Сильное двойное пространство

В функциональном анализе и смежных областях математики сильное двойственное пространство топологического векторного пространства (TVS) $X$ это непрерывное двойственное пространство $X^{\prime }$ из $X$ снабженный сильной ( двойственной ) топологией или топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах $X,$ где эта топология обозначается $b\left(X^{\prime },X\right)$ или $\beta \left(X^{\prime },X\right).$ Самая грубая полярная топология называется слабой топологией . Сильное дуальное пространство играет настолько важную роль в современном функциональном анализе, что обычно предполагается, что непрерывное дуальное пространство имеет сильную дуальную топологию, если не указано иное. Чтобы подчеркнуть, что непрерывное двойственное пространство, $X^{\prime },$ имеет сильную двойственную топологию, $X_{b}^{\prime }$ или $X_{\beta }^{\prime }$ можно написать.

Сильная двойная топология

Всюду далее предполагается, что все векторные пространства находятся над полем $\mathbb {F}$ либо действительных чисел $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$

Определение из дуальной системы

Основная статья: Двойная система

Позволять $(X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ — двойственная пара векторных пространств над полем $\mathbb {F}$ действительных чисел $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$ Для любого $B\subseteq X$ и любой $y\in Y,$ определять $$|y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.$$

Ни один $X$ ни $Y$ имеет топологию, так сказать подмножество $B\subseteq X$ говорят, что оно ограничено подмножеством $C\subseteq Y$ если $|y|_{B}<\infty$ для всех $y\in C.$ Итак, подмножество $B\subseteq X$ называется ограниченным тогда и только тогда, когда $$\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.$$ Это эквивалентно обычному понятию ограниченных подмножеств, когда $X$ задана слабая топология, индуцированная $Y,$ которая является хаусдорфовой локально выпуклой топологией.

Позволять ${\mathcal {B}}$ обозначим семейство всех подмножеств $B\subseteq X$ ограничено элементами $Y$; то есть, ${\mathcal {B}}$ это набор всех подмножеств $B\subseteq X$ такой, что для каждого $y\in Y,$$$|y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .$$Тогда сильная топология $\beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ на $Y,$ также обозначается $b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ или просто $\beta (Y,X)$ или $b(Y,X)$ если спаривание $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ понимается, определяется как локально выпуклая топология на $Y$ порожденные полунормами вида $$|y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.$$

Определение сильной дуальной топологии происходит теперь так же, как и в случае TVS. Обратите внимание, что если $X$ — ТВС, непрерывное двойственное пространство которого разделяет точку на $X,$ затем $X$ является частью канонической дуальной системы $\left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$ где $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).$В частном случае, когда $X$ — локально выпуклое пространство , сильная топология на (непрерывном) двойственном пространстве $X^{\prime }$ (т.е. на пространстве всех непрерывных линейных функционалов $f:X\to \mathbb {F}$) определяется как сильная топология $\beta \left(X^{\prime },X\right),$ и оно совпадает с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в $X,$ т.е. с топологией на $X^{\prime }$ порожденные полунормами вида $$|f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },$$где $B$ пробегает семейство всех ограниченных множеств в $X.$ Пространство $X^{\prime }$ с этой топологией называется сильным дуальным пространством $X$ и обозначается $X_{\beta }^{\prime }.$

Определение на ТВС

Предположим, что $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (ТВП) над полем $\mathbb {F} .$ Позволять ${\mathcal {B}}$ быть любой фундаментальной системой ограниченных множеств $X$; то есть, ${\mathcal {B}}$ представляет собой семейство ограниченных подмножеств $X$ такая, что каждое ограниченное подмножество $X$ является подмножеством некоторого $B\in {\mathcal {B}}$; множество всех ограниченных подмножеств $X$ образует фундаментальную систему ограниченных множеств $X.$ Базис замкнутых окрестностей начала в $X^{\prime }$ задается полярами : $$B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}$$как $B$ колеблется в пределах ${\mathcal {B}}$). Это локально выпуклая топология, задаваемая набором полунорм на $X^{\prime }$: $\left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|$как $B$ колеблется в пределах ${\mathcal {B}}.$

Если $X$ это нормально, тогда так и есть $X_{b}^{\prime }$ и $X_{b}^{\prime }$ фактически будет банаховым пространством . Если $X$ это нормированное пространство с нормой $\|\cdot \|$ затем $X^{\prime }$ имеет каноническую норму ( норму оператора ), заданную формулой $\left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|$; топология, которую эта норма индуцирует на $X^{\prime }$ идентична сильной дуальной топологии.

Бидуальный

Смотрите также: Банахово пространство § Бидуальное , Рефлексивное пространство , Полурефлексивное пространство и Двойное двойственное пространство.

Бидуал второй или двойник TVS $X,$ часто обозначается $X^{\prime \prime },$ является сильным двойником сильного двойника $X$: $$X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }$$где $X_{b}^{\prime }$ обозначает $X^{\prime }$ наделен сильной двойной топологией $b\left(X^{\prime },X\right).$ Если не указано иное, векторное пространство $X^{\prime \prime }$ обычно предполагается, что он наделен сильной дуальной топологией, индуцированной на нем $X_{b}^{\prime },$ в этом случае его называют сильным бидуалом $X$; то есть, $$X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$$где векторное пространство $X^{\prime \prime }$ наделен сильной дуальной топологией $b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).$

Характеристики

Позволять $X$ быть локально выпуклым TVS.

• Выпуклое сбалансированное слабо компактное подмножество $X^{\prime }$ ограничен $X_{b}^{\prime }.$
• Каждое слабо ограниченное подмножество $X^{\prime }$ сильно ограничен.
• Если $X$ это бочка тогда $X$топология идентична сильной двойной топологии $b\left(X,X^{\prime }\right)$ и топологии Макки на $X.$
• Если $X$ — метризуемое локально выпуклое пространство, то сильное двойственное пространство $X$ является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда оно является инфрабаррельным пространством , тогда и только тогда, когда оно является бочоночным пространством .
• Если $X$ является ли Хаусдорф локально выпуклым TVS, тогда $\left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)$ метризуемо тогда и только тогда , когда существует счетное множество ${\mathcal {B}}$ ограниченных подмножеств $X$ такая, что каждое ограниченное подмножество $X$ содержится в некотором элементе ${\mathcal {B}}.$
• Если $X$ локально выпукла, то эта топология тоньше всех остальных ${\mathcal {G}}$-топологии на $X^{\prime }$ если рассматривать только ${\mathcal {G}}$чьи множества являются подмножествами $X.$
• Если $X$ является борнологическим пространством (например, метризуемым или LF-пространством ), тогда $X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }$ завершен ​ .

Если $X$ является бочоночным пространством , то его топология совпадает с сильной топологией $\beta \left(X,X^{\prime }\right)$ на $X$ и с топологией Макки , созданной спариванием $\left(X,X^{\prime }\right).$

Примеры

Если $X$ является нормированным векторным пространством , то его (непрерывное) двойственное пространство $X^{\prime }$ с сильной топологией совпадает с банаховым дуальным пространством $X^{\prime }$; то есть с пространством $X^{\prime }$ с топологией, индуцированной операторной нормой . Наоборот $\left(X,X^{\prime }\right).$-топология на $X$ идентична топологии, индуцированной нормой на $X.$

См. также

• Двойная топология
• Двойная система
• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Полярная топология - топология дуального пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств.
• Рефлексивное пространство - Локально выпуклое топологическое векторное пространство.
• Полурефлексивное пространство
• Сильная топология
• Топологии на пространствах линейных отображений

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .