Положительные действительные числа

В математике множество чисел положительных действительных , $\mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},$ — это подмножество тех действительных чисел , которые больше нуля. Неотрицательные действительные числа , $\mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},$ также включать ноль. Хотя символы $\mathbb {R} _{+}$ и $\mathbb {R} ^{+}$ неоднозначно используются для любого из них, обозначения $\mathbb {R} _{+}$ или $\mathbb {R} ^{+}$ для $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}$ и $\mathbb {R} _{+}^{*}$ или $\mathbb {R} _{*}^{+}$ для $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}$ также широко используется, соответствует практике в алгебре обозначения исключения нулевого элемента звездочкой и должен быть понятен большинству практикующих математиков.

В сложной плоскости , $\mathbb {R} _{>0}$ отождествляется с положительной вещественной осью и обычно изображается в виде горизонтального луча . Этот луч используется в качестве эталона в полярной форме комплексного числа . Действительная положительная ось соответствует комплексным числам $z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },$ с аргументом $\varphi =0.$

Характеристики

Набор $\mathbb {R} _{>0}$ замкнуто относительно сложения, умножения и деления. Она наследует топологию от вещественной прямой и, таким образом, имеет структуру мультипликативной топологической группы или аддитивной топологической полугруппы .

Для данного положительного действительного числа $x,$ последовательность ​ $\left\{x^{n}\right\}$ его целостных сил имеет три разные судьбы: когда $x\in (0,1),$ лимит равен нулю; когда $x=1,$ последовательность постоянна; и когда $x>1,$ последовательность неограничена .

$\mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )$ а мультипликативная обратная функция меняет местами интервалы. Функциональный этаж , $\operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,$ и избыток , $\operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,$ использовались для описания элемента $x\in \mathbb {R} _{>0}$ как непрерывная дробь $\left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],$ которая представляет собой последовательность целых чисел, полученную из функции пола после того, как избыток был произведен взаимным обменом. Для рационального $x,$ последовательность заканчивается точным дробным выражением $x,$ и для квадратично-иррационального $x,$ последовательность становится периодической непрерывной дробью .

Заказанный набор $\left(\mathbb {R} _{>0},>\right)$ образует полный порядок , но не множеством является хорошо упорядоченным . Двойно бесконечная геометрическая прогрессия $10^{n},$ где $n$ целое число , целиком лежит в $\left(\mathbb {R} _{>0},>\right)$ и служит для разделения его на доступ. $\mathbb {R} _{>0}$ образует шкалу отношений , высший уровень измерения . Элементы могут быть записаны в экспоненциальной записи как $a\times 10^{b},$ где $1\leq a<10$ и $b$ является целым числом в дважды бесконечной прогрессии и называется декадой . При изучении физических величин порядок десятилетий дает положительные и отрицательные порядковые номера, относящиеся к порядковой шкале, неявно присутствующей в шкале отношений.

При изучении классических групп для каждого $n\in \mathbb {N} ,$ определитель дает карту из $n\times n$ матрицы от действительных чисел к действительным числам: $\mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .$ Ограничение обратимых матриц дает отображение общей линейной группы на ненулевые действительные числа: $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.$ Ограничение матрицами с положительным определителем дает отображение $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}$; интерпретация изображения как факторгруппы по нормальной подгруппе $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),$ называемая специальной линейной группой , выражает положительные числа как группу Ли .

Шкала отношений

Среди уровней измерения шкала отношений обеспечивает наибольшую детализацию. Функция деления принимает значение единицы, когда числитель и знаменатель равны. Другие отношения сравниваются с одним с помощью логарифмов, часто десятичных логарифмов по основанию 10. Затем шкала отношений разделяется на порядки величин, используемых в науке и технике, выраженных в различных единицах измерения .

Раннее выражение шкалы отношений было геометрически сформулировано Евдоксом : «именно... на геометрическом языке была разработана общая теория пропорций Евдокса, которая эквивалентна теории положительных действительных чисел».

Логарифмическая мера

Если $[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}$ является интервалом , то $\mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a$ определяет меру для определенных подмножеств $\mathbb {R} _{>0},$ соответствующий возврату обычной меры Лебега к действительным числам под логарифмом: это длина в логарифмическом масштабе . Фактически это инвариантная мера относительно умножения $[a,b]\to [az,bz]$ по $z\in \mathbb {R} _{>0},$ точно так же, как мера Лебега инвариантна относительно сложения. В контексте топологических групп эта мера является примером меры Хаара .

Полезность этой меры проявляется в ее использовании для описания звездных величин и уровней шума в децибелах , среди других применений логарифмической шкалы . В международных стандартах ISO 80000-3 безразмерные величины называются уровнями .

Приложения

Неотрицательные действительные числа служат изображением метрик , математике норм и мер в .

Включая 0, множество $\mathbb {R} _{\geq 0}$ имеет полукольцевую структуру (0 — аддитивная единица ), известную как вероятностное полукольцо ; логарифмирование (с выбором базы, дающей логарифмическую единицу ) дает изоморфизм с лог-полукольцом (где 0 соответствует $-\infty$) и его единицы (конечные числа, исключая $-\infty$) соответствуют положительным действительным числам.

Квадрат

Позволять $Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},$ первый квадрант декартовой плоскости. Сам квадрант разделен на четыре части линией $L=\{(x,y):x=y\}$ и стандартная гипербола $H=\{(x,y):xy=1\}.$

The $L\cup H$ формирует трезубец, в то время как $L\cap H=(1,1)$ является центральной точкой. Это единичный элемент двух однопараметрических групп , которые там пересекаются: $$\{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H.$$

С $\mathbb {R} _{>0}$ это группа , $Q$ является прямым произведением групп . Однопараметрические подгруппы L и H в Q профилируют активность продукта, а $L\times H$ является разрешение типов группового действия.

Сферы бизнеса и науки изобилуют соотношениями, и любое изменение соотношений привлекает внимание. Исследование относится к гиперболическим координатам в Q . Движение против оси L указывает на изменение среднего геометрического. ${\sqrt {xy}},$ в то время как изменение вдоль H указывает на новый гиперболический угол .

См. также

• Полуполе – алгебраическая структура
• Знак (математика) - свойство числа быть положительным или отрицательным.

Библиография

• Кист, Джозеф; Литсма, Сэнфорд (1970). «Аддитивные полугруппы положительных действительных чисел». Математические Аннален . 188 (3): 214–218. дои : 10.1007/BF01350237 .