✖


Jump to content

Выпуклость в экономике

Выпуклость в экономике включена в классификационные коды JEL как JEL: C65.
Часть серии о
Экономика
Отрасли и классификации
Концепции, теория и методы
По заявке
Известные экономисты
Списки

Выпуклость — геометрическое свойство, имеющее множество применений в экономике . [1] Неофициально экономическое явление является выпуклым, когда «промежуточные (или их комбинации) лучше крайностей». Например, экономический агент с выпуклыми предпочтениями предпочитает комбинации товаров наличию большого количества товаров какого-либо одного вида; это представляет собой своего рода уменьшающуюся предельную полезность от увеличения количества того же блага.

Выпуклость является ключевым упрощающим допущением во многих экономических моделях, поскольку она приводит к поведению рынка, которое легко понять и которое обладает желаемыми свойствами. Например, Эрроу-Дебре модель общего экономического равновесия утверждает, что если предпочтения выпуклы и существует совершенная конкуренция, то совокупное предложение будет равняться совокупному спросу на каждый товар в экономике.

Напротив, невыпуклость связана с провалами рынка , когда спрос и предложение различаются или когда рыночное равновесие может быть неэффективным .

Раздел математики, дающий инструменты для исследования выпуклых функций и их свойств, называется выпуклым анализом ; невыпуклые явления изучаются при негладком анализе .

Предварительные сведения [ править ]

Экономика зависит от следующих определений и результатов выпуклой геометрии .

Действительные векторные пространства [ править ]

Иллюстрация выпуклого набора, который выглядит как диск: Выпуклый набор (зеленый) содержит (черный) отрезок, соединяющий точки x и y. Весь отрезок лежит внутри выпуклого множества.
Выпуклое множество покрывает отрезок , соединяющий любые две его точки.
Иллюстрация невыпуклого множества, напоминающего бумеранг или орех кешью. (Зеленый) невыпуклый набор содержит (черный) отрезок, соединяющий точки x и y. Часть отрезка лежит за пределами (зеленого) невыпуклого множества.
Невыпуклое множество не может покрыть точку на некотором отрезке, соединяющем две его точки.
Отрезки линии проверяют выпуклость .

Действительному обозначаются векторному пространству двух измерений может быть задана декартова система координат , в которой каждая точка идентифицируется списком из двух действительных чисел, называемых «координатами», которые обычно x и y . Две точки на декартовой плоскости можно добавить по координатам.

( Икс 1 , у 1 ) + ( Икс 2 , у 2 ) знак равно ( Икс 1 + Икс 2 , у 1 + у 2 );

далее точку можно умножить на каждое действительное число λ по координатам

λ ( Икс , y ) знак равно ( λx , λy ).

В более общем смысле, любое действительное векторное пространство (конечной) размерности D можно рассматривать как набор всех возможных списков D действительных чисел { ( v 1 , v 2 ,..., v D ) } вместе с двумя операциями : сложением векторов. и умножение на действительное число . Для конечномерных векторных пространств каждая операция сложения векторов и умножения действительных чисел может быть определена по координатам, следуя примеру декартовой плоскости.

Выпуклые множества [ править ]

Изображение сглаженного треугольника, похожего на треугольную тортилью или треугольный дорожный знак. Каждый из трех закругленных углов нарисован красной кривой. Остальные внутренние точки треугольной формы заштрихованы синим цветом.
В выпуклой оболочке красного множества каждая синяя точка представляет собой выпуклую комбинацию нескольких красных точек.

В реальном векторном пространстве множество называется выпуклым , если для каждой пары его точек каждая точка отрезка соединяющего их покрыта этим множеством. Например, сплошной куб выпуклый; однако все, что полое или вдавленное, например, в форме полумесяца , не является выпуклым. Тривиально , пустое множество выпукло.

Более формально, множество Q является выпуклым, если для всех точек v 0 и v 1 в Q и для каждого действительного числа λ в единичном интервале [0,1] точка

(1 − λ ) v 0 + λv 1

является членом Q. ​ ​

По математической индукции множество Q является выпуклым тогда и только тогда, когда каждая комбинация членов Q также принадлежит Q. выпуклая По определению, выпуклая комбинация индексированного подмножества { v 0 , v 1 , . . . , v D } векторного пространства — это любое средневзвешенное значение   λ 0 v 0 + λ 1 v 1 + . . . + λ D v D , для некоторого индексированного набора неотрицательных действительных чисел { λ d }, удовлетворяющего уравнению λ 0 + λ 1 + . . . + λ Д = 1.

