Геометрическая теория меры

В математике геометрическая теория меры ( ГМТ ) представляет собой изучение геометрических свойств множеств (обычно в евклидовом пространстве ) посредством теории меры . Это позволяет математикам распространить инструменты дифференциальной геометрии на гораздо более широкий класс поверхностей , которые не обязательно являются гладкими .

История

Геометрическая теория меры родилась из желания решить проблему Плато (названную в честь Джозефа Плато ), которая спрашивает, существует ли для каждой гладкой замкнутой кривой в $\mathbb {R} ^{3}$ существует поверхность наименьшей площади среди всех поверхностей, граница которых равна данной кривой, . Такие поверхности имитируют мыльные пленки .

Проблема оставалась открытой с тех пор, как ее поставил в 1760 году Лагранж . Она была решена независимо в 1930-х годах Джесси Дугласом и Тибором Радо при определенных топологических ограничениях. В 1960 году Герберт Федерер и Венделл Флеминг использовали теорию токов , с помощью которой они смогли решить проблему ориентируемого Плато аналитически без топологических ограничений, что положило начало теории геометрической меры. Позже Джин Тейлор после Фреда Альмгрена доказала законы Плато для тех особенностей, которые могут возникать в этих более общих мыльных пленках и скоплениях мыльных пузырей.

Важные понятия

Следующие объекты являются центральными в геометрической теории меры:

• Мера Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа
• Спрямляемые множества (или меры Радона ), которые представляют собой множества с наименьшей возможной регулярностью, необходимой для допуска приближенных касательных пространств .
• Характеристика спрямляемости через наличие приближенных касательных, плотностей, проекций и т. д.
• Ортогональные проекции, множества Какеи , множества Безиковича
• Равномерная исправимость
• Спрямляемость и равномерная спрямляемость (подмножеств) метрических пространств , например субримановых многообразий, групп Карно, групп Гейзенберга и т. д.
• Связь с сингулярными интегралами, преобразованием Фурье, мерами Фростмана, гармоническими мерами и т. д.
• Токи , обобщение концепции ориентированных многообразий , возможно, с краем .
• Плоские цепи, альтернативное обобщение понятия многообразий , возможно, с краем .
• Множества Каччиопполи (также известные как множества с локально конечным периметром), обобщение концепции многообразий , к которым применяется теорема о дивергенции .
• Задачи минимизации типа плато из вариационного исчисления

Центральными также являются следующие теоремы и понятия:

• Формула площади , обобщающая понятие замены переменных при интегрировании.
• Формула коплощади , которая обобщает и адаптирует теорему Фубини к геометрической теории меры.
• Изопериметрическое неравенство , которое гласит, что наименьшая возможная длина окружности для данной площади — это длина круглого круга .
• Плоская сходимость , обобщающая понятие сходимости многообразий.

Примеры

для Неравенство Брунна–Минковского n -мерных объемов выпуклых тел K и L :

$\mathrm {vol} {\big (}(1-\lambda )K+\lambda L{\big )}^{1/n}\geq (1-\lambda )\mathrm {vol} (K)^{1/n}+\lambda \,\mathrm {vol} (L)^{1/n},$

может быть доказано на одной странице и быстро приводит к классическому изопериметрическому неравенству . Неравенство Брунна-Минковского также приводит к теореме Андерсона в статистике. Доказательство неравенства Брунна – Минковского предшествует современной теории меры; Развитие теории меры и интеграции Лебега позволило установить связь между геометрией и анализом до такой степени, что в интегральной форме неравенства Брунна-Минковского, известной как неравенство Прекопы-Лейндлера, геометрия кажется почти полностью отсутствующей.

См. также

• Набор Каччиопполи
• Очистить формулу
• Течения
• Герберт Федерер
• Кривая Осгуда

Ссылки

• Федерер, Герберт ; Флеминг, Венделл Х. (1960), «Нормальные и интегральные токи», Annals of Mathematics , II, 72 (4): 458–520, doi : 10.2307/1970227 , JSTOR   1970227 , MR   0123260 , Zbl   0187.31301 . Первая статья Федерера и Флеминга, иллюстрирующая их подход к теории периметров, основанный на теории токов .
• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , серия «Основные положения математических наук», том. Том 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag New York Inc., стр. xiv+676, ISBN.  978-3-540-60656-7 , МР   0257325
• Федерер, Х. (1978), «Лекции на коллоквиуме по геометрической теории меры», Bull. амер. Математика. Соц. , 84 (3): 291–338, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14462-0
• Фоменко, Анатолий Т. (1990), Вариационные принципы в топологии (многомерная теория минимальной поверхности) , Математика и ее приложения (книга 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-0792302308
• Гарднер, Ричард Дж. (2002), «Неравенство Брунна-Минковского», Bull. амер. Математика. Соц. (NS) , 39 (3): 355–405 (электронный), doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 , ISSN   0273-0979 , MR   1898210
• Маттила, Пертти (1999), Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах , Лондон: Издательство Кембриджского университета, стр. 356, ISBN  978-0-521-65595-8
• Морган, Фрэнк (2009), Геометрическая теория меры: руководство для начинающих (Четвертое изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press Inc., стр. viii+249, ISBN  978-0-12-374444-9 , МР   2455580
• Тейлор, Джин Э. (1976), «Структура особенностей на минимальных поверхностях, подобных мыльному пузырю и мыльной пленке», Annals of Mathematics , Second Series, 103 (3): 489–539, doi : 10.2307/ 1970949 , JSTOR   1970949 , MR   0428181 .
• О'Нил, TC (2001) [1994], «Геометрическая теория меры» , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Страница Питера Мёртерса по Гринвичу
• Страница Тоби О'Нила по Гринвичу со ссылками