Теорема Радемахера

В математическом анализе теорема Радемахера , названная в честь Ганса Радемахера , утверждает следующее: если U — открытое подмножество R ^н и f : U → R ^м непрерывна по Липшицу , то f дифференцируема почти всюду в U ; то есть точки в U , в которых f не дифференцируемо , образуют множество нулевой меры Лебега . Под дифференцируемостью здесь понимается бесконечно малая аппроксимация линейным отображением, что, в частности, утверждает существование частных производных по координатам.

Эскиз доказательства

Одномерный случай теоремы Радемахера является стандартным результатом во вводных текстах по теоретико-мерному анализу. В этом контексте естественно доказать более общее утверждение о том, что любая функция ограниченной вариации с одной переменной дифференцируема почти всюду. (Это одномерное обобщение теоремы Радемахера не распространяется на более высокие измерения.)

Одно из стандартных доказательств общей теоремы Радемахера было найдено Чарльзом Морри . Далее пусть u обозначает липшицево-непрерывную функцию на R ^н . Первый шаг доказательства — показать, что для любого фиксированного единичного вектора v производная по v -направлению u существует почти всюду. Это следствие частного случая теоремы Фубини : измеримого множества в R ^н имеет нулевую меру Лебега, если его ограничение на каждую прямую, параллельную v, имеет (одномерную) нулевую меру Лебега. Учитывая, в частности, множество в R ^н где v -направленная производная u не существует (которая должна быть измерима), последнее условие выполняется благодаря одномерному случаю теоремы Радемахера.

Второй шаг доказательства Морри устанавливает линейную зависимость v -производной u по направлению от v . Это основано на следующем тождестве:

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {u(x+h\nu )-u(x)}{h}}\zeta (z)\,d{\mathcal {L}}^{n}(x)=-\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {\zeta (x)-\zeta (x-h\nu )}{h}}u(x)\,d{\mathcal {L}}^{n}(x).$

Используя предположение Липшица относительно u , можно применить теорему о доминируемой сходимости для замены двух разностных факторов в приведенном выше выражении соответствующими производными по v -направлению. Затем, основываясь на известной линейной зависимости производной , ζ по направлению от v то же самое можно доказать и для u с помощью основной леммы вариационного исчисления .

На этом этапе доказательства градиент (определяемый как набор частных производных) гарантированно существует почти везде; для каждого v скалярное произведение с v равно производной по v -направлению почти везде (хотя, возможно, на меньшем наборе). Следовательно, для любого счетного набора единичных векторов v ₁ , v ₂ , ... существует единственный набор E нулевой меры такой, что градиент и каждая направлению vi _{производная по} существуют всюду в дополнении E и связаны между собой. по скалярному произведению. Выбрав v ₁ , v ₂ , ... как плотные в единичной сфере, можно использовать условие Липшица, чтобы доказать существование каждой производной по направлению всюду в дополнении к E вместе с ее представлением в виде скалярного произведения градиента с направлением.

Доказательство Морри также можно рассматривать в контексте обобщенных производных . Другое доказательство, также посредством сведения к одномерному случаю, использует технологию приближенных пределов .

Приложения

Теорему Радемахера можно использовать, чтобы доказать, что для любого p ≥ 1 пространство Соболева W ^{1, с} (Ω) сохраняется при билипшицевом преобразовании области, при этом цепное правило сохраняется в стандартной форме. С соответствующими изменениями это распространяется и на более общие пространства Соболева W ^{к , п} (Ой) .

Теорема Радемахера также важна при изучении геометрической теории меры и спрямляемых множеств , поскольку она позволяет анализировать дифференциальную геометрию первого порядка, в частности, касательные плоскости и нормальные векторы . Понятия более высокого порядка, такие как кривизна, остаются более тонкими, поскольку их обычные определения требуют большей дифференцируемости, чем достигается теоремой Радемахера. При наличии выпуклости дифференцируемость второго порядка достигается теоремой Александрова , доказательство которой можно смоделировать на основе доказательства теоремы Радемахера. В некоторых особых случаях теорема Радемахера даже используется как часть доказательства.

Обобщения

Альберто Кальдерон доказал более общий факт: если Ω — открытое ограниченное множество в R ^н тогда каждая функция из пространства Соболева W ^{1, с} (Ω) дифференцируемо почти всюду при условии, что p > n . Теорема Кальдерона является относительно прямым следствием теоремы дифференцирования Лебега и теоремы вложения Соболева . Теорема Радемахера является частным случаем, поскольку любая липшицева функция на Ω является элементом пространства W ^1,∞ (Ой) .

Существует версия теоремы Радемахера, которая справедлива для липшицевых функций из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство в терминах метрических дифференциалов вместо обычной производной.

См. также

• Производная Пансу

Ссылки

Источники

• Эванс, Лоуренс К .; Гариепи, Рональд Ф. (2015). Теория меры и тонкие свойства функций . Учебники по математике (переработанное издание оригинальной редакции 1992 г.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . дои : 10.1201/b18333 . ISBN  978-1-4822-4238-6 . МР   3409135 . Збл   1310.28001 .
• Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория измерений . Основные положения математических наук. Том 153. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN  978-3-540-60656-7 . МР   0257325 . Збл   0176.00801 .
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ. Современные методы и их применение . Чистая и прикладная математика (второе издание оригинальной редакции 1984 г.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-31716-0 . МР   1681462 . Збл   0924.28001 .
• Хейнонен, Юха (2001). Лекции по анализу метрических пространств . Университеттекст. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4613-0131-8 . ISBN  0-387-95104-0 . МР   1800917 . Збл   0985.46008 .
• Морри, Чарльз Б. младший (1966). Кратные интегралы в вариационном исчислении . Основные положения математических наук. Том 130. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-69952-1 . ISBN  978-3-540-69915-6 . МР   0202511 . Збл   1213.49002 .
• Радемахер, Ганс (1919). «О частичной и полной дифференцируемости функций многих переменных и о преобразовании двойных интегралов» . Математические летописи . 79 (4): 340–359. дои : 10.1007/BF01498415 . ЯФМ   47.0243.01 . МР   1511935 .
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (Третье издание оригинальной редакции 1966 г.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. ISBN  0-07-054234-1 . МР   0924157 . Збл   0925.00005 .
• Саймон, Леон (1983). Лекции по геометрической теории меры (PDF) . Труды Центра математического анализа Австралийского национального университета. Том. 3. Канберра: Австралийский национальный университет, Центр математического анализа. ISBN  0-86784-429-9 . МР   0756417 . Збл   0546.49019 .
• Виллани, Седрик (2009). Оптимальный транспорт. Старое и новое . Основные принципы математических наук. Том 338. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-71050-9 . ISBN  978-3-540-71049-3 . МР   2459454 . Збл   1156.53003 .
• Цимер, Уильям П. (1989). Слабо дифференцируемые функции. Пространства Соболева и функции ограниченной вариации . Тексты для аспирантов по математике . Том. 120. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-1015-3 . ISBN  0-387-97017-7 . МР   1014685 . Збл   0692.46022 .

Внешние ссылки

• Хейнонен, Юха (2004). «Лекции по липшицевому анализу» (PDF) . Лекции на 14-й Летней школе Ювяскюля в августе 2004 г. (Теорема Радемахера с доказательством находится на стр. 18 и далее.)