Локально выпуклое топологическое векторное пространство

В функциональном анализе и смежных областях локально математики выпуклые топологические векторные пространства ( LCTVS ) или локально выпуклые пространства являются примерами топологических векторных пространств (TVS), которые обобщают нормированные пространства . Их можно определить как топологические векторные пространства, топология которых порождается перемещением сбалансированных , поглощающих , выпуклых множеств . В качестве альтернативы их можно определить как векторное пространство с семейством полунорм , а топологию можно определить в терминах этого семейства. Хотя в целом такие пространства не обязательно являются нормируемыми , существование выпуклой локальной базы для нулевого вектора достаточно сильно для теоремы Хана-Банаха выполнения , что дает достаточно богатую теорию непрерывных линейных функционалов .

Пространства Фреше — это локально выпуклые топологические векторные пространства, которые вполне метризуемы (с выбором полной метрики). Они являются обобщениями банаховых пространств , которые являются полными векторными пространствами относительно метрики, порожденной нормой .

История

Метризуемые топологии векторных пространств изучаются с момента их введения в Мориса Фреше докторскую диссертацию 1902 года Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel (где впервые было введено понятие метрики ) . в 1914 году определил понятие общего топологического пространства После того, как Феликс Хаусдорф , хотя некоторые математики неявно использовали локально выпуклые топологии, до 1934 года только Джон фон Нейман , казалось, явно определил слабую топологию в гильбертовых пространствах и сильную операторную топологию для операторов в гильбертовых пространствах. Наконец, в 1935 году фон Нейман ввел общее определение локально выпуклого пространства (названного выпуклым пространством ). им

Ярким примером результата, который должен был дождаться развития и распространения общих локально выпуклых пространств (среди других понятий и результатов, таких как сети , топология произведения и теорема Тихонова ), чтобы быть доказанным во всей своей общности, является уравнение Банаха – Алаоглу. Теорема , которую Стефан Банах впервые установил в 1932 году с помощью элементарного диагонального аргумента для случая сепарабельных нормированных пространств. (в этом случае единичный шар двойственного метризуем ).

Определение

Предполагать $X$ является векторным пространством над $\mathbb {K} ,$ подполе ( комплексных чисел обычно $\mathbb {C}$ сам или $\mathbb {R}$). Локально выпуклое пространство определяется либо через выпуклые множества, либо, что то же самое, через полунормы.

Определение через выпуклые множества

Топологическое векторное пространство (ТВП) называется локально выпукло, если оно имеет базис окрестностей (т. е. локальную базу) в начале координат, состоящий из сбалансированных выпуклых множеств . Термин локально выпуклое топологическое векторное пространство иногда сокращается до локально выпуклое пространство или ЛКТВС .

Подмножество $C$ в $X$ называется

1. Выпуклый, если для всех $x,y\in C,$ и $0\leq t\leq 1,$ $tx+(1-t)y\in C.$ Другими словами, $C$ содержит все отрезки линий между точками в $C.$
2. Обведено, если для всех $x\in C$ и скаляры $s,$ если $|s|=1$ затем $sx\in C.$ Если $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,$ это означает, что $C$ равно его отражению через начало координат. Для $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,$ это значит для любого $x\in C,$ $C$ содержит круг через $x,$ с центром в начале координат, в одномерном комплексном подпространстве, порожденном $x.$
3. Сбалансировано, если для всех $x\in C$ и скаляры $s,$ если $|s|\leq 1$ затем $sx\in C.$ Если $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,$ это означает, что если $x\in C,$ затем $C$ содержит отрезок между $x$ и $-x.$ Для $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,$ это значит для любого $x\in C,$ $C$ содержит диск с $x$ на его границе с центром в начале координат в одномерном комплексном подпространстве, порожденном $x.$ Эквивалентно, сбалансированный набор представляет собой «обведенный конус». . Обратите внимание, что в ТВС ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$, ${\textstyle x=(1,1)}$ принадлежит ${\textstyle C=({}}$шар с центром в начале радиуса ${\textstyle {\sqrt {2}}}$${})$, но ${\textstyle 2x=(2,2)}$ не принадлежит; действительно, не конусом является , . а сбалансирован C
4. Конус ) , (когда базовое поле упорядочено если для всех $x\in C$ и $t\geq 0,$ $tx\in C.$
5. Впитывающий или впитывающий, если для каждого $x\in X,$ существует $r>0$ такой, что $x\in tC$ для всех $t\in \mathbb {K}$ удовлетворяющий $|t|>r.$ Набор $C$ может быть масштабирован на любое «большое» значение, чтобы поглотить каждую точку пространства.
   • В любом TVS каждая окрестность начала является поглощающей.
6. Абсолютно выпуклая или диск, если он одновременно сбалансирован и выпукл. Это эквивалентно тому, что он замкнут относительно линейных комбинаций, сумма коэффициентов которых равна $\leq 1$; такое множество является поглощающим, если оно охватывает все $X.$

Действительно, каждая локально выпуклая TVS имеет базис окрестности начала координат, состоящий из абсолютно выпуклые множества (т. е. диски), где этот базис окрестности также может быть выбран так, чтобы он также состоял полностью из открытых множеств или полностью из закрытых множеств. Каждая TVS имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из сбалансированных множеств, но только локально выпуклая TVS имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из множеств, которые одновременно сбалансированы и выпуклы. TVS может иметь некоторые окрестности начала координат, которые являются выпуклыми, но не являются локально выпуклыми, поскольку у него нет базиса окрестности в начале координат, состоящего полностью из выпуклых множеств (т. е. каждый базис окрестности в начале координат содержит некоторые невыпуклые множества). выпуклое множество); например, каждая нелокально выпуклая TVS $X$ имеет себя (т. $X$) как выпуклая окрестность начала координат.

