Конформный радиус

В математике конформный радиус — это способ измерения размера односвязной плоской области D, из точки z если смотреть на нее . В отличие от понятий, использующих евклидово расстояние (скажем, радиус наибольшего вписанного диска с центром z ), это понятие хорошо подходит для использования в комплексном анализе , в частности в конформных отображениях и конформной геометрии .

Близким понятием является трансфинитный диаметр или (логарифмическая) емкость компактного , который можно односвязного множества D рассматривать как обратную величину конформного радиуса дополнения E = D. ^с смотреть с бесконечности .

Определение

Учитывая односвязную область D ⊂ C и точку z ∈ D , по теореме об отображении Римана существует единственное конформное отображение f : D → D на единичный круг (обычно называемое униформизирующим отображением ) с f ( z ) знак равно 0 ∈ D и ж ′( z ) ∈ р ₊ . Конформный радиус D от z тогда определяется как

\operatorname {rad} (z,D):={\frac {1}{f'(z)}}\,.

Самый простой пример: конформный радиус диска радиуса r, если смотреть из его центра, также равен r , что показано униформизирующим отображением x ↦ x / r . Дополнительные примеры см. ниже.

Одна из причин полезности этого понятия заключается в том, что оно хорошо ведет себя при конформных отображениях: если φ : D → D ′ является конформной биекцией и z в D , то $\operatorname {rad} (\varphi (z),D')=|\varphi '(z)|\operatorname {rad} (z,D)$ .

Конформный радиус также можно выразить как $\exp(\xi _{x}(x))$ где $\xi _{x}(y)$ является гармоническим продолжением $\log(|x-y|)$ от $\partial D$ к $D$ .

Особый случай: верхняя полуплоскость

Пусть K ⊂ H — такое подмножество верхней полуплоскости , что D := H \ K связно и односвязно, и пусть z ∈ D — точка. (Это обычный сценарий, скажем, в эволюции Шрамма–Лёвнера ). По теореме Римана об отображении существует конформная биекция g : D → H . Тогда для любого такого отображения g простое вычисление дает следующее:

\operatorname {rad} (z,D)={\frac {2\operatorname {Im} (g(z))}{|g'(z)|}}\,.

Например, когда K = ∅ и z = i , то g может быть тождественным отображением, и мы получаем rad( i , H ) = 2. Проверка того, что это согласуется с исходным определением: униформизирующее отображение f : H → D есть

f(z)=i{\frac {z-i}{z+i}},

и тогда производную можно легко вычислить.

Отношение к радиусу

То, что это хорошая мера радиуса, показывает следующее непосредственное следствие леммы Шварца и теоремы Кёбе 1/4 : для z ∈ D ⊂ C ,

{\frac {\operatorname {rad} (z,D)}{4}}\leq \operatorname {dist} (z,\partial D)\leq \operatorname {rad} (z,D),

где dist( z , ∂ D ) обозначает евклидово расстояние между z и границей D центром или, другими словами, радиус наибольшего вписанного диска с z .

Оба неравенства являются наилучшими:

Верхняя оценка, очевидно, достигается, если взять D = D и z = 0.

Нижняя оценка достигается следующей «щелевой областью»: D = C \ R ₊ и z = − r ∈ R ₋ . Отображение квадратного корня φ переводит D в верхнюю полуплоскость H , причем

\varphi (-r)=i{\sqrt {r}}

и производная

|\varphi '(-r)|={\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}

. Приведенная выше формула для верхней полуплоскости дает

\operatorname {rad} (i{\sqrt {r}},\mathbb {H} )=2{\sqrt {r}}

, и тогда формула преобразования при конформных отображениях дает rad(− r , D ) = 4 r , тогда как, конечно, dist(− r , ∂ D ) = r .

Версия из бесконечности: трансфинитный диаметр и логарифмическая емкость

Если D ⊂ C — связный односвязный компакт, то его дополнение E = D ^с — связная односвязная область в сфере Римана , содержащая ∞ ^{[ нужна ссылка ]}, и можно определить

\operatorname {rad} (\infty ,D):={\frac {1}{\operatorname {rad} (\infty ,E)}}:=\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z}},

где f : C \ D → E — единственное биективное конформное отображение с f(∞) = ∞ и этот предел является положительным действительным, т. е. конформное отображение вида

f(z)=c_{1}z+c_{0}+c_{-1}z^{-1}+\cdots ,\qquad c_{1}\in \mathbf {R} _{+}.

