Транспонирование линейной карты

В линейной алгебре транспонирование линейного отображения между двумя векторными пространствами, определенными над одним и тем же полем , является индуцированным отображением между двойственными пространствами двух векторных пространств. Транспонирование или алгебраическое сопряжение линейной карты часто используется для изучения исходной линейной карты. Это понятие обобщается сопряженными функторами .

Определение [ править ]

Позволять $X^{\#}$ обозначают алгебраическое дуальное пространство векторного пространства $X.$ Позволять $X$ и $Y$ быть векторными пространствами над одним и тем же полем ${\mathcal {K}}.$ Если $u:X\to Y$ является линейным отображением , то его алгебраически сопряженное или двойственное отображение , ^[1] это карта ${}^{\#}u:Y^{\#}\to X^{\#}$ определяется $f\mapsto f\circ u.$ Полученный функционал ${}^{\#}u(f):=f\circ u$ называется откатом $f$ к $u.$

Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства (ТВП) $X$ обозначается $X^{\prime }.$ Если $X$ и $Y$ являются TVS, то линейное отображение $u:X\to Y$ является слабо непрерывным тогда и только тогда, когда ${}^{\#}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime },$ в этом случае мы позволяем ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ обозначают ограничение ${}^{\#}u$ к $Y^{\prime }.$ Карта ${}^{t}u$ называется транспонированием ^[2] или алгебраический сопряженный к $u.$ Следующее тождество характеризует транспонирование $u$ : ^[3]

\left\langle {}^{t}u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ for all }}f\in Y^{\prime }{\text{ and }}x\in X,

где

\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle

является естественным спариванием, определяемым

\left\langle z,h\right\rangle :=z(h).

Свойства [ править ]

Назначение $u\mapsto {}^{t}u$ производит инъективное линейное отображение пространства линейных операторов из $X$ к $Y$ и пространство линейных операторов из $Y^{\#}$ к $X^{\#}.$ Если $X=Y$ тогда пространство линейных отображений является алгеброй относительно композиции отображений , и тогда присваивание является антигомоморфизмом алгебр, что означает, что ${}^{t}(uv)={}^{t}v{}^{t}u.$ Таким образом, на языке теории категорий взятие двойственного векторного пространства и транспонирования линейных отображений является контравариантным функтором из категории векторных пространств над ${\mathcal {K}}$ самому себе. Можно идентифицировать ${}^{t}\left({}^{t}u\right)$ с $u$ используя естественную инъекцию в двойной дуал.

Если $u:X\to Y$ и $v:Y\to Z$ являются линейными отображениями, тогда ${}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v$ ^[4]
Если $u:X\to Y$ является ( сюръективным ) изоморфизмом векторного пространства, то и транспонирование ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }.$
Если $X$ и $Y$ являются нормированными пространствами , тогда

\|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ for each }}x\in X

и если линейный оператор

u:X\to Y

ограничена, то операторная норма

{}^{t}u

равен норме

u

; то есть ^[5]^[6]

\|u\|=\left\|{}^{t}u\right\|,

и более того,

\|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.

Поляры [ править ]

Предположим теперь, что $u:X\to Y$ — слабо непрерывный линейный оператор между топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ с непрерывными двойными пространствами $X^{\prime }$ и $Y^{\prime },$ соответственно. Позволять $\langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C}$ обозначим каноническую двойственную систему , определяемую формулой $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x$ где $x$ и $x^{\prime }$ называются ортогональными , если $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0.$ Для любых подмножеств $A\subseteq X$ и $S^{\prime }\subseteq X^{\prime },$ позволять

A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}

( абсолютную ) поляру обозначают $A$ в $X^{\prime }$ соответственно ( $S^{\prime }$ в $X$ ).

Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ являются выпуклыми слабо замкнутыми множествами, содержащими начало координат, тогда ${}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }$ подразумевает $u(A)\subseteq B.$ ^[7]
Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ затем ^[4]

[u(A)]^{\circ }=\left({}^{t}u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)

и

u(A)\subseteq B\quad {\text{ implies }}\quad {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.

Если $X$ и $Y$ , локально выпуклы то ^[5]

\operatorname {ker} {}^{t}u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.