Поскольку перевод непрерывен (по определению топологического векторного пространства ), все переводы являются гомеоморфизмами , поэтому каждая база окрестностей начала координат может быть переведена в базу окрестностей любого заданного вектора.

Определение через полунормы

Полунорма ​ по $X$ это карта $p:X\to \mathbb {R}$ такой, что

1. $p$ является неотрицательным или положительно полуопределенным: $p(x)\geq 0$;
2. $p$ является положительно однородным или положительно масштабируемым: $p(sx)=|s|p(x)$ для каждого скаляра $s.$ Так, в частности, $p(0)=0$;
3. $p$ является субаддитивным. Он удовлетворяет неравенству треугольника: $p(x+y)\leq p(x)+p(y).$

Если $p$ удовлетворяет положительной определенности, которая гласит, что если $p(x)=0$ затем $x=0,$ затем $p$ это норма . Хотя в целом полунормы не обязательно должны быть нормами, для семейств полунорм существует аналог этого критерия - разделенность, определенный ниже.

Если $X$ является векторным пространством и ${\mathcal {P}}$ представляет собой семейство полунорм $X$ тогда подмножество ${\mathcal {Q}}$ из ${\mathcal {P}}$ называется базой полунорм для ${\mathcal {P}}$ если для всех $p\in {\mathcal {P}}$ существует $q\in {\mathcal {Q}}$ и настоящий $r>0$ такой, что $p\leq rq.$

Определение (вторая версия): Локально выпуклое пространство определяется как векторное пространство. $X$ вместе с семьей ${\mathcal {P}}$ полунорм по $X.$

Полунормальная топология

Предположим, что $X$ является векторным пространством над $\mathbb {K} ,$ где $\mathbb {K}$ это либо действительные, либо комплексные числа. Семейство полунорм ${\mathcal {P}}$ в векторном пространстве $X$ индуцирует топологию канонического векторного пространства на $X$, называемая исходной топологией, индуцированной полунормами, превращающая ее в топологическое векторное пространство (TVS). По определению, это самая грубая топология на $X$ для которого все карты в ${\mathcal {P}}$ являются непрерывными.

Возможна локально выпуклая топология в пространстве $X$ быть вызвано семейством норм, но для $X$ не (то есть иметь топологию , быть нормируемым индуцированную единственной нормой).

Базис и подбазы

Открытый набор в $\mathbb {R} _{\geq 0}$ имеет форму $[0,r)$, где $r$ является положительным действительным числом. Семья прообразов $p^{-1}\left([0,r)\right)=\{x\in X:p(x)<r\}$ как $p$ колеблется в пределах семейства полунорм ${\mathcal {P}}$ и $r$ колеблется в пределах положительных действительных чисел является подбазисом в начале топологии, индуцированной ${\mathcal {P}}$. Эти множества выпуклы, как это следует из свойств 2 и 3 полунорм. Пересечения конечного числа таких множеств также являются выпуклыми, и поскольку совокупность всех таких конечных пересечений является базисом в начале координат, из этого следует, что топология локально выпукла в смысле первого определения, данного выше.

Напомним, что топология TVS трансляционно-инвариантна, то есть если $S$ это любое подмножество $X$ содержащий начало координат, тогда для любого $x\in X,$ $S$ является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда $x+S$ это район $x$; таким образом, достаточно определить топологию в начале координат. База кварталов г. $y$ для этой топологии получается следующим образом: для любого конечного подмножества $F$ из ${\mathcal {P}}$ и каждый $r>0,$ позволять $$U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\}.$$

Базисы полунорм и насыщенные семейства

Если $X$ — локально выпуклое пространство, и если ${\mathcal {P}}$ представляет собой совокупность непрерывных полунорм на $X$, затем ${\mathcal {P}}$ называется базой непрерывных полунорм , если она является базой полунорм совокупности всех непрерывных полунорм на $X$. Явно это означает, что для всех непрерывных полунорм $p$ на $X$, существует $q\in {\mathcal {P}}$ и настоящий $r>0$ такой, что $p\leq rq.$ Если ${\mathcal {P}}$ является базой непрерывных полунорм для локально выпуклой TVS $X$ тогда семейство всех множеств вида $\{x\in X:q(x)<r\}$ как $q$ варьируется в зависимости от ${\mathcal {P}}$ и $r$ варьируется в пределах положительных действительных чисел, является базой окрестностей начала координат в $X$ (а не просто подбазис, поэтому нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств).

Семья ${\mathcal {P}}$ полунорм в векторном пространстве $X$ называется насыщенным, если для любого $p$ и $q$ в ${\mathcal {P}},$ полунорма, определяемая $x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}$ принадлежит ${\mathcal {P}}.$

Если ${\mathcal {P}}$ является насыщенным семейством непрерывных полунорм, индуцирующим топологию на $X$ то коллекция всех множеств вида $\{x\in X:p(x)<r\}$ как $p$ колеблется в пределах ${\mathcal {P}}$ и $r$ распространяется на все положительные действительные числа, образует базис окрестности в начале координат, состоящий из выпуклых открытых множеств; Это формирует базис в начале координат, а не просто подбазис, так что, в частности, нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств.