Из определения выпуклого множества следует, что пересечение двух выпуклых множеств является выпуклым множеством. В более общем смысле пересечение семейства выпуклых множеств представляет собой выпуклое множество.

Выпуклая оболочка [ править ]

Для каждого подмножества Q вещественного векторного пространства его выпуклая оболочка Conv( Q ) является минимальным выпуклым множеством, содержащим Q . Таким образом, Conv( Q ) является пересечением всех выпуклых множеств, покрывающих Q . Выпуклую оболочку множества можно эквивалентным образом определить как множество всех выпуклых комбинаций точек в Q .

полупространства пересекающиеся Двойственность :

множество Выпуклое (розовым) — опорная гиперплоскость (пунктирная линия) и полупространство, ограниченное гиперплоскостью, содержащей (голубого цвета).

Опорная гиперплоскость — это понятие в геометрии . Гиперплоскость два делит пространство на полупространства . что гиперплоскость поддерживает множество Говорят , в реальном n -пространстве если он соответствует обоим из следующих условий:

  • целиком содержится в одном из двух замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостью
  • имеет хотя бы одну точку на гиперплоскости.

Здесь замкнутое полупространство — это полупространство, включающее гиперплоскость.

Поддержка гиперплоскости теоремы о

Выпуклое множество может иметь более одной опорной гиперплоскости в данной точке его границы.

Эта теорема утверждает, что если — замкнутое выпуклое множество в и точка на границе это то существует опорная гиперплоскость, содержащая

Гиперплоскость в теореме может быть не единственной, как видно на втором рисунке справа. Если замкнутое множество не выпукла, то утверждение теоремы неверно во всех точках границы как показано на третьем рисунке справа.

Опорная гиперплоскость, содержащая данную точку на границе может не существовать, если не является выпуклым.

Экономика [ править ]

Потребитель предпочитает вектор товаров ( Q x , Q y ) другим доступным векторам. При этом оптимальном векторе бюджетная линия поддерживает кривую безразличия   I 2 .

бюджетным Оптимальная корзина товаров возникает там, где выпуклый набор предпочтений ограничением потребителя поддерживается , как показано на диаграмме. Если множество предпочтений выпуклое, то множество оптимальных решений потребителя представляет собой выпуклое множество, например, единственную оптимальную корзину (или даже отрезок оптимальных корзин).

Для простоты будем считать, что предпочтения потребителя могут быть описаны функцией полезности , которая является непрерывной функцией что множества предпочтений замкнуты , из чего следует , . (Значение термина «замкнутое множество» объясняется ниже, в подразделе, посвященном приложениям оптимизации.)

Невыпуклость [ править ]

Основная статья: Невыпуклость (экономика)
См. Также: лемма Шепли – Фолкмана.
Когда потребительские предпочтения имеют вогнутости, линейные бюджеты не обязательно должны поддерживать равновесие: потребители могут переключаться между распределениями.

Если набор предпочтений невыпуклый, то некоторые цены создают бюджет, поддерживающий два различных оптимальных решения о потреблении. Например, мы можем представить, что для зоопарков лев стоит столько же, сколько орел, и что бюджета зоопарка хватает на одного орла или одного льва. Мы также можем предположить, что смотритель зоопарка считает любое животное одинаково ценным. В этом случае зоопарк приобретет либо одного льва, либо одного орла. Конечно, современный зоомагазин не захочет покупать половину орла и половину льва (или грифона )! Таким образом, предпочтения современного смотрителя зоопарка невыпуклы: смотритель зоопарка предпочитает иметь любое животное, а не любую строго выпуклую комбинацию обоих.