Аннигиляторы [ править ]

Предполагать $X$ и $Y$ являются топологическими векторными пространствами и $u:X\to Y$ является слабо непрерывным линейным оператором (поэтому $\left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }$ ). Данные подмножества $M\subseteq X$ и $N\subseteq X^{\prime },$ определим их аннуляторы (относительно канонической дуальной системы) по формуле ^[6]

{\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}

и

{\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}

Ядро ${}^{t}u$ является подпространством $Y^{\prime }$ ортогонально изображению $u$ : ^[7]

\ker {}^{t}u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }

Линейная карта $u$ инъективен тогда и только тогда , когда его образ является слабо плотным подмножеством $Y$ (то есть образ $u$ плотный в $Y$ когда $Y$ задана слабая топология, индуцированная $\operatorname {ker} {}^{t}u$ ). ^[7]
Транспонирование ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ является непрерывным, когда оба $X^{\prime }$ и $Y^{\prime }$ наделены слабой топологией (соответственно оба наделены сильной двойственной топологией, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных выпуклых подмножествах, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах). ^[8]
( Сюръекция пространств Фреше ): Если $X$ и $Y$ являются пространствами Фреше , то непрерывный линейный оператор $u:X\to Y$ сюръективно тогда и только тогда , когда (1) транспонирование ${}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ инъективен и (2) образ транспонирования $u$ является слабо замкнутым (т.е. слабозамкнутым ) подмножеством $X^{\prime }.$ ^[9]

Двойники факторпространств [ править ]

Позволять $M$ — замкнутое векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого пространства. $X$ и обозначим каноническое факторотображение через

\pi :X\to X/M\quad {\text{ where }}\quad \pi (x):=x+M.

Предполагать

X/M

наделен фактор-топологией , индуцированной фактор-отображением

\pi :X\to X/M.

Тогда транспонирование фактор-карты оценивается в

M^{\bot }

и

{}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }

является TVS-изоморфизмом на

M^{\bot }.

Если

X

является банаховым пространством, тогда

{}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }

это тоже изометрия . ^[6] Используя это транспонирование, каждый непрерывный линейный функционал в факторпространстве

X/M

канонически отождествляется с непрерывным линейным функционалом в аннуляторе

M^{\bot }

из

M.

Двойники векторных подпространств [ править ]

Позволять $M$ — замкнутое векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого пространства. $X.$ Если $m^{\prime }\in M^{\prime }$ и если $x^{\prime }\in X^{\prime }$ является непрерывным линейным продолжением $m^{\prime }$ к $X$ тогда задание $m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }$ индуцирует изоморфизм векторного пространства

M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),

что является изометрией, если

X

является банаховым пространством. ^[6]

Обозначим карту включения через

\operatorname {In} :M\to X\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{ for all }}m\in M.

Транспонирование карты включения

{}^{t}\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }

чье ядро является аннигилятором

M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}

и который является сюръективным по теореме Хана – Банаха . Это отображение индуцирует изоморфизм векторных пространств

X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.

Представление в виде матрицы [ править ]

Если линейное отображение $u$ представлена матрицей $A$ относительно двух оснований $X$ и $Y,$ затем ${}^{t}u$ представлена транспонированной матрицей $A^{T}$ относительно двойственных оснований $Y^{\prime }$ и $X^{\prime },$ отсюда и название. Альтернативно, как $u$ представлен $A$ действуя вправо на векторы-столбцы, ${}^{t}u$ представлена той же матрицей, действующей слева на вектор-строки. Эти точки зрения связаны каноническим внутренним произведением на $\mathbb {R} ^{n},$ который отождествляет пространство векторов-столбцов с двойственным пространством векторов-строок.

Связь с эрмитовым сопряженным [ править ]

Тождество, характеризующее транспонирование, то есть $\left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],$ формально аналогично определению эрмитова сопряженного , однако транспонирование и эрмитово сопряженное не являются одним и тем же отображением. Транспонирование — это карта $Y^{\prime }\to X^{\prime }$ и определяется для линейных отображений между любыми векторными пространствами $X$ и $Y,$ без необходимости какой-либо дополнительной структуры. Эрмитово сопряженное отображение. $Y\to X$ и определяется только для линейных отображений между гильбертовыми пространствами, поскольку оно определяется в терминах скалярного произведения в гильбертовом пространстве. Поэтому эрмитово сопряженное требует больше математической структуры, чем транспонирование.

Однако транспонирование часто используется в контекстах, где оба векторных пространства снабжены невырожденной билинейной формой , такой как евклидово скалярное произведение или другое действительное скалярное произведение . В этом случае невырожденная билинейная форма часто используется неявно для отображения между векторными пространствами и их двойниками, чтобы выразить транспонированное отображение как отображение $Y\to X.$ Для комплексного гильбертова пространства внутренний продукт является полуторалинейным, а не билинейным, и эти преобразования изменяют транспонирование на присоединенное отображение.