Основа норм

Из следующей теоремы следует, что если $X$ является локально выпуклым пространством, то топология $X$ может быть задано семейством непрерывных норм на $X$ ( норма – это полунорма $s$ где $s(x)=0$ подразумевает $x=0$) тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна непрерывная норма на $X$. Это связано с тем, что сумма нормы и полунормы является нормой, поэтому, если локально выпуклое пространство определяется некоторым семейством ${\mathcal {P}}$ полунорм (каждая из которых обязательно непрерывна), то семейство ${\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}$ (также непрерывных) норм, полученных добавлением некоторой заданной непрерывной нормы $n$ каждому элементу обязательно будет семейство норм, определяющее ту же самую локально-выпуклую топологию. Если существует непрерывная норма в топологическом векторном пространстве $X$ затем $X$ обязательно является Хаусдорфовым, но обратное, вообще говоря, неверно (даже для локально выпуклых пространств или пространств Фреше ).

Теорема - Позволять $X$ быть пространством Фреше над полем $\mathbb {K} .$ Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $X$ не допускает непрерывной нормы (т. е. никакой непрерывной полунормы на $X$ может не быть нормой).
2. $X$ содержит векторное подпространство, TVS-изоморфное $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$
3. $X$ содержит дополняемое векторное подпространство , TVS-изоморфное $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$

Сети

Предположим, что топология локально выпуклого пространства $X$ вызвано семьей ${\mathcal {P}}$ непрерывных полунорм на $X$. Если $x\in X$ и если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $X$, затем $x_{\bullet }\to x$ в $X$ тогда и только тогда, когда для всех $p\in {\mathcal {P}},$ $p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}\to 0.$ Более того, если $x_{\bullet }$ находится Коши в $X$, тогда так и есть $p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}$ для каждого $p\in {\mathcal {P}}.$

Эквивалентность определений

Хотя определение в терминах базы окрестности дает лучшую геометрическую картину, на практике с определением в терминах полунорм легче работать. Эквивалентность двух определений следует из конструкции, известной как функционал Минковского или калибровка Минковского. Ключевое свойство полунорм, обеспечивающее выпуклость их $\varepsilon$- шары – это неравенство треугольника .

Для увлекательного набора $C$ такое, что если $x\in C,$ затем $tx\in C$ в любое время $0\leq t\leq 1,$ определим функционал Минковского от $C$ быть $$\mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.$$

Из этого определения следует, что $\mu _{C}$ является полунормой, если $C$ уравновешена и выпукла (по предположению она также поглощающая). Обратно, для данного семейства полунорм множества $$\left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}$$ составляют основу выпуклых абсорбирующих сбалансированных комплектов.

Способы определения локально выпуклой топологии.

Теорема — Предположим, что $X$ является (действительным или комплексным) векторным пространством, и пусть ${\mathcal {B}}$ быть базой фильтров подмножеств $X$ такой, что:

1. Каждый $B\in {\mathcal {B}}$ выпуклый ​ , сбалансированный и поглощающий ;
2. Для каждого $B\in {\mathcal {B}}$ существует какой-то реальный $r$ удовлетворяющий $0<r\leq 1/2$ такой, что $rB\in {\mathcal {B}}.$

Затем ${\mathcal {B}}$ является базой окрестности в 0 для локально выпуклой TVS-топологии на $X.$

Теорема — Предположим, что $X$ является (действительным или комплексным) векторным пространством, и пусть ${\mathcal {L}}$ быть непустой совокупностью выпуклых, сбалансированных и поглощающих подмножеств $X.$ Тогда множество всех положительных скалярных кратных конечных пересечений множеств из ${\mathcal {L}}$ образует базу окрестности в начале координат локально выпуклой TVS-топологии на $X.$

Пример: вспомогательные нормированные пространства

Если $W$ выпуклая ​ и поглощающая ​ $X$ тогда симметричное множество $D:=\bigcap _{|u|=1}uW$ будет выпуклым и сбалансированным (также известным как абсолютно выпуклое множество или диск ), а также будет поглощать $X.$ Это гарантирует, что функционал Минковского $p_{D}:X\to \mathbb {R}$ из $D$ будет полунормой ​ $X,$ тем самым делая $\left(X,p_{D}\right)$ в полунормированное пространство , несущее свою каноническую псевдометризуемую топологию. Набор скалярных кратных $rD$ как $r$ колеблется в пределах $\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ (или над любым другим набором ненулевых скаляров, имеющих $0$ как предельная точка) образует базис окрестности поглощающих дисков в начале координат этой локально выпуклой топологии. Если $X$ является топологическим векторным пространством , и если это выпуклое поглощающее подмножество $W$ также является ограниченным подмножеством $X,$ затем поглощающий диск $D:=\bigcap _{|u|=1}uW$ также будет ограничено, и в этом случае $p_{D}$ будет нормой и $\left(X,p_{D}\right)$ образует так называемое вспомогательное нормированное пространство . Если это нормированное пространство является банаховым, то $D$ называется банаховым диском .