Невыпуклые множества были включены в теории общего экономического равновесия. [2] провалов рынка , [3] и общественной экономики . [4] Эти результаты описаны в учебниках по микроэкономике для аспирантов . [5] теория общего равновесия, [6] теория игр , [7] математическая экономика , [8] и прикладная математика (для экономистов). [9] Результаты леммы Шепли -Фолкмана устанавливают, что невыпуклость совместима с приблизительным равновесием на рынках со многими потребителями; эти результаты также применимы к производственным экономикам со множеством мелких фирм . [10]

В « олигополиях » (на рынках доминирует несколько производителей), особенно в « монополиях » (на рынках доминирует один производитель), невыпуклости остаются важными. [11] Обеспокоенность по поводу того, что крупные производители эксплуатируют рыночную власть, фактически положила начало литературе о невыпуклых множествах, когда Пьеро Сраффа писал о фирмах с растущей отдачей от масштаба в 1926 году: [12] после чего Гарольд Хотеллинг в 1938 году написал о ценообразовании по предельным издержкам . [13] И Сраффа, и Хотеллинг пролили свет на рыночную власть производителей, не имеющих конкурентов, явно стимулируя появление литературы, посвященной стороне предложения в экономике. [14] Невыпуклые множества возникают также с экологическими благами (и другими внешними эффектами ), [15] [16] с информационной экономикой , [17] и с фондовыми рынками [11] (и другие неполные рынки ). [18] [19] Такие приложения продолжали мотивировать экономистов изучать невыпуклые множества. [20]

