Выпуклые предпочтения

В экономике . выпуклые предпочтения — это упорядочение индивидом различных результатов, обычно в отношении количества различных потребляемых товаров, со свойством, которое, грубо говоря, «средние значения лучше, чем крайности» Эта концепция примерно соответствует концепции убывающей предельной полезности без необходимости использования функций полезности .

Обозначения

«больше или равно» порядка Сопоставимо с отношением $\geq$ для действительных чисел обозначение $\succeq$ ниже можно перевести как: «по крайней мере так же хорошо, как» (в удовлетворении предпочтений ).

Сходным образом, $\succ$ можно перевести как «строго лучше, чем» (при удовлетворении предпочтений). $\sim$ можно перевести как «эквивалентно» (при удовлетворении предпочтений).

Определение

Используйте x , y и z для обозначения трех потребительских наборов (комбинаций различных количеств различных товаров). Формально отношение предпочтения $\succeq$ на множестве потребления X называется выпуклым, если всякий раз, когда

$x,y,z\in X$ где $y\succeq x$ и $z\succeq x$,

тогда для каждого $\theta \in [0,1]$:

$\theta y+(1-\theta )z\succeq x$.

т.е. для любых двух пакетов, каждый из которых считается по крайней мере таким же хорошим, как третий пакет, средневзвешенное значение этих двух пакетов считается по крайней мере таким же хорошим, как третий пакет.

Отношение предпочтения $\succeq$ называется строго выпуклым, если всегда

$x,y,z\in X$ где $y\succeq x$, $z\succeq x$, и $y\neq z$,

тогда для каждого $\theta \in (0,1)$:

$\theta y+(1-\theta )z\succ x$

т. е. для любых двух различных пакетов, каждый из которых рассматривается как минимум не хуже третьего пакета, средневзвешенное значение двух пакетов (включая положительное количество каждого пакета) рассматривается как строго лучшее, чем третий пакет.

Альтернативное определение

Используйте x и y для обозначения двух потребительских пакетов. Отношение предпочтения $\succeq$ называется выпуклым, если для любого

$x,y\in X$ где $y\succeq x$

тогда для каждого $\theta \in [0,1]$:

$\theta y+(1-\theta )x\succeq x$.

То есть, если пакет y предпочтительнее пакета x , то любое сочетание y с x по-прежнему предпочтительнее x .

Отношение предпочтения называется строго выпуклым, если всегда

$x,y\in X$ где $y\sim x$, и $x\neq y$,

тогда для каждого $\theta \in (0,1)$:

$\theta y+(1-\theta )x\succ x$.

$\theta y+(1-\theta )x\succ y$.

То есть для любых двух пакетов, которые считаются эквивалентными, средневзвешенное значение этих двух пакетов лучше, чем каждый из этих пакетов.

Примеры

1. Если существует только один вид товара, то любое слабо-монотонно возрастающее отношение предпочтения является выпуклым. Это потому, что, если $y\geq x$, то каждое средневзвешенное значение y и ס также $\geq x$.

2. Рассмотрим экономику с двумя типами товаров: 1 и 2. Рассмотрим отношение предпочтений, представленное следующей функцией полезности Леонтьева :

$u(x_{1},x_{2})=\min(x_{1},x_{2})$

Это отношение предпочтения является выпуклым. Доказательство : предположим, что x и y — два эквивалентных расслоения, т.е. $\min(x_{1},x_{2})=\min(y_{1},y_{2})$. Если товар минимального количества в обоих комплектах один и тот же (например, товар 1), то это означает, что $x_{1}=y_{1}\leq x_{2},y_{2}$. Тогда любое средневзвешенное значение также содержит одинаковое количество товара 1, поэтому любое средневзвешенное значение эквивалентно $x$ и $y$. Если минимальный товар в каждой пачке различен (например, $x_{1}\leq x_{2}$ но $y_{1}\geq y_{2}$), то это означает $x_{1}=y_{2}\leq x_{2},y_{1}$. Затем $\theta x_{1}+(1-\theta )y_{1}\geq x_{1}$ и $\theta x_{2}+(1-\theta )y_{2}\geq y_{2}$, так $\theta x+(1-\theta )y\succeq x,y$. Это отношение предпочтения является выпуклым, но не строго выпуклым.

3. Отношение предпочтения, представленное линейными функциями полезности , является выпуклым, но не строго выпуклым. В любое время $x\sim y$, каждая выпуклая комбинация $x,y$ эквивалентен любому из них.

4. Рассмотрим отношение предпочтения, представленное:

$u(x_{1},x_{2})=\max(x_{1},x_{2})$

Это отношение предпочтения не является выпуклым. Доказательство : пусть $x=(3,5)$ и $y=(5,3)$. Затем $x\sim y$ поскольку оба имеют полезность 5. Однако выпуклая комбинация $0.5x+0.5y=(4,4)$ хуже, чем они оба, поскольку его полезность равна 4.

Связь с кривыми безразличия и функциями полезности

Набор выпуклых отображает выпуклые предпочтения: если задана выпуклая кривая безразличия, содержащая набор всех наборов товаров (из двух или более товаров) , кривых безразличия которые считаются одинаково желательными, набор всех наборов товаров, которые рассматриваются как находящиеся на По крайней мере, желательно, чтобы на кривой безразличия было выпуклое множество .

Выпуклые предпочтения и связанное с ними выпуклое отображение безразличия возникают из квазивогнутых функций полезности, хотя они не являются необходимыми для анализа предпочтений. Например, функции полезности постоянной эластичности замещения (CES) описывают выпуклые гомотетические предпочтения. Предпочтения CES самодвойственны, и как первичные, так и двойственные предпочтения CES образуют системы кривых безразличия, которые могут демонстрировать любую степень выпуклости.

См. также

• Выпуклая функция
• Установлен уровень
• Квазивыпуклая функция
• Полунепрерывная функция
• Лемма Шепли – Фолкмана.