Дальнейшие определения

• Семейство полунорм $\left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }$ называется полным или разделенным , или называется отдельными точками, если когда-либо $p_{\alpha }(x)=0$ держится для каждого $\alpha$ затем $x$ обязательно $0.$ Локально выпуклое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно имеет выделенное семейство полунорм. Многие авторы принимают за определение критерий Хаусдорфа.
• Псевдометрика — это обобщение метрики, не удовлетворяющее условию, что $d(x,y)=0$ только когда $x=y.$ Локально выпуклое пространство псевдометризуемо, то есть его топология возникает из псевдометрики тогда и только тогда, когда оно имеет счетное семейство полунорм. Действительно, псевдометрика, индуцирующая ту же топологию, тогда задается формулой $$d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}$$ (где $1/2^{n}$ можно заменить любой положительной суммируемой последовательностью $a_{n}$). Эта псевдометрика является трансляционно-инвариантной, но не однородной, что означает $d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),$ и, следовательно, не определяет (псевдо)норму. Псевдометрика является честной метрикой тогда и только тогда, когда семейство полунорм разделено, поскольку это имеет место тогда и только тогда, когда пространство хаусдорфово. Если, кроме того, пространство полно, оно называется пространством Фреше .
• Как и любое топологическое векторное пространство, локально выпуклое пространство также является равномерным . Таким образом, можно говорить о равномерной непрерывности , равномерной сходимости и последовательностях Коши .
• Сеть Коши в локально выпуклом пространстве — это сеть $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ такой, что для каждого $r>0$ и каждая полунорма $p_{\alpha },$ существует некоторый индекс $c\in A$ такая, что для всех индексов $a,b\geq c,$ $p_{\alpha }\left(x_{a}-x_{b}\right)<r.$ Другими словами, сеть должна быть Коши во всех полунормах одновременно. Определение полноты дается здесь в терминах сетей, а не более знакомых последовательностей , поскольку в отличие от метризуемых пространств Фреше, общие пространства могут определяться несчетным семейством псевдометрик . Последовательностей, счетных по определению, недостаточно для характеристики сходимости в таких пространствах. Локально выпуклое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая сеть Коши сходится.
• Семейство полунорм становится предупорядоченным множеством при условии $p_{\alpha }\leq p_{\beta }$ тогда и только тогда, когда существует $M>0$ такой, что для всех $x,$ $p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).$ Говорят, что это ориентированное семейство полунорм, если оно представляет собой ориентированное множество со сложением в качестве соединения , другими словами, если для каждого $\alpha$ и $\beta ,$ есть $\gamma$ такой, что $p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\gamma }.$ Каждое семейство полунорм имеет эквивалентное ориентированное семейство, то есть семейство, определяющее ту же топологию. Действительно, имея семью $\left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},$ позволять $\Phi$ — множество конечных подмножеств $I$ и тогда для каждого $F\in \Phi$ определять $$q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.$$ Это можно проверить $\left(q_{F}\right)_{F\in \Phi }$ является эквивалентным ориентированным семейством.
• Если топология пространства индуцирована одной полунормой, то пространство полунормируемо . Любое локально выпуклое пространство с конечным семейством полунорм полунормируемо. Более того, если пространство хаусдорфово (семейство разделено), то оно нормируемо, норма которого определяется суммой полунорм. В терминах открытых множеств локально выпуклое топологическое векторное пространство полунормируемо тогда и только тогда, когда начало координат имеет ограниченную окрестность.

Достаточные условия

Свойство расширения Хана – Банаха

Позволять $X$ быть ТВС. Скажем, что векторное подпространство $M$ из $X$ обладает свойством продолжения, если любой непрерывный линейный функционал на $M$ может быть продолжено до непрерывного линейного функционала на $X$. Скажи это $X$ имеет Хана-Банаха свойство расширения ( HBEP ), если каждое векторное подпространство $X$ имеет свойство расширения.

Теорема Хана-Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых ТВС имеет место обратное:

Теорема  (Калтон) — Любая полная метризуемая ТВС со свойством расширения Хана-Банаха локально выпукла.

Если векторное пространство $X$ имеет несчетную размерность, и если мы наделим ее тончайшей векторной топологией, то это ТВС с HBEP, который не является ни локально выпуклым, ни метризуемым.

Характеристики

См. Также: Топологическое векторное пространство § Свойства.

Через, ${\mathcal {P}}$ представляет собой семейство непрерывных полунорм, порождающих топологию $X.$

Топологическое замыкание

Если $S\subseteq X$ и $x\in X,$ затем $x\in \operatorname {cl} S$ тогда и только тогда, когда для каждого $r>0$ и каждая конечная коллекция $p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}$ существует какой-то $s\in S$ такой, что $\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x-s)<r.$ Закрытие $\{0\}$ в $X$ равно $\bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).$

Топология хаусдорфовых локально выпуклых пространств

Всякое хаусдорфово локально выпуклое пространство гомеоморфно векторному подпространству произведения банаховых пространств . Теорема Андерсона–Кадека утверждает, что каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно пространству произведений. ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ счетного числа копий $\mathbb {R}$ (этот гомеоморфизм не обязательно должен быть линейным отображением ).

