Заказать единицу

Единица порядка — это элемент упорядоченного векторного пространства , который можно использовать для ограничения всех элементов сверху. Таким образом (как видно из первого примера ниже) единица порядка обобщает элемент единицы в реалах.

По словам Х.Х. Шефера , «большинство упорядоченных векторных пространств, встречающихся в анализе, не имеют единиц порядка».

Определение

Для заказного конуса $K\subseteq X$ в векторном пространстве $X$, элемент $e\in K$ — это единица заказа (точнее, $K$-единица заказа), если для каждого $x\in X$ существует $\lambda _{x}>0$ такой, что $\lambda _{x}e-x\in K$ (то есть, $x\leq _{K}\lambda _{x}e$).

Эквивалентное определение

Единицы заказа конуса заказа $K\subseteq X$ — это элементы внутри алгебраической внутренности $K;$ то есть, заданный $\operatorname {core} (K).$

Примеры

Позволять $X=\mathbb {R}$ быть действительными числами и $K=\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\},$ тогда единичный элемент $1$ это единица заказа .

Позволять $X=\mathbb {R} ^{n}$ и $K=\mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x_{i}\in \mathbb {R} :{\text{ for all }}i=1,\ldots ,n:x_{i}\geq 0\right\},$ тогда единичный элемент ${\vec {1}}=(1,\ldots ,1)$ это единица заказа .

Каждая внутренняя точка положительного конуса упорядоченного топологического векторного пространства является единицей порядка.

Характеристики

Каждая единица порядка упорядоченного TVS находится внутри положительного конуса порядковой топологии.

Если $(X,\leq )$ представляет собой предварительно упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с единицей порядка $u,$ тогда карта $p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}$ является сублинейным функционалом .

Единица заказа норма

Предполагать $(X,\leq )$ представляет собой упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с единицей порядка $u$ порядок которого является архимедовым , и пусть $U=[-u,u].$ Тогда функционал Минковского $p_{U}$ из $U,$ определяется $p_{U}(x):=\inf\{r>0:x\in r[-u,u]\},$ это норма, называемая заказ единица норма . Это удовлетворяет $p_{U}(u)=1$ и замкнутый единичный шар, определяемый формулой $p_{U}$ равно $[-u,u];$ то есть, $[-u,u]=\left\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\right\}.$

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .