Емкость комплекта

В математике емкость множества в евклидовом пространстве является мерой «размера» этого множества. В отличие, скажем, от меры Лебега или физическую протяженность множества , которая измеряет объем , емкость является математическим аналогом способности набора удерживать электрический заряд . Точнее, это емкость набора: общий заряд, который набор может удерживать при сохранении заданной потенциальной энергии . Потенциальная энергия вычисляется относительно идеализированной точки на бесконечности для гармонической или ньютоновской емкости и относительно поверхности для емкости конденсатора .

Историческая справка

Понятие емкости множества и «емкостного» множества было введено Гюставом Шоке в 1950 году: подробное описание см. в ссылке ( Choquet 1986 ).

Определения

Емкость конденсатора

Пусть Σ — замкнутая гладкая ( n − 1) -мерная гиперповерхность в n -мерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$, n ≥ 3; K будет обозначать n -мерное компактное (т. е. замкнутое и ограниченное которого является Σ ) множество, границей . Пусть S — другая ( n − 1)-мерная гиперповерхность, заключающая в себе Σ: в связи с ее происхождением из электромагнетизма пара (Σ, S ) известна как конденсатор . Емкость конденсатора Σ относительно S , обозначаемая C (Σ, S ) или cap(Σ, S ), определяется поверхностным интегралом

$C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma ',$

где:

• u — единственная гармоническая функция, определенная в области D между Σ и S с граничными условиями u ( x ) = 1 на Σ и u ( x ) = 0 на S ;
• S ′ — любая промежуточная поверхность между Σ и S ;
• ν — внешнее единичное нормальное поле к S ′ и

${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)$

— производная u ′ по S ; нормальная и

• σ _н = 2 р ^{n ⁄2} ⁄ Γ( n ⁄ 2) — площадь поверхности единичной сферы в $\mathbb {R} ^{n}$.

C (Σ, S ) можно эквивалентно определить с помощью объемного интеграла

$C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.$

Емкость конденсатора также имеет вариационную характеристику : C (Σ, S ) — нижняя грань Дирихле . энергетического функционала

$I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x$

по всем непрерывно дифференцируемым функциям v на D с v ( x ) = 1 на Σ и v ( x ) = 0 на S .

Гармоническая мощность

Эвристически гармоническая емкость K , области, ограниченной Σ, может быть найдена путем определения емкости конденсатора Σ относительно бесконечности. Точнее, пусть u — гармоническая функция в дополнении к K, удовлетворяющая u = 1 на Σ и u ( x ) → 0 при x → ∞. Таким образом, u — ньютоновский потенциал простого слоя Σ. Тогда гармоническая емкость или емкость K K , обозначаемая C ( K ) или cap( ньютоновская ), определяется формулой

$C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.$

Если S — спрямляемая гиперповерхность, полностью охватывающая K , то гармоническую емкость можно эквивалентным образом переписать как интеграл по S от внешней нормальной производной u :

$C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .$

Гармоническую емкость также можно понимать как предел емкости конденсатора. То есть, пусть S _r обозначает сферу радиуса r вокруг начала координат в $\mathbb {R} ^{n}$. Поскольку K ограничено, при достаточно большом r а S _r будет заключать в себе K, (Σ, S _r ) образует конденсаторную пару. Гармоническая мощность тогда является пределом , поскольку r стремится к бесконечности:

$C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).$

Гармоническая емкость представляет собой математически абстрактную версию электростатической емкости проводника K и всегда неотрицательна и конечна: 0 ≤ C ( K ) < +∞.

Емкость Винера или константа Робина W(K) для K определяется выражением

$C(K)=e^{-W(K)}$

Логарифмическая емкость

В двух измерениях емкость определяется так же, как указано выше, но с понижением коэффициента $(n-2)$ в определении:

$C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma '={\frac {1}{2\pi }}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x$

Это часто называют логарифмической емкостью , термин логарифмический возникает, поскольку потенциальная функция переходит от обратной степени к логарифму в $n\to 2$ предел. Это сформулировано ниже. Ее также можно назвать конформной емкостью , учитывая ее отношение к конформному радиусу .