Свойства выпуклых подмножеств

Алгебраические свойства выпуклых подмножеств

Подмножество $C$ выпукло тогда и только тогда, когда $tC+(1-t)C\subseteq C$ для всех $0\leq t\leq 1$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $(s+t)C=sC+tC$ за все позитивное настоящее $s>0{\text{ and }}t>0,$ где, потому что $(s+t)C\subseteq sC+tC$ всегда имеет место, знак равенства $\,=\,$ можно заменить на $\,\supseteq .\,$ Если $C$ является выпуклым множеством, содержащим начало координат, тогда $C$ имеет звездообразную форму в начале координат и для всех неотрицательных действительных $s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,$ $(sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.$

Сумма Минковского двух выпуклых множеств выпукла; более того, скаляр, кратный выпуклому множеству, снова выпуклый.

Топологические свойства выпуклых подмножеств

• Предположим, что $Y$ является TVS (не обязательно локально выпуклым или Хаусдорфовым) над действительными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества $Y$ это именно те, которые имеют вид $z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}$ для некоторых $z\in Y$ и некоторый положительный непрерывный сублинейный функционал $p$ на $Y.$
• Внутренность и замыкание выпуклого подмножества TVS снова выпуклы.
• Если $C$ — выпуклое множество с непустой внутренностью, то замыкание $C$ равно замыканию внутренней части $C$; кроме того, интерьер $C$ равна внутренней части замыкания $C.$
  • Итак, если внутренность выпуклого множества $C$ непусто тогда $C$ является замкнутым (соответственно открытым) множеством тогда и только тогда, когда оно является регулярным замкнутым (соответственно регулярным открытым) множеством.
• Если $C$ является выпуклым и $0<t\leq 1,$ затем $t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.$ В явном виде это означает, что если $C$ является выпуклым подмножеством TVS $X$ (не обязательно Хаусдорф или локально выпуклый), $y$ относится к закрытию $C,$ и $x$ принадлежит внутренней части $C,$ затем отрезок открытой линии, соединяющийся $x$ и $y$ принадлежит внутренней части $C;$ то есть, $\{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.$
• Если $M$ — замкнутое векторное подпространство (не обязательно хаусдорфова) локально выпуклого пространства. $X,$ $V$ является выпуклой окрестностью начала координат в $M,$ и если $z\in X$ вектор не входит в $V,$ тогда существует выпуклая окрестность $U$ происхождения в $X$ такой, что $V=U\cap M$ и $z\not \in U.$
• Замыкание выпуклого подмножества локально выпуклого хаусдорфова пространства $X$ одинаков для всех локально выпуклых ТВС-топологий Хаусдорфа на $X$ которые совместимы с двойственностью между $X$ и его непрерывное двойственное пространство.
• В локально выпуклом пространстве выпуклая и дисковая оболочки вполне ограниченного множества вполне ограничены.
• В полном локально выпуклом пространстве выпуклая и дисковая оболочки компакта компактны.
  • В более общем смысле, если $K$ — компактное подмножество локально выпуклого пространства, то выпуклая оболочка $\operatorname {co} K$ (соответственно дисковый корпус $\operatorname {cobal} K$) компактен тогда и только тогда, когда он полон.
• В локально выпуклом пространстве ограничены выпуклые оболочки ограниченных множеств. Это не относится к ТВС в целом.
• В пространстве Фреше замкнутая выпуклая оболочка компакта компактна.
• В локально-выпуклом пространстве любая линейная комбинация вполне ограниченных множеств вполне ограничена.

Свойства выпуклых оболочек

Для любого подмножества $S$ ТВС $X,$ выпуклая оболочка (соответственно закрытая выпуклая оболочка , сбалансированная оболочка , выпуклая сбалансированная оболочка ) $S,$ обозначается $\operatorname {co} S$ (соответственно, ${\overline {\operatorname {co} }}S,$ $\operatorname {bal} S,$ $\operatorname {cobal} S$), — наименьшее выпуклое (соответственно замкнутое выпуклое, уравновешенное, выпуклое уравновешенное) подмножество $X$ содержащий $S.$

