Герберт Федерер
Герберт Федерер (23 июля 1920 г. - 21 апреля 2010 г.) [1] [2] был американским математиком . Он является одним из создателей геометрической теории меры , находящейся на стыке дифференциальной геометрии и математического анализа . [3]
Карьера [ править ]
Федерер родился 23 июля 1920 года в Вене , Австрия . После эмиграции в США в 1938 году он изучал математику и физику в Калифорнийском университете в Беркли , получив степень доктора философии. будучи студентом Энтони Морса в 1944 году. Затем он провел практически всю свою карьеру в качестве сотрудника математического факультета Университета Брауна , откуда в конце концов вышел на пенсию со званием почетного профессора.
Федерер написал более тридцати научных работ в дополнение к своей книге «Геометрическая теория меры» . Проект «Математическая генеалогия» присвоил ему девять докторов философии. студентов и более сотни последующих потомков. Среди его самых продуктивных учеников — покойный Фредерик Дж. Альмгрен-младший (1933–1997), профессор Принстона в течение 35 лет, и его последний студент Роберт Хардт , который сейчас учится в Университете Райса.
Федерер был членом Национальной академии наук . В 1987 году он и его коллега из Брауна Уэнделл Флеминг Американского математического общества выиграли премию Стила «за новаторскую работу в области нормальных и интегральных токов ». [ФФ60]
Математическая работа [ править ]
В 1940-х и 1950-х годах Федерер внес большой вклад в техническое взаимодействие геометрии и теории меры. Конкретные темы включали площадь поверхности, спрямляемость множеств и степень, в которой можно заменить спрямляемостью гладкость в классическом анализе поверхностей. Особенно примечательным ранним достижением (улучшением более ранней работы Абрама Безиковича ) была характеристика чисто неисправимых множеств как множеств, которые «исчезают» почти при всех проекциях. [4] [5] Федерер также внес заметный вклад в изучение теоремы Грина о низкой регулярности. [6] Теория емкости с модифицированными показателями была разработана Федерером и Уильямом Цимерами. [ФЗ73] В своей первой опубликованной статье, написанной доктором философии. советником Энтони Морсом , Федерер доказал теорему Федерера-Морса , которая утверждает, что любая непрерывная сюръекция между компактными метрическими пространствами может быть ограничена борелевским подмножеством , чтобы стать инъекцией, без изменения образа. [7]
Одна из самых известных статей Федерера «Меры кривизны » была опубликована в 1959 году. [F59] [8] Цель состоит в том, чтобы установить теоретико-мерные формулировки анализа второго порядка в дифференциальной геометрии, особенно кривизны . Формула Штайнера сформировала фундаментальный прецедент в работе Федерера; он установил, что объем окрестности выпуклого множества в евклидовом пространстве задается многочленом. Если граница выпуклого множества представляет собой гладкое подмногообразие, то коэффициенты формулы Штейнера определяются его кривизной. Работа Федерера была направлена на разработку общей формулировки этого результата. Класс подмножеств, который он определил, - это класс подмножеств положительной досягаемости , включающий в себя как класс выпуклых множеств, так и класс гладких подмногообразий. Он доказал формулу Штейнера для этого класса, определив в качестве коэффициентов обобщенные интегралы квермассы (названные мерами кривизны Федерером ). В той же статье Федерер доказал формулу коплощади , которая стала стандартным результатом учебника по теории меры . [9]
Вторая знаковая статья Федерера, «Нормальные и интегральные токи» , была написана в соавторстве с Венделлом Флемингом . [ФФ60] В своей работе они показали, что проблема Плато для минимальных поверхностей может быть решена в классе интегральных токов , которые можно рассматривать как обобщенные подмногообразия. Более того, они выявили новые результаты по изопериметрической задаче и ее связи с теоремой вложения Соболева . Их статья положила начало новому и плодотворному периоду исследований большого класса геометрических вариационных задач, особенно минимальных поверхностей.
