда подразумевать $x=y.$

Каждое пространство Рисса обладает свойством разложения Рисса .

Схождение порядка

Существует ряд осмысленных неэквивалентных способов определения сходимости последовательностей или сетей относительно порядковой структуры пространства Рисса. Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ в пространстве Рисса $E$ Говорят, что она сходится монотонно, если это монотонно убывающая (соответственно возрастающая) последовательность и ее нижняя (верхняя) грань. $x$ существует в $E$ и обозначили $x_{n}\downarrow x$ (соответственно $x_{n}\uparrow x$).

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ в пространстве Рисса $E$ говорят, что чтобы они сходятся , $x$ если существует монотонная сходящаяся последовательность $\left\{p_{n}\right\}$ в $E$ такой, что $\left|x_{n}-x\right|<p_{n}\downarrow 0.$

Если $u$ является положительным элементом пространства Рисса $E$ затем последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ в $E$ говорят, что он сходится u-равномерно к $x$ если для любого $r>0$ существует $N$ такой, что $\left|x_{n}-x\right|<ru$ для всех $n>N.$

Подпространства

Дополнительная структура, обеспечиваемая этими пространствами, обеспечивает различные виды подпространств Рисса. Совокупность структур каждого вида в пространстве Рисса (например, совокупность всех идеалов) образует дистрибутивную решетку .

Подрешетки

Если $X$ является векторной решеткой, то векторная подрешетка является векторным подпространством $F$ из $X$ такой, что для всех $x,y\in F,$ $\sup\{x,y\}$ принадлежит $F$ (где эта верхняя грань взята в $X$). Может случиться так, что подпространство $F$ из $X$ является векторной решеткой в ​​своем каноническом порядке, но не является векторной подрешеткой $X.$

Идеалы

Основная статья: Твердый набор

Векторное подпространство $I$ пространства Рисса $E$ называется идеалом , если он твердый , то есть если для $f\in I$ и $g\in E,$ $|g|\leq |f|$ подразумевает, что $g\in I.$ Пересечение произвольного набора идеалов снова является идеалом, что позволяет определить наименьший идеал, содержащий некоторое непустое подмножество. $A$ из $E,$ и называется идеалом порожденным , $A.$ Идеал, порожденный одиночным элементом, называется главным идеалом .

Полосы и

Основная статья: Группа (теория порядка)

Группа ​ $B$ в пространстве Рисса $E$ определяется как идеал с дополнительным свойством, что для любого элемента $f\in E$ для которого его абсолютное значение $|f|$ является верхней границей произвольного подмножества положительных элементов в $B,$ что $f$ на самом деле находится в $B.$ $\sigma$- Идеалы определяются аналогично, с заменой слов «произвольное подмножество» на «счетное подмножество». Очевидно, что каждая группа – это $\sigma$-идеально, но обратное, вообще говоря, неверно.

Пересечение произвольного семейства полос снова является полосой. Как и в случае с идеалами, для любого непустого подмножества $A$ из $E,$ существует наименьшая полоса, содержащая это подмножество, называемая полосой, созданной $A.$ Полоса, порожденная синглтоном, называется основной полосой .

Проекционные полосы

Группа $B$ в пространстве Рисса называется проекционной полосой , если $E=B\oplus B^{\bot },$ имеется в виду каждый элемент $f\in E$ можно однозначно записать в виде суммы двух элементов: $f=u+v$ с $u\in B$ и $v\in B^{\bot }.$ Тогда существует также положительный линейный идемпотент проекция или $P_{B}:E\to E,$ такой, что $P_{B}(f)=u.$

Совокупность всех проекционных полос в пространстве Рисса образует булеву алгебру . Некоторые пространства не имеют нетривиальных проекционных зон (например, $C([0,1])$), поэтому эта булева алгебра может быть тривиальной.

Полнота

Векторная решетка является полной , если каждое подмножество имеет как верхнюю, так и нижнюю грань.