Характеристики

Гармоническая функция u называется емкостным потенциалом , ньютоновским потенциалом, когда $n\geq 3$ и логарифмический потенциал , когда $n=2$. Его можно получить с помощью функции Грина как

$u(x)=\int _{S}G(x-y)d\mu (y)$

где x - точка, внешняя по отношению к S , и

$G(x-y)={\frac {1}{|x-y|^{n-2}}}$

когда $n\geq 3$ и

$G(x-y)=\log {\frac {1}{|x-y|}}$

для $n=2$.

Мера ​ $\mu$ называется емкостной мерой или равновесной мерой . Обычно ее принимают за меру Бореля . Это связано с емкостью, т.

$C(K)=\int _{S}d\mu (y)=\mu (S)$

Вариационное определение емкости по энергии Дирихле можно выразить как

$C(K)=\left[\inf _{\lambda }E(\lambda )\right]^{-1}$

с инфимумом, взятым над всеми положительными мерами Бореля $\lambda$ сосредоточено на K , нормировано так, что $\lambda (K)=1$ и с $E(\lambda )$ интеграл энергии

$E(\lambda )=\int \int _{K\times K}G(x-y)d\lambda (x)d\lambda (y)$

Обобщения

Приведенная выше характеристика емкости набора как минимума функционала энергии , достигающего определенных граничных значений, может быть распространена на другие функционалы энергии в вариационном исчислении .

Дивергенция формирует эллиптические операторы

Решения равномерно эллиптического уравнения в частных производных дивергентной формы

$\nabla \cdot (A\nabla u)=0$

являются минимизаторами соответствующего энергетического функционала

$I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x$

при соблюдении соответствующих граничных условий.

Емкость множества E относительно области D, содержащей E, определяется как нижняя грань энергии по всем непрерывно дифференцируемым функциям v на D с v ( x ) = 1 на E ; и v ( x ) = 0 на границе D .

Минимальная энергия достигается с помощью функции, известной как емкостный потенциал E и по отношению к D она решает проблему препятствий на D с помощью функции препятствия, обеспечиваемой функцией E. индикаторной , Емкостный потенциал альтернативно характеризуется как единственное решение уравнения с соответствующими граничными условиями.

См. также

• Аналитическая емкость – число, обозначающее, насколько большой может стать определенная ограниченная аналитическая функция. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Емкость – способность тела сохранять электрический заряд.
• Ньютоновский потенциал - функция Грина для лапласиана
• Теория потенциала - Гармонические функции как решения уравнения Лапласа
• Теория Шоке - Область функционального анализа и выпуклого анализа

Ссылки

• Брело, Марсель (1967) [1960], Лекции по теории потенциала (Записки К. Н. Гоурисанкарана и М. К. Венкатеши Мурти.) (PDF) , Лекции Института фундаментальных исследований Таты по математике и физике. Математика., вып. 19 (2-е изд.), Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR   0259146 , Zbl   0257.31001 . Второе издание этих конспектов лекций, переработанное и дополненное с помощью С. Рамасвами, перенабранное, проверенное один раз и свободно доступное для скачивания.
• Шоке, Гюстав (1986), «Рождение теории способностей: размышления о личном опыте» , Труды Академии наук. Общая серия, La Vie des Sciences (на французском языке), 3 (4): 385–397, MR   0867115 , Zbl   0607.01017 , доступно в Gallica . Исторический отчет о развитии теории емкости ее основателем и одним из основных авторов; английский перевод названия гласит: «Рождение теории способностей: размышления о личном опыте».
• Дуб, Джозеф Лео (1984), Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог , Basic Teachings of the Mathematical Sciences, vol. 262, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xxiv+846 , ISBN.  0-387-90881-1 , МР   0731258 , Збл   0549.31001
• Литтман, В .; Стампаккья, Г. ; Вайнбергер, Х. (1963), «Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами» , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze , Serie III, 17 (12): 43–77, MR   0161019 , Zbl   0116.30302 , доступно в НУМДАМЕ .
• Рэнсфорд, Томас (1995), Теория потенциала в комплексной плоскости , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 28, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-46654-7 , Збл   0828.31001
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Ёмкость» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Константа Робина» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Энергия меры» , Энциклопедия Математики , EMS Press