В 1969 году Федерер опубликовал свою книгу «Геометрическая теория меры» , которая входит в число наиболее цитируемых книг по математике. [F69] [10] Это всеобъемлющая работа, начинающаяся с подробного описания полилинейной алгебры и теории меры . Основная часть работы посвящена исследованию выпрямляемости и теории токов . Книга заканчивается приложениями к вариационному исчислению . Книга Федерера считается авторитетным текстом по этому материалу и включает ряд новых результатов в дополнение к большому количеству материалов из прошлых исследований Федерера и других. Большая часть обсуждений токов и их приложений в его книге ограничивается интегральными коэффициентами. Позже он разработал основную теорию с использованием реальных коэффициентов. [F75]
Конкретный результат, подробно описанный в книге Федерера, заключается в том, что минимальные по площади минимальные гиперповерхности евклидова пространства являются гладкими в малых измерениях. Примерно в то же время Энрико Бомбьери , Эннио Де Джорджи и Энрико Джусти доказали, что минимальный гиперконус в восьмимерном евклидовом пространстве , впервые обнаруженный Джеймсом Саймонсом , минимизирует площадь. Таким образом, можно напрямую построить минимизирующие площадь минимальные гиперповерхности евклидова пространства, которые имеют сингулярные множества коразмерности семь. В 1970 году Федерер доказал, что эта коразмерность оптимальна: все такие особые множества имеют коразмерность не менее семи. [F70] Его аргументы по уменьшению размерности для этой цели стали стандартной частью литературы по геометрической теории меры и геометрическому анализу . [11] [12] Позже Федерер также нашел новое доказательство результата Бомбьери–Де Джорджи–Джусти. [F75]
Основные публикации [ править ]
Федерер был автором около тридцати научных работ, а также своего знаменитого учебника «Геометрическая теория меры» .
| Ф59. | Федерер, Герберт (1959). «Меры кривизны» . Труды Американского математического общества . 93 (3): 418–491. дои : 10.1090/S0002-9947-1959-0110078-1 . МР 0110078 . Збл 0089.38402 . |
| ФФ60. | Федерер, Герберт; Флеминг, Венделл Х. (1960). «Нормальные и интегральные токи». Анналы математики . Вторая серия. 72 (3): 458–520. дои : 10.2307/1970227 . JSTOR 1970227 . МР 0123260 . Збл 0187.31301 . |
| Ф69. | Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория измерений . Основные положения математических наук. Том 153. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN 978-3-540-60656-7 . МР 0257325 . Збл 0176.00801 . |
| ФЗ73. | Федерер, Герберт; Цимер, Уильям П. (1973). «Множество Лебега функции, производные по распределению которой суммируются в p -й степени » Математический журнал Университета Индианы . 22 (2): 139–158. дои : 10.1512/iumj.1973.22.22013 . МР 0435361 . Збл 0238.28015 . |
| Ф75. | Федерер, Герберт (1975). «Настоящие плоские цепи, коцепи и вариационные задачи» . Математический журнал Университета Индианы . 24 (4): 351–407. дои : 10.1512/iumj.1975.24.24031 . МР 0348598 . Збл 0289.49044 . |
Ссылки [ править ]
- ^ «Справочник членов NAS: Федерер, Герберт» . Национальная академия наук . Проверено 15 июня 2010 г.
- ^ «Герберт Федерер — Биография» . История математики . Проверено 22 мая 2023 г.
- ^ Паркс, Х. (2012) Вспоминая Герберта Федерера (1920–2010) , NAMS 59 (5), 622–631.
- ^ Федерер 1969 .
- ^ Пертти Маттила. Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах.
- ^ Владимир Мазья. Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям в частных производных.
- ^ Партасарати, КР (1967). Вероятностные меры в метрических пространствах . Вероятность и математическая статистика. Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, Inc.
- ^ Рольф Шнайдер. Выпуклые тела: теория Брунна–Минковского.
- ^ Эванс и Гариепи. Теория меры и тонкие свойства функций.
- ^ Гоффман, Каспер (1971). «Обзор: геометрическая теория меры Герберта Федерера» . Бюллетень Американского математического общества . 77 (1): 27–35. дои : 10.1090/s0002-9904-1971-12603-4 .
- ^ Энрико Джусти. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации.
- ^ Леон Саймон. Лекции по геометрической теории меры.
Внешние ссылки [ править ]
- Страница Федерера в Брауне
- Венделл Х. Флеминг и Уильям П. Цимер, «Герберт Федерер», Биографические мемуары Национальной академии наук (2014)
- Герберт Федерер в проекте «Математическая генеалогия»
| Международный | |
|---|---|
| Национальный | |
| академики | |
| Другой | |
