Верхняя полуплоскость

В математике верхняя полуплоскость , ⁠ ${\mathcal {H}},$ ⁠ — множество точек ⁠ $(x,y)$ ⁠ в декартовой плоскости с ⁠ $y>0.$ ⁠ Нижняя полуплоскость – это множество точек ⁠ $(x,y)$ ⁠ с ⁠ $y<0$ ⁠ вместо этого. Каждый из них является примером двумерного полупространства .

Аффинная геометрия

Аффинные преобразования верхней полуплоскости включают в себя

сдвиги $(x,y)\mapsto (x+c,y)$ , $c\in \mathbb {R}$ , и
расширения $(x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)$ , $\lambda >0.$

Предложение: Пусть ⁠ $A$ ⁠ и ⁠ $B$ ⁠ — в полукруги верхней полуплоскости с центрами на границе. Тогда существует аффинное отображение, которое принимает $A$ к $B$ .

Доказательство: сначала сдвиньте центр ⁠.

A

от ⁠ до ⁠

(0,0).

⁠ Тогда возьми

\lambda =({\text{diameter of}}\ B)/({\text{diameter of}}\ A)

и расширить. Затем сдвиньте ⁠ $(0,0)$ ⁠ в центр ⁠ $B.$ ⁠

Инверсивная геометрия

Определение: ${\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}$ .

⁠ ${\mathcal {Z}}$ ⁠ можно узнать как круг радиуса ⁠ ${\tfrac {1}{2}}$ ⁠ по центру ⁠ ${\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},$ ⁠ и как полярный график $\rho (\theta )=\cos \theta .$

Предложение: ⁠ $(0,0),$ ⁠ ⁠ $\rho (\theta )$ ⁠ в ⁠ ${\mathcal {Z}},$ ⁠ и ⁠ $(1,\tan \theta )$ ⁠ являются коллинеарными точками .

Фактически, ${\mathcal {Z}}$ это инверсия линии ${\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}$ в единичном круге . Действительно, диагональ из ⁠ $(0,0)$ от ⁠ до ⁠ $(1,\tan \theta )$ ⁠ имеет квадрат длины $1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$ , так что $\rho (\theta )=\cos \theta$ является обратной величиной этой длины.

Метрическая геометрия

Расстояние между любыми двумя точками ⁠ $p$ ⁠ и ⁠ $q$ ⁠ в верхней полуплоскости можно последовательно определить следующим образом: Биссектриса отрезка из ⁠ $p$ от ⁠ до ⁠ $q$ ⁠ либо пересекает границу, либо параллельна ей. В последнем случае ⁠ $p$ ⁠ и ⁠ $q$ ⁠ лежат на луче, перпендикулярном границе, и логарифмическую меру можно использовать для определения расстояния, которое инвариантно относительно расширения. В первом случае ⁠ $p$ ⁠ и ⁠ $q$ ⁠ лежат на окружности с центром на пересечении серединного перпендикуляра и границы. По приведенному выше предложению этот круг можно переместить аффинным движением в ⁠ ${\mathcal {Z}}.$ ⁠ Расстояния на ⁠ ${\mathcal {Z}}$ ⁠ можно определить с помощью соответствия точкам на ${\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}$ и логарифмическая мера на этом луче. В результате верхняя полуплоскость становится метрическим пространством . Родовое название этого метрического пространства — гиперболическая плоскость . В терминах моделей гиперболической геометрии эту модель часто называют моделью полуплоскости Пуанкаре .

Сложный самолет

Математики иногда отождествляют декартову плоскость с комплексной плоскостью , и тогда верхняя полуплоскость соответствует набору комплексных чисел с положительной мнимой частью :

{\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.

Этот термин возник из-за распространенного представления комплексного числа. $x+iy$ как точка $(x,y)$ в плоскости, наделенной декартовыми координатами . Когда $y$ ось ориентирована вертикально, «верхняя полуплоскость » соответствует области над $x$ ось и, следовательно, комплексные числа, для которых $y>0$ .

Это область применения многих функций комплексного анализа , особенно модульных форм . Нижняя полуплоскость, определяемая ⁠ $y<0$ ⁠ одинаково хорош, но традиционно используется реже. Открытый единичный диск ⁠ ${\mathcal {D}}$ ⁠ (множество всех комплексных чисел с абсолютным значением единицы) эквивалентно конформному отображению ⁠ меньше ${\mathcal {H}}$ ⁠ (см. « Метрика Пуанкаре »), что означает, что обычно можно переходить между ⁠ ${\mathcal {H}}$ ⁠ и ⁠ ${\mathcal {D}}.$ ⁠

Он также играет важную роль в гиперболической геометрии , где модель полуплоскости Пуанкаре позволяет исследовать гиперболические движения . Метрика Пуанкаре обеспечивает гиперболическую метрику пространства.

Теорема униформизации поверхностей является утверждает, что верхняя полуплоскость универсальным пространством покрытия поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .

Замкнутая верхняя полуплоскость представляет собой объединение верхней полуплоскости и вещественной оси. Это закрытие верхней полуплоскости.

Обобщения

Одним из естественных обобщений дифференциальной геометрии является гиперболический подход. $n$ -space ⁠ ${\mathcal {H}}^{n},$ ⁠ максимально симметричный, односвязный , ⁠ $n$ ⁠ -мерное риманово многообразие с постоянной секционной кривизной $-1$ . В этой терминологии верхняя полуплоскость — это ⁠ ${\mathcal {H}}^{2}$ ⁠ поскольку оно имеет реальную размерность ⁠ $2.$ ⁠

В теории чисел теория гильбертовых модулярных форм занимается изучением определенных функций в прямом произведении ⁠ ${\mathcal {H}}^{n}$ ⁠ из ⁠ $n$ ⁠ копии верхней полуплоскости. Еще одно пространство, интересное для теоретиков чисел, — это верхнее полупространство Зигеля ⁠. ${\mathcal {H}}_{n},$ ⁠ который является областью применения модулярных форм Зигеля .

См. также

Ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Верхняя полуплоскость» . Математический мир .