Формула площади (геометрическая теория меры)

В геометрической теории меры формула площади связывает меру Хаусдорфа образа липшицева карты с учетом кратности с интегралом якобиана карты . Это один из фундаментальных результатов в области, связанной, например, с выпрямляемостью и теоремой Сарда .

Определение: данное $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ и $A\subset \mathbb {R} ^{n}$, функция кратности $N(f,A,y),\,y\in \mathbb {R} ^{m}$, — (возможно, бесконечное) количество точек в прообразе $f^{-1}(y)\cap A$. Функцию кратности также называют банаховой индикатрисой. Обратите внимание, что $N(f,A,y)={\mathcal {H}}^{0}(f^{-1}(y)\cap A)$. Здесь, ${\mathcal {H}}^{n}$ обозначает n -мерную меру Хаусдорфа и ${\mathcal {L}}^{n}$ будет обозначать n -мерную меру Лебега .

Теорема: Если $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ это Липшиц и $n\leq m$, то для любого измеримого $A\subset \mathbb {R} ^{n}$, $$\int _{A}{J}(Df(x))\,d{\mathcal {L}}^{n}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}N(f,A,y)\,d{\mathcal {H}}^{n}(y)\,,$$где $${J}(Df(x))={\sqrt {\det(Df(x)^{t}Df(x))}}$$является якобианом $Df(x)$.

Измеримость функции множественности является частью утверждения. Якобиан почти всюду определяется теоремой Радемахера о дифференцируемости .

Теорему впервые доказал Герберт Федерер ( Федерер, 1969 ).

Источники

• Амбросио, Луиджи ; Фуско, Никола ; Паллара, Диего (2000). Функции ограниченной вариации и задачи свободного разрыва . Оксфордские математические монографии. Нью-Йорк: Кларендон Пресс . ISBN  0-19-850245-1 . МР   1857292 . Збл   0957.49001 .
• Эванс, Лоуренс К .; Гариепи, Рональд Ф. (2015). Теория меры и тонкие свойства функций . Учебники по математике (переработанное издание оригинальной редакции 1992 г.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . дои : 10.1201/b18333 . ISBN  978-1-4822-4238-6 . МР   3409135 . Збл   1310.28001 .
• Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория измерений . Основные положения математических наук. Том 153. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN  978-3-540-60656-7 . МР   0257325 . Збл   0176.00801 .
• Саймон, Леон (1983). Лекции по геометрической теории меры (PDF) . Труды Центра математического анализа Австралийского национального университета. Том. 3. Канберра: Австралийский национальный университет, Центр математического анализа. ISBN  0-86784-429-9 . МР   0756417 . Збл   0546.49019 .

Внешние ссылки

• «Формула площади» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]