Приблизительный предел

В математике приближенный предел — это обобщение обычного предела для вещественных функций . нескольких действительных переменных

Функция f на $\mathbb {R} ^{k}$ имеет приблизительный предел y в точке x, если существует множество F которого равна , плотность этой точке, такое, что если xn _— последовательность , в F которая сходится к x, то f ( xn _{1 в} ) сходится к y .

Характеристики

Приближенный предел функции, если он существует, единственен. Если f имеет обычный предел в точке x , то у него также есть приблизительный предел с тем же значением.

Обозначим приблизительный предел f в точке x ₀ через $\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x).$

Многие свойства обычного предела справедливы и для приближенного предела.

В частности, если a — скаляр, а f и g — функции, следующие уравнения верны, если значения в правой части четко определены (то есть существуют приблизительные пределы, а в последнем уравнении приблизительный предел g равен ненулевое.)

{\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ a\cdot f(x)&=a\cdot \lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)+g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)+\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)-g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)-\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)\cdot g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)\cdot \lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)/g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)/\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\end{aligned}}

Приближенная непрерывность и дифференцируемость

Если

\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)=f(x_{0})

тогда приблизительно говорят, что непрерывна в точке x0 _f . Если f является функцией только одной действительной переменной и разностного фактора

{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

имеет приблизительный предел, когда h приближается к нулю, мы говорим, что f имеет приблизительную производную в точке x ₀ . Оказывается, из приближенной дифференцируемости следует приблизительная непрерывность, в полной аналогии с обычной непрерывностью и дифференцируемостью .

Также оказывается, что обычные правила для производной суммы, разности, произведения и частного имеют прямое обобщение на приближенную производную. Однако не существует обобщения цепного правила , которое было бы верным в целом.

Внешние ссылки

Ссылки

Брукнер, Эндрю (1994), Дифференциация действительных функций (второе изд.), Книжный магазин AMS, ISBN 0-8218-6990-6
Толстов, Г.П. (2001) [1994], «Приблизительный предел» , Энциклопедия Математики , EMS Press