Векторная решетка является дедекиндовой полной , если каждое множество с верхней границей имеет верхнюю границу, а каждое множество с нижней границей имеет нижнюю границу.

Порядково полная, правильно упорядоченная векторная решетка, канонический образ которой в ее бидуальном порядке является порядково полной, называется минимальной и называется минимальной .

Подпространства, факторы и произведения

Подрешетки

Если $M$ является векторным подпространством предупорядоченного векторного пространства $X$ тогда канонический порядок на $M$ вызванный $X$положительный конус $C$ — предпорядок, индуцированный заостренным выпуклым конусом $C\cap M,$ где этот конус является собственным, если $C$ является правильным (то есть, если $C\cap (-C)=\varnothing$).

Подрешетка решетки векторной $X$ является векторным подпространством $M$ из $X$ такой, что для всех $x,y\in M,$ $\sup _{}{}_{X}(x,y)$ принадлежит $X$ (важно, обратите внимание, что эта супремум взята в $X$ и не в $M$). Если $X=L^{p}([0,1],\mu )$ с $0<p<1,$ тогда двумерное векторное подпространство $M$ из $X$ определяется всеми отображениями вида $t\mapsto at+b$ (где $a,b\in \mathbb {R}$) является векторной решеткой индуцированного порядка, но не является подрешеткой $X.$ И это несмотря на $X$ являясь порядково полной архимедовой упорядоченной топологической векторной решеткой . Кроме того, существует векторная векторная подрешетка $N$ этого пространства $X$ такой, что $N\cap C$ имеет пустой салон внутри $X$ но нет положительного линейного функционала на $N$ можно продолжить до положительного линейного функционала на $X.$

Факторные решетки

Позволять $M$ быть векторным подпространством упорядоченного векторного пространства $X$ имеющий положительный конус $C,$ позволять $\pi :X\to X/M$ — каноническая проекция, и пусть ${\hat {C}}:=\pi (C).$ Затем ${\hat {C}}$ представляет собой конус в $X/M$ что индуцирует канонический предварительный порядок в факторпространстве $X/M.$ Если ${\hat {C}}$ является правильным конусом в $X/M$ затем ${\hat {C}}$ делает $X/M$ в упорядоченное векторное пространство. Если $M$ является $C$-насыщенный тогда ${\hat {C}}$ определяет канонический порядок $X/M.$ Обратите внимание, что $X=\mathbb {R} _{0}^{2}$ представляет собой пример упорядоченного векторного пространства, где $\pi (C)$ не является правильным конусом.

Если $X$ представляет собой векторную решетку и $N$ является сплошным векторным подпространством $X$ затем ${\hat {C}}$ определяет канонический порядок $X/M$ согласно которому $L/M$ представляет собой векторную решетку и каноническое отображение $\pi :X\to X/M$ является гомоморфизмом векторной решетки. Кроме того, если $X$ заказ завершен и $M$ это группа в $X$ затем $X/M$ изоморфен $M^{\bot }.$ Кроме того, если $M$ является сплошным, то топология порядка $X/M$ является фактором топологии порядка на $X.$

Если $X$ представляет собой топологическую векторную решетку и $M$ представляет собой замкнутую сплошную подрешетку $X$ затем $X/L$ также является топологической векторной решеткой.

Продукт

Если $S$ любое множество, то пространство $X^{S}$ всех функций из $S$ в $X$ канонически упорядочен по собственному конусу $\left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.$

Предположим, что $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ является семейством предупорядоченных векторных пространств и что положительный конус $X_{\alpha }$ является $C_{\alpha }.$ Затем $C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }$ представляет собой заостренный выпуклый конус $\prod _{\alpha }X_{\alpha },$ что определяет канонический порядок на $\prod _{\alpha }X_{\alpha }$; $C$ является правильным конусом, если все $C_{\alpha }$ являются собственными конусами.

