Биортогональная система

В математике — биортогональная система это пара индексированных семейств векторов.

$${\tilde {v}}_{i}{\text{ in }}E{\text{ and }}{\tilde {u}}_{i}{\text{ in }}F$$

такой, что

$$\left\langle {\tilde {v}}_{i},{\tilde {u}}_{j}\right\rangle =\delta _{i,j},$$

где $E$ и $F$ образуют пару топологических векторных пространств , находящихся в двойственности , $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ является билинейным отображением и $\delta _{i,j}$ это дельта Кронекера .

Примером может служить пара наборов соответственно левых и правых собственных векторов матрицы, индексированных собственным значением , если собственные значения различны.

Биортогональная система, в которой $E=F$ и ${\tilde {v}}_{i}={\tilde {u}}_{i}$ является ортонормированной системой .

Проекция

С биортогональной системой связана проекция

$$P:=\sum _{i\in I}{\tilde {u}}_{i}\otimes {\tilde {v}}_{i},$$

где $(u\otimes v)(x):=u\langle v,x\rangle ;$ его образ — это линейная длина $\left\{{\tilde {u}}_{i}:i\in I\right\},$ и ядро ​​есть $\left\{\left\langle {\tilde {v}}_{i},\cdot \right\rangle =0:i\in I\right\}.$

Строительство

Учитывая возможно неортогональный набор векторов $\mathbf {u} =\left(u_{i}\right)$ и $\mathbf {v} =\left(v_{i}\right)$ связанная с проекцией

$$P=\sum _{i,j}u_{i}\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ^{-1}\right)_{j,i}\otimes v_{j},$$

где $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle$ это матрица с записями $\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\left\langle v_{i},u_{j}\right\rangle .$

• ${\tilde {u}}_{i}:=(I-P)u_{i},$ и ${\tilde {v}}_{i}:=(I-P)^{*}v_{i}$ тогда это биортогональная система.

См. также

• Двойной базис - концепция линейной алгебры
• Двойное пространство - в математике векторное пространство линейных форм.
• Двойная пара
• Ортогональность – различные значения терминов.
• Ортогонализация

Ссылки

• Жан Дьедонне, О биортогональных системах, Мичиганская математика. Дж. 2 (1953), вып. 1, 7–20 [1]