Транспонирование линейной карты

См. также: Транспонирование , Двойная система § Транспонирование и Транспонирование § Транспонирование линейных отображений и билинейных форм.

В линейной алгебре транспонирование линейного отображения между двумя векторными пространствами, определенными над одним и тем же полем , является индуцированным отображением между двойственными пространствами двух векторных пространств. Транспонирование . или алгебраическое сопряжение линейной карты часто используется для изучения исходной линейной карты Это понятие обобщается сопряженными функторами .

Определение

См. Также: Дуальная система § Транспонирование и Транспонирование § Транспонирование линейных отображений и билинейных форм.

Позволять $X^{\#}$ обозначают алгебраическое дуальное пространство векторного пространства $X.$ Позволять $X$ и $Y$ быть векторными пространствами над одним и тем же полем ${\mathcal {K}}.$ Если $u:X\to Y$ является линейным отображением , то его алгебраически сопряженное или двойственное отображение , это карта ${}^{\#}u:Y^{\#}\to X^{\#}$ определяется $f\mapsto f\circ u.$ Полученный функционал ${}^{\#}u(f):=f\circ u$ называется откатом ​ $f$ к $u.$

Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства (ТВП) $X$ обозначается $X^{\prime }.$ Если $X$ и $Y$ являются TVS, то линейное отображение $u:X\to Y$ является слабо непрерывным тогда и только тогда, когда ${}^{\#}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime },$ в этом случае мы позволяем ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ обозначают ограничение ${}^{\#}u$ к $Y^{\prime }.$ Карта ${}^{t}u$ называется транспонированием или алгебраический сопряженный к $u.$ Следующее тождество характеризует транспонирование $u$:

$$\left\langle {}^{t}u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ for all }}f\in Y^{\prime }{\text{ and }}x\in X,$$

где $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ является естественным спариванием, определяемым $\left\langle z,h\right\rangle :=z(h).$

Свойства

Задание $u\mapsto {}^{t}u$ производит инъективное линейное отображение пространства линейных операторов из $X$ к $Y$ и пространство линейных операторов из $Y^{\#}$ к $X^{\#}.$ Если $X=Y$ тогда пространство линейных отображений является алгеброй относительно композиции отображений , и тогда присваивание является антигомоморфизмом алгебр, что означает, что ${}^{t}(uv)={}^{t}v{}^{t}u.$ Таким образом, на языке теории категорий взятие двойственного векторного пространства и транспонирования линейных отображений является контравариантным функтором из категории векторных пространств над ${\mathcal {K}}$ самому себе. Можно идентифицировать ${}^{t}\left({}^{t}u\right)$ с $u$ используя естественную инъекцию в двойной дуал.

• Если $u:X\to Y$ и $v:Y\to Z$ являются линейными отображениями, тогда ${}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v$
• Если $u:X\to Y$ является ( сюръективным ) изоморфизмом векторного пространства, то и транспонирование ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }.$
• Если $X$ и $Y$ являются нормированными пространствами, тогда

$$\|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ for each }}x\in X$$

и если линейный оператор $u:X\to Y$ ограничена, то операторная норма ${}^{t}u$ равен норме $u$; то есть

$$\|u\|=\left\|{}^{t}u\right\|,$$

и более того,

$$\|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.$$

Поляры

Предположим теперь, что $u:X\to Y$ — слабо непрерывный линейный оператор между топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ с непрерывными двойными пространствами $X^{\prime }$ и $Y^{\prime },$ соответственно. Позволять $\langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C}$ обозначим каноническую двойственную систему , определяемую формулой $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x$ где $x$ и $x^{\prime }$ называются ортогональными, если $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0.$ Для любых подмножеств $A\subseteq X$ и $S^{\prime }\subseteq X^{\prime },$ позволять

$$A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}$$

обозначают абсолютную ) поляру ( $A$ в $X^{\prime }$ соответственно ( $S^{\prime }$ в $X$).

• Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ являются выпуклыми слабо замкнутыми множествами, содержащими начало координат, тогда ${}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }$ подразумевает $u(A)\subseteq B.$
• Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ затем

$$[u(A)]^{\circ }=\left({}^{t}u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)$$

и

$$u(A)\subseteq B\quad {\text{ implies }}\quad {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.$$

• Если $X$ и $Y$ , локально выпуклы то

$$\operatorname {ker} {}^{t}u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.$$

Аннигиляторы

Предполагать $X$ и $Y$ являются топологическими векторными пространствами и $u:X\to Y$ является слабо непрерывным линейным оператором (поэтому $\left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }$). Данные подмножества $M\subseteq X$ и $N\subseteq X^{\prime },$ определим их аннуляторы (относительно канонической дуальной системы) по формуле

${\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}$

и

${\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}$

• Ядро ​ ​ ${}^{t}u$ является подпространством $Y^{\prime }$ ортогонально изображению $u$:

$$\ker {}^{t}u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }$$

• Линейная карта $u$ инъективен тогда и только тогда , когда его образ является слабо плотным подмножеством $Y$ (то есть образ $u$ плотный в $Y$ когда $Y$ задана слабая топология, индуцированная $\operatorname {ker} {}^{t}u$).
• Транспонирование ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ является непрерывным, когда оба $X^{\prime }$ и $Y^{\prime }$ наделены слабой топологией (соответственно оба наделены сильной двойственной топологией, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных выпуклых подмножествах, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах).
• ( Сюръекция пространств Фреше ): Если $X$ и $Y$ являются пространствами Фреше , то непрерывный линейный оператор $u:X\to Y$ сюръективно тогда и только тогда , когда (1) транспонирование ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ инъективен и (2 ) образ транспонирования $u$ является слабо замкнутым (т.е. слабозамкнутым ) подмножеством $X^{\prime }.$

