Двойная топология

В функциональном анализе и смежных областях математики двойственная топология — это локально выпуклая топология в векторном пространстве , которая индуцируется непрерывным двойственным векторным пространством посредством билинейной формы (также называемой спариванием ), связанной с двойственной парой .

Различные дуальные топологии для данной дуальной пары характеризуются теоремой Макки – Аренса. Все локально выпуклые топологии с их непрерывной двойственной топологией тривиально являются двойственной парой, а локально выпуклая топология является двойственной топологией.

Некоторые топологические свойства зависят только от дуальной пары , а не от выбранной дуальной топологии, поэтому часто можно заменить сложную дуальную топологию более простой.

Определение

Учитывая двойную пару $(X,Y,\langle ,\rangle )$, двойная топология на $X$ является локально выпуклой топологией $\tau$ так что

$(X,\tau )'\simeq Y.$

Здесь $(X,\tau )'$ обозначает непрерывный двойственный элемент $(X,\tau )$ и $(X,\tau )'\simeq Y$ означает, что существует линейный изоморфизм

$\Psi :Y\to (X,\tau )',\quad y\mapsto (x\mapsto \langle x,y\rangle ).$

(Если локально выпуклая топология $\tau$ на $X$ не является двойной топологией, то либо $\Psi$ не является сюръективным или плохо определен, поскольку линейный функционал $x\mapsto \langle x,y\rangle$ не является непрерывным $X$ для некоторых $y$.)

Характеристики

• Теорема ( Маки ): Для двойственной пары ограниченные множества в любой двойственной топологии идентичны.
• В любой двойной топологии используются одни и те же наборы .

Характеристика двойственных топологий

Теорема Макки-Аренса , названная в честь Джорджа Макки и Ричарда Аренса , характеризует все возможные двойственные топологии на локально выпуклом пространстве .

Теорема показывает, что самая грубая двойственная топология — это слабая топология , топология равномерной сходимости на всех конечных подмножествах множества. $X'$, а лучшей топологией является топология Макки , топология равномерной сходимости на всех абсолютно выпуклых слабо компактных подмножествах $X'$.

Теорема Макки – Аренса

Учитывая двойную пару $(X,X')$ с $X$ локально выпуклое пространство и $X'$ его непрерывный двойник , тогда $\tau$ представляет собой двойную топологию на $X$ тогда и только тогда, когда это топология равномерной сходимости на семействе абсолютно выпуклых и слабо компактных подмножеств $X'$

См. также

• Полярная топология

Ссылки

• Богачев Владимир I; Смолянов, Олег Георгиевич (2017). Топологические векторные пространства и их приложения . Монографии Спрингера по математике . Чам, Швейцария: Springer International Publishing. ISBN  978-3-319-57117-1 . OCLC   987790956 .