анализ Негладкий ​ ​

Экономисты все чаще изучают невыпуклые множества с помощью негладкого анализа , который обобщает выпуклый анализ . «Невыпуклость в [как] производстве, так и в потреблении... требовала математических инструментов, выходящих за рамки выпуклости, и дальнейшее развитие должно было ожидать изобретения негладкого исчисления» (например, локального липшицевого исчисления Фрэнсиса Кларка), как описано Рокафеллар и Мокрые (1998) [21] и Мордухович (2006) , [22] по словам Хана (2008) . [23] Браун (1991 , стр. 1967–1968) писал, что «главным методологическим новшеством в анализе общего равновесия фирм с правилами ценообразования» было «внедрение методов негладкого анализа как [синтеза] глобального анализа ( дифференциальная топология) и выпуклый анализ». Согласно Брауну (1991 , стр. 1966), «негладкий анализ расширяет локальную аппроксимацию многообразий касательными плоскостями [и расширяет] аналогичную аппроксимацию выпуклых множеств касательными конусами до множеств», которые могут быть негладкими или негладкими. выпуклый. [24] Экономисты также использовали алгебраическую топологию . [25]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Ньюман (1987c)
  2. ^ Страницы 392–399 и страница 188: Эрроу, Кеннет Дж .; Хан, Фрэнк Х. (1971). «Приложение Б: Выпуклые и родственные множества» . Общий конкурентный анализ . Тексты по математической экономике [Продвинутые учебники по экономике]. Сан-Франциско: Holden-Day, Inc. [Северная Голландия]. стр. 375–401 . ISBN  978-0-444-85497-1 . МР   0439057 .
    Страницы 52–55 с приложениями на стр. 145–146, 152–153 и 274–275: Мас-Колелл, Андреу (1985). «1.L Средние значения наборов». Теория общего экономического равновесия: дифференцируемый подход . Монографии Эконометрического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-26514-0 . МР   1113262 .
    Теорема C(6) на стр. 37 и приложения на стр. 115–116, 122 и 168: Хильденбранд, Вернер (1974). Ядро и равновесие большой экономики . Принстон изучает математическую экономику. Издательство Принстонского университета. стр. VIII+251. ISBN  978-0-691-04189-6 . МР   0389160 .
  3. ^ Страницы 112–113 в разделе 7.2 «Выпуклость числами» (и в более общем плане стр. 107–115): Саланье, Бернар (2000). «7 невыпуклостей». Микроэкономика провалов рынка 1998 г. (английский перевод французской микроэкономики: провалы рынка (Economica, Париж) ( ), изд.). МТИ Пресс. стр. 107–125. ISBN  978-0-262-19443-3 .
  4. ^ Страницы 63–65: Лаффон, Жан-Жак (1988). «3 невыпуклости» . Основы народной экономики . Массачусетский технологический институт. ISBN  978-0-262-12127-9 .
  5. ^ Вариан, Хэл Р. (1992). «21.2 Выпуклость и размер» . Микроэкономический анализ (3-е изд.). WW Norton & Company. стр. 393–394 . ISBN  978-0-393-95735-8 . МР   1036734 .
    Страница 628: Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д.; Грин, Джерри Р. (1995). «17.1 Крупные экономики и невыпуклости». Микроэкономическая теория . Издательство Оксфордского университета. стр. 627–630. ISBN  978-0-19-507340-9 .
  6. ^ Страница 169 в первом издании: Старр, Росс М. (2011). «8 Выпуклые множества, теоремы разделения и невыпуклые множества в R Н «. Теория общего равновесия: Введение (Второе изд.). Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139174749 . ISBN  978-0-521-53386-7 . МР   1462618 .
    У Элликсона, страница xviii, и особенно глава 7 «Вальрас встречает Нэша» (особенно раздел 7.4 «Невыпуклость», страницы 306–310 и 312, а также 328–329) и глава 8 «Что такое конкуренция?» (стр. 347 и 352): Элликсон, Брайан (1994). Конкурентное равновесие: Теория и приложения . Издательство Кембриджского университета. п. 420. ИСБН  978-0-521-31988-1 .
  7. ^ Теорема 1.6.5 на страницах 24–25: Итииси, Тацуро (1983). Теория игр для экономического анализа . Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Харкорт Брейс Йованович, Издательство]. стр. х+164. ISBN  978-0-12-370180-0 . МР   0700688 .
  8. ^ Страницы 127 и 33–34: Кассельс, JWS (1981). «Приложение А. Выпуклые множества». Экономика для математиков . Серия конспектов лекций Лондонского математического общества. Том. 62. Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. xi+145. ISBN  978-0-521-28614-5 . МР   0657578 .
  9. ^ Страницы 93–94 (особенно пример 1.92), 143, 318–319, 375–377 и 416: Картер, Майкл (2001). Основы математической экономики . МТИ Пресс. стр. хх+649. ISBN  978-0-262-53192-4 . МР   1865841 .
    Страница 309: Мур, Джеймс К. (1999). Математические методы экономической теории: I. Том Исследования по экономической теории. Том. 9. Берлин: Шпрингер-Верлаг. стр. xii+414. дои : 10.1007/978-3-662-08544-8 . ISBN  978-3-540-66235-8 . МР   1727000 .
    Страницы 47–48: Флоренцано, Моник; Ле Ван, Куонг (2001). Конечномерная выпуклость и оптимизация . Исследования по экономической теории. Том. 13. в сотрудничестве с Паскалем Гурделем. Берлин: Springer-Verlag. стр. xii+154. дои : 10.1007/978-3-642-56522-9 . ISBN  978-3-540-41516-9 . МР   1878374 . S2CID   117240618 .
  10. ^ Экономисты изучали невыпуклые множества, используя передовую математику, особенно дифференциальную геометрию и топологию , категорию Бэра , теорию меры и интегрирования и эргодическую теорию : Трокель, Уолтер (1984). Рыночный спрос: анализ крупных экономик с невыпуклыми предпочтениями . Конспект лекций по экономике и математическим системам. Том. 223. Берлин: Springer-Verlag. стр. VIII+205. дои : 10.1007/978-3-642-46488-1 . ISBN  978-3-540-12881-6 . МР   0737006 .