Точнее: если $X$ и $Y$ являются гильбертовыми пространствами и $u:X\to Y$ является линейным отображением, то транспонирование $u$ и эрмитовский сопряженный $u,$ который мы будем обозначать соответственно через ${}^{t}u$ и $u^{*},$ относятся к. Обозначим через $I:X\to X^{*}$ и $J:Y\to Y^{*}$ канонические антилинейные изометрии гильбертовых пространств $X$ и $Y$ на своих двойников. Затем $u^{*}$ представляет собой следующий состав карт: ^[10]

Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{\text{t}}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X

Приложения к функциональному анализу [ править ]

Предположим, что $X$ и $Y$ являются топологическими векторными пространствами и что $u:X\to Y$ является линейным отображением, то многие из $u$ свойства отражены в ${}^{t}u.$

Если $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ являются слабозамкнутыми выпуклыми множествами, содержащими начало координат, то ${}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }$ подразумевает $u(A)\subseteq B.$ ^[4]
Нулевое пространство ${}^{t}u$ является подпространством $Y^{\prime }$ ортогонально диапазону $u(X)$ из $u.$ ^[4]
${}^{t}u$ инъективен тогда и только тогда, когда диапазон $u(X)$ из $u$ слабо закрыт. ^[4]

См. также [ править ]

Сопряженные функторы - отношения между двумя функторами, абстрагирующие многие общие конструкции.
Оператор композиции - Линейный оператор в математике
Эрмитово сопряженное - сопряженное транспонирование оператора в бесконечных измерениях.
Теорема о представлении Рисса - Теорема о двойственном гильбертовом пространстве.
Двойное пространство § Транспонирование линейного отображения
Транспонирование § Транспонирование линейной карты

Ссылки [ править ]

^ Шефер и Вольф 1999 , с. 128.
^ Трир 2006 , с. 240.
^ Халмос (1974 , §44)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Шефер и Вольф 1999 , стр. 129–130.
^ Перейти обратно: ^а ^б Тревес 2006 , стр. 240–252.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рудин 1991 , с. 92–115.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Шефер и Вольф 1999 , стр. 128–130.
^ Тревес 2006 , стр. 199–200.
^ Тревес 2006 , стр. 382–383.
^ Трир 2006 , с. 488.

Библиография [ править ]

Халмош, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 0-387-90093-4
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

[FOOTNOTESchaeferWolff1999128-1] Шефер и Вольф 1999 , с. 128.

[FOOTNOTETrèves2006240-2] Трир 2006 , с. 240.

[3] Халмос (1974 , §44)

[Schaefer_(1999),_pp._129–130-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Шефер и Вольф 1999 , стр. 129–130.

[FOOTNOTETrèves2006240–252-5] Перейти обратно: ^а ^б Тревес 2006 , стр. 240–252.

[FOOTNOTERudin199192–115-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рудин 1991 , с. 92–115.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999128–130-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с Шефер и Вольф 1999 , стр. 128–130.

[FOOTNOTETrèves2006199–200-8] Тревес 2006 , стр. 199–200.

[FOOTNOTETrèves2006382–383-9] Тревес 2006 , стр. 382–383.

[FOOTNOTETrèves2006488-10] Трир 2006 , с. 488.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v т Это Линейная алгебра
Outline Glossary
Basic concepts	Scalar Vector Vector space Scalar multiplication Vector projection Linear span Linear map Linear projection Linear independence Linear combination Basis Change of basis Row and column vectors Row and column spaces Kernel Eigenvalues and eigenvectors Transpose Linear equations
Matrices	Block Decomposition Invertible Minor Multiplication Rank Transformation Cramer's rule Gaussian elimination
Bilinear	Orthogonality Dot product Hadamard product Inner product space Outer product Kronecker product Gram–Schmidt process
Multilinear algebra	Determinant Cross product Triple product Seven-dimensional cross product Geometric algebra Exterior algebra Bivector Multivector Tensor Outermorphism
Vector space constructions	Dual Direct sum Function space Quotient Subspace Tensor product
Numerical	Floating-point Numerical stability Basic Linear Algebra Subprograms Sparse matrix Comparison of linear algebra libraries
Category

v т Это Двойственность и пространства линейных отображений
Basic concepts	Dual space Dual system Dual topology Duality Operator topologies Polar set Polar topology Topologies on spaces of linear maps
Topologies	Norm topology Dual norm Ultraweak/Weak-* Weak polar operator in Hilbert spaces Mackey Strong dual polar topology operator Ultrastrong
Main results	Banach–Alaoglu Mackey–Arens
Maps	Transpose of a linear map
Subsets	Saturated family Total set
Other concepts	Biorthogonal system