Топология Макки

В функциональном анализе и смежных областях математики топология Макки , названная в честь Джорджа Макки , является лучшей топологией для топологического векторного пространства , которое все еще сохраняет непрерывное двойственное пространство . Другими словами, топология Макки не делает непрерывными линейные функции, которые были разрывными в топологии по умолчанию. Топологическое векторное пространство (TVS) называется пространством Макки, если его топология совпадает с топологией Макки.

Топология Макки является противоположностью слабой топологии , которая является самой грубой топологией топологического векторного пространства , сохраняющей непрерывность всех линейных функций в непрерывном двойственном пространстве.

Теорема Макки -Аренса утверждает, что все возможные двойственные топологии тоньше слабой топологии и грубее топологии Макки.

Определение

Основные статьи: Полярная топология и Двойная система

Определение пары

Учитывая пару $(X,Y,b),$ топология Макки на $X$ вызванный $(X,Y,b),$ обозначается $\tau (X,Y,b),$ полярная топология, определенная на $X$ используя набор всех $\sigma (Y,X,b)$-компактные диски в $Y.$

Когда $X$ наделен топологией Макки, то его будем обозначать $X_{\tau (X,Y,b)}$ или просто $X_{\tau (X,Y)}$ или $X_{\tau }$ если не может возникнуть двусмысленности.

Линейная карта $F:X\to W$ называется непрерывным по Макки (относительно спариваний $(X,Y,b)$ и $(W,Z,c)$) если $F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))$ является непрерывным.

Определение топологического векторного пространства

Определение топологии Макки для топологического векторного пространства (TVS) является специализацией приведенного выше определения топологии Макки спаривания. Если $X$ представляет собой ТВС с непрерывным двойным пространством $X^{\prime },$ затем оценочная карта $\left(x,x^{\prime }\right)\mapsto x^{\prime }(x)$ на $X\times X^{\prime }$ называется каноническим спариванием .

Топология Макки на TVS $X,$ обозначается $\tau \left(X,X^{\prime }\right),$ топология Макки на $X$ индуцированное каноническим спариванием $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .$

То есть топология Макки — это полярная топология на $X$ полученное с использованием набора всех слабых* -компактов в $X^{\prime }.$ Когда $X$ наделен топологией Макки, то его будем обозначать $X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}$ или просто $X_{\tau }$ если не может возникнуть двусмысленности.

Линейная карта $F:X\to Y$ между ТВС является непрерывным по Макки, если $F:\left(X,\tau \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\tau \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)$ является непрерывным.

Примеры

Всякое метризуемое локально выпуклое $(X,\nu )$ с непрерывным двойным $X^{\prime }$ несет топологию Макки, то есть $\nu =\tau \left(X,X^{\prime }\right)$ или, говоря более кратко, каждое метризуемое локально выпуклое пространство является пространством Макки .

Каждое пространство Хаусдорфа бочкообразное локально выпуклое есть Макки.

Каждое пространство Фреше $(X,\nu )$ несет топологию Макки, и эта топология совпадает с сильной топологией , т.е. $\nu =\tau \left(X,X^{\prime }\right)=\beta \left(X,X^{\prime }\right).$

Приложения

Топология Макки находит применение в экономиках с бесконечным количеством товаров.

См. также

• Двойная система
• Пространство Макки - математическая концепция
• Полярная топология - топология дуального пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств.
• Сильная топология
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Слабая топология - математический термин

Библиография

• Бурбаки, Николя (1977). Топологические векторные пространства . Элементы математики. Аддисон-Уэсли.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . ОСЛК   17499190 .
• Макки, GW (1946). «О выпуклых топологических линейных пространствах» . Пер. амер. Математика. Соц . 60 (3). Труды Американского математического общества, Vol. 60, № 3: 519–537. дои : 10.2307/1990352 . JSTOR   1990352 . ПМЦ   1078623 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, AP; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . п. 62.
• Шефер, Гельмут Х. (1971). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. п. 131. ИСБН  0-387-98726-6 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• А.И. Штерн (2001) [1994], «Топология Макки» , Энциклопедия Математики , EMS Press