Алгебраическая прямая сумма

Алгебраическая прямая сумма $\bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }$ из $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ является векторным подпространством $\prod _{\alpha }X_{\alpha }$ которому задан канонический порядок подпространства, унаследованный от $\prod _{\alpha }X_{\alpha }.$Если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ являются упорядоченными векторными подпространствами упорядоченного векторного пространства. $X$ затем $X$ является упорядоченной прямой суммой этих подпространств, если канонический алгебраический изоморфизм $X$ на $\prod _{\alpha }X_{\alpha }$ (с каноническим порядком произведения) является изоморфизмом порядка .

Пространства линейных карт

Конус $C$ в векторном пространстве $X$ называется порождающим, если $C-C$ равно всему векторному пространству. Если $X$ и $W$ представляют собой два нетривиальных упорядоченных векторных пространства с соответствующими положительными конусами $P$ и $Q,$ затем $P$ генерируется в $X$ тогда и только тогда, когда множество $C=\{u\in \operatorname {L} (X;W):u(P)\subseteq Q\}$ является правильным конусом в $\operatorname {L} (X;W),$ которое является пространством всех линейных отображений из $X$ в $W.$ В этом случае порядок, определяемый $C$ называется каноническим упорядочением $\operatorname {L} (X;W).$ В более общем смысле, если $M$ — любое векторное подпространство $\operatorname {L} (X;W)$ такой, что $C\cap M$ является собственным конусом, порядок которого определяется формулой $C\cap M$ называется каноническим упорядочением $M.$

Линейная карта $u:X\to Y$ между двумя предупорядоченными векторными пространствами $X$ и $Y$ с соответствующими положительными конусами $C$ и $D$ называется положительным, если $u(X)\subseteq D.$ Если $X$ и $Y$ представляют собой векторные решетки с $Y$ заказ завершен , и если $H$ — множество всех положительных линейных отображений из $X$ в $Y$ тогда подпространство $M:=H-H$ из $\operatorname {L} (X;Y)$ является порядково полной векторной решеткой относительно своего канонического порядка; более того, $M$ содержит именно те линейные отображения, которые отображают порядковые интервалы $X$ на интервалы порядка $Y.$

Положительные функционалы и двойственный порядок

Линейная функция $f$ в предупорядоченном векторном пространстве называется положительным, если $x\geq 0$ подразумевает $f(x)\geq 0.$ Множество всех положительных линейных форм в векторном пространстве, обозначаемое $C^{*},$ представляет собой конус, поляру равный $-C.$ упорядоченного Двойственный порядок векторного пространства $X$ множество, обозначаемое $X^{+},$ определяется $X^{+}:=C^{*}-C^{*}.$ Хотя $X^{+}\subseteq X^{b},$ существуют упорядоченные векторные пространства, для которых равенство множеств не выполняется.

решетки

Предположим, что $X$ и $Y$ представляют собой предупорядоченные векторные решетки с положительными конусами $C$ и $D$ и пусть $u:X\to Y$ быть картой. Затем $u$ является предупорядоченным гомоморфизмом векторной решетки, если $u$ является линейным и выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. $u$ сохраняет операции решетки
2. $u(\sup\{x,y\})=\sup\{u(x),u(y)\}$ для всех $x,y\in X.$
3. $u(\inf\{x,y\})=\inf\{u(x),u(y)\}$ для всех $x,y\in X.$
4. $u(|x|)=\sup \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}$ для всех $x\in X.$
5. $0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}$ для всех $x\in X.$
6. $u(C)=D$ и $u^{-1}(0)$ представляет собой твердое подмножество $X.$
7. если $x\geq 0$ затем $u(x)\geq 0.$
8. $u$ сохраняет порядок.

Предупорядоченный гомоморфизм векторной решетки, который является биективным, представляет собой предупорядоченный изоморфизм векторной решетки .

Предварительно упорядоченный гомоморфизм векторной решетки между двумя пространствами Рисса называется гомоморфизмом векторной решетки ; если он также биективен, то он называется изоморфизмом векторной решетки .