• Выпуклая оболочка компактного подмножества гильбертова пространства не обязательно замкнута и, следовательно, не обязательно компактна. Например, пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ суммируемых с квадратом последовательностей с обычной нормой $\|\cdot \|_{2}$ и пусть $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )$ быть стандартным ортонормированным базисом (т.е. $1$ в $n^{\text{th}}$-координата). Закрытый набор $S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{n},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}$ компактен, но его выпуклая оболочка $\operatorname {co} S$ является не замкнутым множеством, поскольку $h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}$ относится к закрытию $\operatorname {co} S$ в $H$ но $h\not \in \operatorname {co} S$ (поскольку каждая последовательность $z\in \operatorname {co} S$ есть конечная выпуклая комбинация элементов $S$ и так обязательно $0$ во всех координатах, кроме конечного числа, чего нельзя сказать о $h$). Однако, как и во всех полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка $K:={\overline {\operatorname {co} }}S$ этого компактного подмножества компактно. Векторное подпространство $X:=\operatorname {span} S$ является предгильбертовым пространством , если оно наделено подструктурой, которую имеет гильбертово пространство. $H$ побуждает к этому, но $X$ не является полным и $h\not \in C:=K\cap X$ (с $h\not \in X$). Замкнутая выпуклая оболочка $S$ в $X$ (здесь «закрытый» означает по отношению к $X,$ и не $H$ как и раньше) равно $K\cap X,$ которое не является компактным (поскольку оно не является полным подмножеством). Это показывает, что в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве, которое не является полным, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества может не быть компактной (хотя она будет предкомпактной/полностью ограниченной ).
• В хаусдорфовом локально выпуклом пространстве $X,$ закрытая выпуклая оболочка ${\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S$ компактного подмножества $S$ не обязательно компактно, хотя это предкомпактное (также называемое «полностью ограниченным») подмножество, что означает, что его замыкание, взятое в пополнении ${\widehat {X}}$ из $X,$ будет компактным (здесь $X\subseteq {\widehat {X}},$ так что $X={\widehat {X}}$ тогда и только тогда, когда $X$ завершено); то есть, $\operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S$ будет компактным. Так, например, закрытая выпуклая оболочка $C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S$ компактного подмножества $S$ догильбертова пространства $X$ всегда является предкомпактным подмножеством $X,$ и поэтому закрытие $C$ в любом гильбертовом пространстве $H$ содержащий $X$ (например, завершение Хаусдорфа $X$ например) будет компактным (как в предыдущем примере).
• В квазиполном локально выпуклом TVS замыкание выпуклой оболочки компактного подмножества снова компактно.
• В хаусдорфовой локально выпуклой TVS выпуклая оболочка предкомпактного множества снова предкомпактна. Следовательно, в полном хаусдорфовом локально выпуклом пространстве замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества снова компактна.
• В любой TVS выпуклая оболочка конечного объединения выпуклых компактов компактна (и выпукла).
  • Это означает, что в любой хаусдорфовой TVS выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств замкнута ( помимо того, что она компактна). и выпуклый); в частности, выпуклая оболочка такого объединения равна замкнутой выпуклой оболочке этого объединения.
  • В общем, замкнутая выпуклая оболочка компакта не обязательно компактна. Однако каждое компактное подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ (где $n<\infty$) имеет компактную выпуклую оболочку.
  • В любой нехаусдорфовой ТВС существуют компактные (и, следовательно, полные), но не замкнутые подмножества.
• Биполярная теорема утверждает, что биполярная (то есть полярная полярная) подмножества локально выпуклой хаусдорфовой TVS равна замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке этого множества.
• выпуклого Сбалансированная оболочка множества не обязательно является выпуклой.
• Если $C$ и $D$ являются выпуклыми подмножествами топологического векторного пространства. $X$ и если $x\in \operatorname {co} (C\cup D),$ тогда существуют $c\in C,$ $d\in D,$ и реальное число $r$ удовлетворяющий $0\leq r\leq 1$ такой, что $x=rc+(1-r)d.$
• Если $M$ является векторным подпространством TVS $X,$ $C$ выпуклое подмножество $M,$ и $D$ выпуклое подмножество $X$ такой, что $D\cap M\subseteq C,$ затем $C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).$
• Напомним, что наименьшее сбалансированное подмножество $X$ содержащий набор $S$ называется сбалансированной оболочкой $S$ и обозначается $\operatorname {bal} S.$ Для любого подмножества $S$ из $X,$ выпуклая сбалансированная оболочка $S,$ обозначается $\operatorname {cobal} S,$ представляет собой наименьшее подмножество $X$ содержащий $S$ то есть выпуклое и сбалансированное. Выпуклый сбалансированный корпус $S$ равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки $S$ (т.е. $\operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)$), но выпуклая сбалансированная оболочка $S$ не обязательно равна сбалансированной оболочке выпуклой оболочки $S$ (то есть, $\operatorname {cobal} S$ не обязательно равен $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)$).
• Если $A,B\subseteq X$ являются подмножествами TVS $X$ и если $s$ тогда это скаляр $\operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),$ $\operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,$ $\operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),$ и ${\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).$ Более того, если ${\overline {\operatorname {co} }}(A)$ тогда компактен ${\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).$ Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно должна быть закрытой; например, набор $\left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}$ закрыт в $X:=\mathbb {R} ^{2}$ но его выпуклая оболочка представляет собой открытое множество $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .$
• Если $A,B\subseteq X$ являются подмножествами TVS $X$ чьи замкнутые выпуклые оболочки компактны, то ${\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).$
• Если $S$ - выпуклое множество в комплексном векторном пространстве $X$ и существует некоторый $z\in X$ такой, что $z,iz,-z,-iz\in S,$ затем $rz+siz\in S$ для всех реально $r,s$ такой, что $|r|+|s|\leq 1.$ В частности, $az\in S$ для всех скаляров $a$ такой, что $|a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.$
• Теорема Каратеодори : если $S$ это любое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ (где $n<\infty$) тогда для каждого $x\in \operatorname {co} S,$ существует конечное подмножество $F\subseteq S$ содержащий не более $n+1$ точки, выпуклая оболочка которых содержит $x$ (то есть, $|F|\leq n+1$ и $x\in \operatorname {co} F$).

Примеры и непримеры

Самая тонкая и самая грубая локально выпуклая топология.

Самая грубая векторная топология

Любое векторное пространство $X$ наделенная тривиальной топологией (называемой также недискретной топологией ), является локально выпуклой ТВС (и, конечно, это самая грубая такая топология). Эта топология хаусдорфова тогда и только тогда. $X=\{0\}.$ Недискретная топология превращает любое векторное пространство в полную псевдометризуемую локально выпуклую TVS.