Коэффициент c ₁ (∞, D ) равен трансфинитному диаметру и (логарифмической) емкости D = rad ; см. главу 11 Поммеренке (1975) и Кузьминой (2002) .

Коэффициент c ₀ называется центром D . конформным Можно показать, что он лежит в выпуклой оболочке D ; более того,

D\subseteq \{z:|z-c_{0}|\leq 2c_{1}\}\,,

где радиус 2 c ₁ острый для отрезка прямой длиной 4 c ₁ . См. стр. 12–13 и главу 11 Pommerenke (1975) .

Константы Фекете, Чебышева и модифицированные константы Чебышева.

Мы определяем три другие величины, равные трансфинитному диаметру, хотя они определяются с совершенно другой точки зрения. Позволять

d(z_{1},\ldots ,z_{k}):=\prod _{1\leq i<j\leq k}|z_{i}-z_{j}|

обозначим произведение попарных расстояний точек $z_{1},\ldots ,z_{k}$ и определим следующую величину для компакта D ⊂ C :

d_{n}(D):=\sup _{z_{1},\ldots ,z_{n}\in D}d(z_{1},\ldots ,z_{n})^{1\left/{\binom {n}{2}}\right.}

Другими словами, $d_{n}(D)$ является верхней границей среднего геометрического попарных расстояний n точек в D . Поскольку D компактно, эта верхняя грань фактически достигается набором точек. Любое такое множество из n точек называется множеством Фекете .

Предел $d(D):=\lim _{n\to \infty }d_{n}(D)$ существует и называется постоянной Фекете .

Теперь позвольте ${\mathcal {P}}_{n}$ обозначим множество всех монических полиномов степени n в C [ x ], пусть ${\mathcal {Q}}_{n}$ обозначим множество полиномов из ${\mathcal {P}}_{n}$ со всеми нулями в D и определим

\mu _{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|

и

{\tilde {\mu }}_{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {Q}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|

Тогда пределы

\mu (D):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(D)^{1/n}

и

\mu (D):=\lim _{n\to \infty }{\tilde {\mu }}_{n}(D)^{1/n}

существуют и называются постоянной Чебышева и модифицированной константой Чебышева соответственно. Михаэль Фекете и Габор Сеге доказали, что эти константы равны.

Приложения

Конформный радиус — очень полезный инструмент, например, при работе с эволюцией Шрамма-Лёвнера . Прекрасный пример можно найти в работе Lawler, Schramm & Werner (2002) .

Ссылки

Альфорс, Ларс В. (1973). Конформные инварианты: темы геометрической теории функций . Серия по высшей математике. МакГроу-Хилл. МР 0357743 . Збл 0272.30012 .
Хорват, Янош, изд. (2005). Панорама венгерской математики в двадцатом веке, I . Общество математических исследований Боляи. Спрингер. ISBN 3-540-28945-3 .
Кузьмина, Г.В. (2002) [1994], «Конформный радиус области» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Лоулер, Грегори Ф .; Шрамм, Одед ; Вернер, Венделин (2002), «Однорукий показатель для критической двумерной перколяции» , Electronic Journal of Probability , 7 (2): 13 стр., arXiv : math/0108211 , doi : 10.1214/ejp.v7-101 , ISSN 1083 -6489 , МР 1887622 , Збл 1015.60091
Поммеренке, Кристиан (1975). Одновалентные функции . Studia Mathematica/Учебники по математике. Том XXV. С главой Герда Йенсена о квадратных дифференциалах. Геттинген: Ванденхук и Рупрехт. Збл 0298.30014 .

Дальнейшее чтение

Румели, Роберт С. (1989), Теория емкости алгебраических кривых , Конспект лекций по математике, том. 1378, Берлин и др.: Springer-Verlag , ISBN. 3-540-51410-4 , Збл 0679.14012

Внешние ссылки

Пух, Чарльз, Конформный радиус . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram, созданного Эриком В. Вайсштейном.