  11. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Страница 1: Геснери, Роджер (1975). «Оптимальность по Парето в невыпуклых экономиках». Эконометрика . 43 (1): 1–29. дои : 10.2307/1913410 . JSTOR   1913410 . МР   0443877 . ( Геснери, Роджер (1975). «Ошибка». Эконометрика . 43 (5–6): 1010. дои : 10.2307/1911353 . JSTOR   1911353 . МР   0443878 . )
  12. ^ Сраффа, Пьеро (1926). «Законы отдачи в конкурентных условиях». Экономический журнал . 36 (144): 535–550. дои : 10.2307/2959866 . JSTOR   2959866 . S2CID   6458099 .
  13. ^ Хотеллинг, Гарольд (июль 1938 г.). «Общее благосостояние в отношении проблем налогообложения, железнодорожных и коммунальных тарифов». Эконометрика . 6 (3): 242–269. дои : 10.2307/1907054 . JSTOR   1907054 .
  14. ^ Страницы 5–7: Квинзи, Мартина (1992). Повышение отдачи и эффективности (Исправленный перевод (1988) Увеличение отдачи и экономическая эффективность . Париж: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique ed.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. VIII+165. ISBN  978-0-19-506553-4 .
  15. ^ Страницы 106, 110–137, 172 и 248: Баумол, Уильям Дж .; Оутс, Уоллес Э. (1988). «8 Вредные внешние эффекты и невыпуклости в производственном наборе». Теория экологической политики . при участии В.С. Бавы и Дэвида Ф. Брэдфорда (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. х+299. ISBN  978-0-521-31112-0 .
  16. ^ Старретт, Дэвид А. (1972). «Фундаментальные невыпуклости в теории внешних эффектов». Журнал экономической теории . 4 (2): 180–199. дои : 10.1016/0022-0531(72)90148-2 . МР   0449575 .
    Старретт обсуждает невыпуклости в своем учебнике по государственной экономике (стр. 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147 и 234–236): Старретт, Дэвид А. (1988). Основы общественной экономики . Кембриджские экономические справочники. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521348010 . невыпуклость ИЛИ невыпуклость.
  17. ^ Раднер, Рой (1968). «Конкурентное равновесие в условиях неопределенности». Эконометрика . 36 (1): 31–53. дои : 10.2307/1909602 . JSTOR   1909602 .
  18. ^ Страница 270: Дрез, Жак Х. (1987). «14 Инвестиции в частную собственность: оптимальность, равновесие и стабильность». В Дрезе, Дж. Х. (ред.). Очерки экономических решений в условиях неопределенности . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 261–297. дои : 10.1017/CBO9780511559464 . ISBN  978-0-521-26484-6 . МР   0926685 . (Первоначально опубликовано как Дрез, Жак Х. (1974). «Инвестиции в частную собственность: оптимальность, равновесие и стабильность». В Дрезе, Дж. Х. (ред.). Распределение в условиях неопределенности: равновесие и оптимальность . Нью-Йорк: Уайли. стр. 129–165. )
  19. ^ Страница 371: Мэгилл, Майкл; Квинзи, Мартина (1996). «6 Производство в финансовой экономике. Раздел 31 Товарищество». Теория неполных рынков . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 329–425.
  20. ^ Мас-Колелл, А. (1987). «Невыпуклость» (PDF) . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Нью-Пэлгрейв: Экономический словарь (первое изд.). Пэлгрейв Макмиллан. стр. 653–661. дои : 10.1057/9780230226203.3173 . ISBN  9780333786765 .
  21. ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Дж. Б. (1998). Вариационный анализ . Фундаментальные принципы математических наук. Том 317. Берлин: Springer-Verlag. стр. xiv+733. дои : 10.1007/978-3-642-02431-3 . ISBN  978-3-540-62772-2 . МР   1491362 . S2CID   198120391 .
  22. ^ Глава 8 «Приложения к экономике», особенно раздел 8.5.3 «Введите невыпуклость» (и оставшаяся часть главы), особенно страница 495:
    Мордухович, Борис С. (2006). Вариационный анализ и обобщенное дифференцирование II : Приложения . Серия Грундлерена (Основные принципы математических наук). Том. 331. Спрингер. стр. I – XXII и 1–610. МР   2191745 .
  23. ^ Хан, М. Али (2008). «Совершенная конкуренция» . В Дюрлауфе, Стивен Н.; Блюм, Лоуренс Э. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. стр. 354–365. дои : 10.1057/9780230226203.1267 . ISBN  978-0-333-78676-5 .
  24. ^ Браун, Дональд Дж. (1991). «36 Равновесный анализ с использованием невыпуклых технологий». В Хильденбранде, Вернер ; Зонненшайн, Хьюго (ред.). Справочник по математической экономике, том IV . Справочники по экономике. Том. 1. Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. 1963–1995 [1966]. дои : 10.1016/S1573-4382(05)80011-6 . ISBN  0-444-87461-5 . МР   1207195 .
  25. ^ Чичилнисский, Г. (1993). «Пересекающиеся семейства множеств и топология конусов в экономике» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 29 (2): 189–207. arXiv : математика/9310228 . Бибкод : 1993math.....10228C . CiteSeerX   10.1.1.234.3909 . дои : 10.1090/S0273-0979-1993-00439-7 . МР   1218037 .

Ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Convexity_in_economics&oldid=1228041261"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 71c1d4a9c37cafc867d8c23dca69b784__1717897140
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/71/84/71c1d4a9c37cafc867d8c23dca69b784.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Convexity in economics - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)