Напротив, дискретная топология образует векторную топологию на $X$ тогда и только $X=\{0\}.$ Это следует из того, что каждое топологическое векторное пространство является связным пространством .

Наилучшая локально выпуклая топология

Если $X$ является действительным или комплексным векторным пространством, и если ${\mathcal {P}}$ — множество всех полунорм на $X$ то локально выпуклая TVS-топология, обозначаемая $\tau _{\operatorname {lc} },$ что ${\mathcal {P}}$ вызывает $X$ называется тончайшая локально выпуклая топология на $X.$ Эту топологию можно также назвать TVS-топологией на $X$ имея в качестве базы окрестности в начале координат множество всех поглощающих дисков в $X.$ Любая локально выпуклая TVS-топология на $X$ обязательно является подмножеством $\tau _{\operatorname {lc} }.$ $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ является Хаусдорф . Любая линейная карта из $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ в другую локально выпуклую TVS обязательно непрерывна. В частности, каждый линейный функционал на $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ непрерывно и каждое векторное подпространство $X$ закрыт в $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$; следовательно, если $X$ бесконечномерно, тогда $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ не псевдометризуемо (и, следовательно, не метризуемо). Более того, $\tau _{\operatorname {lc} }$ является единственной хаусдорфовой локально выпуклой топологией на $X$ со свойством, что любое линейное отображение из него в любое хаусдорфово локально выпуклое пространство непрерывно. Пространство $\left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)$ это борнологическое пространство .

Примеры локально выпуклых пространств

Каждое нормированное пространство является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, и большая часть теории локально выпуклых пространств обобщает части теории нормированных пространств. Семейство полунорм можно принять за единую норму. Всякое банахово пространство является полным хаусдорфовым локально-выпуклым пространством, в частности, пространство $L^{p}$ пространства с $p\geq 1$ локально выпуклы.

В более общем смысле любое пространство Фреше локально выпукло. Пространство Фреше можно определить как полное локально выпуклое пространство с отделенным счетным семейством полунорм.

Пространство $\mathbb {R} ^{\omega }$ вещественнозначных последовательностей с семейством полунорм, заданным формулой $$p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbb {N}$$ является локально выпуклой. Счетное семейство полунорм полно и сепарабельно, поэтому это пространство Фреше, которое не является нормируемым. Это также предельная топология пространств $\mathbb {R} ^{n},$ встроенный в $\mathbb {R} ^{\omega }$ естественным путем, дополняя конечные последовательности с бесконечным числом $0.$

Учитывая любое векторное пространство $X$ и коллекция $F$ линейных функционалов на нем, $X$ можно превратить в локально выпуклое топологическое векторное пространство, придав ему самую слабую топологию, превращающую все линейные функционалы в $F$ непрерывный. Это известно как слабая топология или начальная топология, определяемая $F.$ Коллекция $F$ может быть алгебраически двойственным к $X$ или любая другая коллекция. Семейство полунорм в этом случае имеет вид $p_{f}(x)=|f(x)|$ для всех $f$ в $F.$

Пространства дифференцируемых функций дают и другие ненормируемые примеры. Рассмотрим пространство гладких функций $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ такой, что $\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty ,$ где $a$ и $B$ являются мультииндексами . Семейство полунорм, определяемое формулой $p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|$ отделено и счетно, а пространство полно, поэтому это метризуемое пространство является пространством Фреше. Оно известно как пространство Шварца , или пространство функций быстрого убывания, а его двойственное пространство — пространство умеренных распределений .

Важным функциональным пространством в функциональном анализе является пространство $D(U)$ гладких функций с компактной поддержкой в $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$ Топология этого пространства требует более детального построения, поскольку пространство $C_{0}^{\infty }(U)$ не является полным в единой норме. Топология на $D(U)$ определяется следующим образом: для любого фиксированного компакта $K\subseteq U,$ пространство $C_{0}^{\infty }(K)$ функций $f\in C_{0}^{\infty }$ с $\operatorname {supp} (f)\subseteq K$ — пространство Фреше со счетным семейством полунорм $\|f\|_{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left|D^{k}f(x)\right|$ (это вообще-то норм, и пополнение пространства $C_{0}^{\infty }(K)$ с $\|\cdot \|_{m}$ норма является банаховым пространством $D^{m}(K)$). Учитывая любую коллекцию $\left(K_{a}\right)_{a\in A}$ компактов, направленных по включению и таких, что их объединение равно $U,$ тот $C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)$ образуют прямую систему , а $D(U)$ определяется как предел этой системы. Такой предел пространств Фреше известен как пространство ЛФ . Более конкретно, $D(U)$ это объединение всех $C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)$ с сильнейшей локально выпуклой топологией, которая делает каждое отображение включения $C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)$ непрерывный. Это пространство локально выпуклое и полное. Однако оно не метризуемо и поэтому не является пространством Фреше. Двойное пространство $D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ — пространство распределений на $\mathbb {R} ^{n}.$

Более абстрактно, учитывая топологическое пространство. $X,$ пространство $C(X)$ непрерывных (не обязательно ограниченных) функций на $X$ можно задать топологию равномерной сходимости на компактах. Эта топология определяется полунормами $\varphi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}$ (как $K$ меняется на направленном множестве всех компактных подмножеств $X$). Когда $X$ локально компактно (например, открытое множество в $\mathbb {R} ^{n}$) применяется теорема Стоуна – Вейерштрасса - в случае вещественнозначных функций любая подалгебра $C(X)$ разделяющая точки и содержащая постоянные функции (например, подалгебру многочленов), является плотной .