Если $u$ — ненулевой линейный функционал на векторной решетке $X$ с положительным конусом $C$ то следующие условия эквивалентны:

1. $u:X\to \mathbb {R}$ является сюръективным гомоморфизмом векторной решетки.
2. $0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}$ для всех $x\in X.$
3. $u\geq 0$ и $u^{-1}(0)$ представляет собой твердую гиперплоскость в $X.$
4. $u'$ генерирует крайний луч конуса $X^{*}$ в $X^{*}.$

Крайний луч конуса $C$ это набор $\{rx:r\geq 0\}$ где $x\in C,$ $x$ не равно нулю, и если $y\in C$ таков, что $x-y\in C$ затем $y=sx$ для некоторых $s$ такой, что $0\leq s\leq 1.$

Гомоморфизм векторной решетки из $X$ в $Y$ является топологическим гомоморфизмом, когда $X$ и $Y$ даны соответствующие топологии порядка .

Свойства проекции

Пространства Рисса могут обладать множеством проекционных свойств. Говорят, что пространство Рисса обладает (главным) свойством проекции, если каждая (главная) полоса является проекционной.

Так называемая основная теорема включения связывает следующие дополнительные свойства с (главным) свойством проекции: Пространство Рисса - это...

• Дедекиндово полное (DC), если каждое непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань ;
• Супердедекиндово полное (SDC), если каждое непустое множество, ограниченное сверху, имеет счетное подмножество с одинаковой верхней границей;
• Дедекинд $\sigma$-полным, если всякое счетное непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань; и
• Архимедово свойство , если для каждой пары положительных элементов $x$ и $y$, всякий раз, когда неравенство $nx\leq y$ справедливо для всех целых чисел $n$, $x=0$.

Тогда эти свойства связаны следующим образом. SDC подразумевает DC; DC подразумевает как Дедекинда $\sigma$- полнота и свойство проецирования; Оба Дедекинда $\sigma$- полнота и свойство проекции по отдельности подразумевают главное свойство проекции; а из главного свойства проекции следует архимедово свойство .

Ни один из обратных выводов не имеет места, но Дедекинд $\sigma$-полнота и свойство проецирования вместе подразумевают DC.

Примеры

• Пространство непрерывных вещественных функций с компактным носителем на топологическом пространстве $X$ с поточечным частичным порядком, определяемым формулой $f\leq g$ когда $f(x)\leq g(x)$ для всех $x\in X,$ является пространством Рисса. Оно является архимедовым, но обычно не обладает свойством главной проекции, если только $X$ удовлетворяет дополнительным условиям (например, является экстремально несвязным ).
• Любой $L^{p}$ Пространство с ( почти всюду ) поточечным частичным порядком является дедекиндовым полным пространством Рисса.
• Пространство $\mathbb {R} ^{2}$ с лексикографическим порядком является неархимедовым пространством Рисса.

Свойства

• Пространства Рисса представляют собой решеточно упорядоченные группы.
• Каждое пространство Рисса является дистрибутивной решеткой.

См. также

• Выпуклый конус - математическое множество, замкнутое относительно положительных линейных комбинаций.
• Нижняя и верхняя границы – наибольшая нижняя граница и наименьшая верхняя граница.
• Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
• Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.

Библиография

• Бурбаки, Николя ; Элементы математики: Интеграция. Главы 1–6 ; ISBN   3-540-41129-1
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рисс, Фридьес; О декомпозиции линейных функциональных операций , Конгресс Атти. интерназ. mathematici (Болонья, 1928), 3, Заничелли (1930), стр. 143–148
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Пространство Рисса» , Энциклопедия математики , EMS Press , ISBN  978-1-4020-0609-8
• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса , Springer , ISBN  3-540-61989-5

Внешние ссылки

• Пространство Рисса в Математической энциклопедии