Двойники факторпространств

Позволять $M$ — замкнутое векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого пространства. $X$ и обозначим каноническое факторотображение через

$$\pi :X\to X/M\quad {\text{ where }}\quad \pi (x):=x+M.$$

Предполагать $X/M$ наделен фактор-топологией, индуцированной фактор-отображением $\pi :X\to X/M.$ Тогда транспонирование фактор-карты оценивается в $M^{\bot }$ и

$${}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }$$

является TVS-изоморфизмом на $M^{\bot }.$ Если $X$ является банаховым пространством, тогда ${}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }$ это тоже изометрия . Используя это транспонирование, каждый непрерывный линейный функционал в факторпространстве $X/M$ канонически отождествляется с непрерывным линейным функционалом в аннуляторе $M^{\bot }$ из $M.$

Двойники векторных подпространств

Позволять $M$ — замкнутое векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого пространства. $X.$ Если $m^{\prime }\in M^{\prime }$ и если $x^{\prime }\in X^{\prime }$ является непрерывным линейным продолжением $m^{\prime }$ к $X$ тогда задание $m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }$ индуцирует изоморфизм векторного пространства

$$M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),$$

что является изометрией, если $X$ является банаховым пространством.

Обозначим карту включения через

$$\operatorname {In} :M\to X\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{ for all }}m\in M.$$

Транспонирование карты включения

$${}^{t}\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }$$

чье ядро ​​является аннигилятором $M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}$ и который является сюръективным по теореме Хана – Банаха . Это отображение индуцирует изоморфизм векторных пространств

$$X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.$$

Представление в виде матрицы

Если линейное отображение $u$ представлена ​​матрицей $A$ относительно двух оснований $X$ и $Y,$ затем ${}^{t}u$ представлена ​​транспонированной матрицей $A^{T}$ относительно двойственных оснований $Y^{\prime }$ и $X^{\prime },$ отсюда и название. Альтернативно, как $u$ представлен $A$ действуя вправо на векторы-столбцы, ${}^{t}u$ представлена ​​той же матрицей, действующей слева на вектор-строки. Эти точки зрения связаны каноническим внутренним произведением на $\mathbb {R} ^{n},$ который отождествляет пространство векторов-столбцов с двойственным пространством векторов-строок.

Связь с эрмитовым сопряженным

Основная статья: Эрмитовский сопряженный

Смотрите также: теорема о представлении Рисса

Тождество, характеризующее транспонирование, то есть $\left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],$ формально аналогично определению эрмитова сопряженного , однако транспонирование и эрмитово сопряженное не являются одним и тем же отображением. Транспонирование — это карта $Y^{\prime }\to X^{\prime }$ и определяется для линейных отображений между любыми векторными пространствами $X$ и $Y,$ без необходимости какой-либо дополнительной структуры. Эрмитовых сопряженных отображений $Y\to X$ и определяется только для линейных отображений между гильбертовыми пространствами, поскольку оно определяется в терминах скалярного произведения в гильбертовом пространстве. Поэтому эрмитово сопряженное требует больше математической структуры, чем транспонирование.

Однако транспонирование часто используется в контекстах, где оба векторных пространства снабжены невырожденной билинейной формой, такой как евклидово скалярное произведение или другое действительное скалярное произведение . В этом случае невырожденная билинейная форма часто используется неявно для отображения между векторными пространствами и их двойниками, чтобы выразить транспонированное отображение как отображение $Y\to X.$ Для комплексного гильбертова пространства внутренний продукт является полуторалинейным, а не билинейным, и эти преобразования изменяют транспонирование на присоединенное отображение.

Точнее: если $X$ и $Y$ являются гильбертовыми пространствами и $u:X\to Y$ является линейным отображением, то транспонирование $u$ и эрмитовский сопряженный $u,$ который мы будем обозначать соответственно через ${}^{t}u$ и $u^{*},$ связаны. Обозначим через $I:X\to X^{*}$ и $J:Y\to Y^{*}$ канонические антилинейные изометрии гильбертовых пространств $X$ и $Y$ на своих двойников. Затем $u^{*}$ представляет собой следующий состав карт:

$Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{\text{t}}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X$

Приложения к функциональному анализу

Предположим, что $X$ и $Y$ являются топологическими векторными пространствами и что $u:X\to Y$ является линейным отображением, то многие из $u$свойства отражены в ${}^{t}u.$

• Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ являются слабозамкнутыми выпуклыми множествами, содержащими начало координат, то ${}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }$ подразумевает $u(A)\subseteq B.$
• Нулевое пространство ${}^{t}u$ является подпространством $Y^{\prime }$ ортогонально диапазону $u(X)$ из $u.$
• ${}^{t}u$ инъективен тогда и только тогда, когда диапазон $u(X)$ из $u$ слабо закрыт.

См. также

• Сопряженные функторы - отношения между двумя функторами, абстрагирующие многие общие конструкции.
• Оператор композиции - Линейный оператор в математике
• Эрмитово сопряженное - сопряженное транспонирование оператора в бесконечных измерениях.
• Теорема о представлении Рисса - Теорема о двойственном гильбертовом пространстве.
• Двойное пространство § Транспонирование линейного отображения
• Транспонирование § Транспонирование линейной карты

Библиография

• Халмош, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN  0-387-90093-4
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .