Выпрямляемый набор

Эта статья о спрямляемых множествах в теории меры. Информацию о спрямляемых кривых см. в разделе « Длина дуги» .

В математике — спрямляемое множество это множество, гладкое в определенном смысле теории меры . Это расширение идеи спрямляемой кривой на более высокие измерения; Грубо говоря, спрямляемое множество — это строгая формулировка кусочно гладкого множества. По существу, оно обладает многими желательными свойствами гладких многообразий , включая касательные пространства, определенные почти всюду . Спрямляемые множества являются основным объектом изучения геометрической теории меры .

Определение

Подмножество Бореля $E$ пространства евклидова $\mathbb {R} ^{n}$ Говорят, что это $m$-спрямляемое множество, если $E$ имеет размерность Хаусдорфа $m$, и существует счетный набор $\{f_{i}\}$ непрерывно дифференцируемых отображений

$f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

такой, что $m$- мера Хаусдорфа ${\mathcal {H}}^{m}$ из

$E\setminus \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)$

равен нулю. Обратная косая черта здесь обозначает установленную разницу . Эквивалентно, $f_{i}$ можно считать липшицевым, не меняя определения. У других авторов есть другие определения, например, не требующие $E$ быть $m$-мерный, но вместо этого требуя этого $E$ — счетное объединение множеств, являющихся образом липшицева отображения некоторого ограниченного подмножества $\mathbb {R} ^{n}$.

Набор $E$ говорят, что это чисто $m$-нескорректируемый, если для всякого (непрерывного, дифференцируемого) $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, у одного есть

${\mathcal {H}}^{m}\left(E\cap f\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right)=0.$

Стандартным примером чисто 1-неспрямляемого множества в двух измерениях является декартово произведение самого множества времен Смита-Вольтерры-Кантора .

Спрямляемые множества в метрических пространствах

Федерер (1969 дает следующую терминологию для m -спрямляемых множеств E в общем метрическом пространстве X. , стр. 251–252 )

1. Е это $m$ спрямляемо, если существует отображение Липшица $f:K\to E$ для некоторого ограниченного подмножества $K$ из $\mathbb {R} ^{m}$ на $E$.
2. E счетно ​ $m$ спрямляемо, когда E равно объединению счетного семейства $m$ выпрямляемые множества.
3. E счетно ​ $(\phi ,m)$ исправимо, когда $\phi$ является мерой на X и существует счетное $m$ спрямляемое множество F такое, что $\phi (E\setminus F)=0$.
4. Е это $(\phi ,m)$ спрямляемо, когда E счетно $(\phi ,m)$ исправимый и $\phi (E)<\infty$
5. E - это чисто $(\phi ,m)$ неисправимо, когда $\phi$ является мерой X и E, не содержит $m$ спрямляемое множество F с $\phi (F)>0$.

Определение 3 с $\phi ={\mathcal {H}}^{m}$ и $X=\mathbb {R} ^{n}$ наиболее близко к приведенному выше определению подмножеств евклидовых пространств.

Ссылки

• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Основные положения математических наук, том. 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xiv+676, ISBN.  978-3-540-60656-7 , МР   0257325
• TCO'Neil (2001) [1994], «Геометрическая теория меры» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Саймон, Леон (1984), Лекции по геометрической теории меры , Труды Центра математического анализа, том. 3, Канберра : Центр математики и ее приложений (CMA), Австралийский национальный университет , стр. VII + 272 (с ошибками), ISBN  0-86784-429-9 , Збл   0546.49019

Внешние ссылки

• Спрямляемый набор в Математической энциклопедии