Примеры пространств без локальной выпуклости

Многие топологические векторные пространства локально выпуклы. Примеры пространств, в которых отсутствует локальная выпуклость, включают следующее:

• Пространства ​ $L^{p}([0,1])$ для $0<p<1$ оснащены F-нормой $$\|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.$$ Они не являются локально выпуклыми, поскольку единственной выпуклой окрестностью нуля является все пространство. В более общем плане пространства $L^{p}(\mu )$ с безатомной конечной мерой $\mu$ и $0<p<1$ не являются локально выпуклыми.
• Пространство измеримых функций на единичном интервале $[0,1]$ (где мы идентифицируем две функции, которые равны почти всюду ) имеет топологию векторного пространства, определяемую трансляционно-инвариантной метрикой (которая вызывает сходимость по мере измеримых функций; для случайных величин сходимость по мере - это сходимость по вероятности ): $$d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx.$$ Это пространство часто обозначается $L_{0}.$

Оба примера обладают тем свойством, что любое непрерывное линейное отображение действительных чисел является $0.$ В частности, их дуальное пространство тривиально, т. е. содержит только нулевой функционал.

• Пространство последовательности $\ell ^{p}(\mathbb {N} ),$ $0<p<1,$ не является локально выпуклым.

Непрерывные отображения

Основная статья: Непрерывная линейная карта

Теорема - Позволять $T:X\to Y$ быть линейным оператором между TVS, где $Y$ локально выпукла (заметим, что $X$ обязательно должен не быть локально выпуклым). Затем $T$ непрерывна тогда и только тогда, когда для любой непрерывной полунормы $q$ на $Y$, существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такой, что $q\circ T\leq p.$

Поскольку локально выпуклые пространства являются топологическими пространствами, а также векторными пространствами, естественными функциями, которые следует рассматривать между двумя локально выпуклыми пространствами, являются непрерывные линейные отображения . Используя полунормы, можно задать необходимый и достаточный критерий непрерывности линейного отображения, который очень напоминает более известное условие ограниченности, обнаруженное для банаховых пространств.

Учитывая локально выпуклые пространства $X$ и $Y$ с семьями полунорм $\left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }$ и $\left(q_{\beta }\right)_{\beta }$ соответственно линейное отображение $T:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого $\beta ,$ существуют $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ и $M>0$ такой, что для всех $v\in X,$ $$q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right).$$

Другими словами, каждая полунорма диапазона $T$ ограничено сверху некоторой конечной суммой полунорм в области . Если семья $\left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }$ является направленным семейством, и его всегда можно выбрать в качестве направленного, как объяснено выше, тогда формула становится еще проще и знакомее: $$q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).$$

Класс всех локально выпуклых топологических векторных пространств образует категорию с непрерывными линейными отображениями в качестве морфизмов .

Линейные функционалы

Теорема - Если $X$ является TVS (не обязательно локально выпуклым), и если $f$ является линейным функционалом от $X$, затем $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такой, что $|f|\leq p.$

Если $X$ является действительным или комплексным векторным пространством, $f$ является линейным функционалом от $X$, и $p$ является полунормой по $X$, затем $|f|\leq p$ тогда и только тогда, когда $f\leq p.$ Если $f$ - ненулевой линейный функционал в действительном векторном пространстве. $X$ и если $p$ является полунормой по $X$, затем $f\leq p$ тогда и только тогда, когда $f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .$

Мультилинейные карты

Позволять $n\geq 1$ быть целым числом, $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — TVS (не обязательно локально выпуклые), пусть $Y$ быть локально выпуклой TVS, топология которой определяется семейством ${\mathcal {Q}}$ непрерывных полунорм, и пусть $M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y$ полилинейный оператор , линейный в каждом из своих $n$ координаты. Следующие действия эквивалентны:

1. $M$ является непрерывным.
2. Для каждого $q\in {\mathcal {Q}},$ существуют непрерывные полунормы $p_{1},\ldots ,p_{n}$ на $X_{1},\ldots ,X_{n},$ соответственно, такой, что $q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)$ для всех $x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.$
3. Для каждого $q\in {\mathcal {Q}},$ существует некоторая окрестность начала координат в $\prod _{i=1}^{n}X_{i}$ на котором $q\circ M$ ограничен.

См. также

• Выпуклое метрическое пространство - метрическое пространство со свойством: любой сегмент, соединяющий две точки в этом пространстве, имеет в себе другие точки, помимо конечных точек. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема Крейна – Милмана - Когда пространство равно замкнутой выпуклой оболочке своих крайних точек.
• Линейная форма - Линейная карта векторного пространства в его поле скаляров.
• Локально выпуклая векторная решетка
• Функционал Минковского - функция, составленная из множества.
• Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Сублинейный функционал — тип функции в линейной алгебре. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Топологическая группа - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.
• Векторное пространство - алгебраическая структура в линейной алгебре

Ссылки

• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-29587-7 . OCLC   262692874 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бессага, К.; Пелчинский, А. (1975), Избранные темы бесконечномерной топологии , Monografie Matematyczne, Варшава: Panstwowe ed. научный .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN  0-471-60848-3 . OCLC   18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .