Мера продукта

В математике , зная два измеримых пространства и меры на них, можно получить произведение измеримого пространства и произведение меры в этом пространстве. Концептуально это похоже на определение декартова произведения множеств двух топологических пространств, за исключением того , и топологии произведения что может быть много естественных вариантов меры произведения.

Позволять $(X_{1},\Sigma _{1})$ и $(X_{2},\Sigma _{2})$ быть двумя измеримыми пространствами , то есть $\Sigma _{1}$ и $\Sigma _{2}$ являются сигма-алгебрами на $X_{1}$ и $X_{2}$ соответственно, и пусть $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ быть мерами на этих пространствах. Обозначим через $\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}$ сигма-алгебра декартова произведения $X_{1}\times X_{2}$ генерируется подмножествами формы $B_{1}\times B_{2}$ , где $B_{1}\in \Sigma _{1}$ и $B_{2}\in \Sigma _{2}.$ Эта сигма-алгебра называется σ-алгеброй тензорного произведения в пространстве произведений.

Мера продукта $\mu _{1}\times \mu _{2}$ (также обозначается $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ многих авторов)определяется как мера на измеримом пространстве $(X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})$ удовлетворение собственности

(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})

для всех

B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}

.

(При умножении мер, некоторые из которых бесконечны, мы определяем произведение равным нулю, если какой-либо фактор равен нулю.)

Фактически, когда пространства $\sigma$ -конечная мера произведения определена однозначно, и для каждого измеримого E множества

(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),

где $E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}$ и $E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}$ , которые являются измеримыми множествами.

Существование этой меры гарантируется теоремой Хана–Колмогорова . Единственность меры произведения гарантируется только в том случае, если оба $(X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})$ и $(X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})$ являются σ-конечными .

Борелевские меры на евклидовом пространстве R ^н получено как произведение n копий борелевских мер на вещественной прямой R. может быть

Даже если два фактора пространства продукта являются полными пространствами меры , пространство продукта может таковым не быть. Следовательно, процедура завершения необходима для расширения меры Бореля в меру Лебега или для расширения произведения двух мер Лебега для получения меры Лебега в пространстве произведений.

Конструкцией, противоположной образованию продукта двух мер, является дезинтеграция , которая в некотором смысле «разбивает» данную меру на семейство мер, которые можно интегрировать, чтобы получить исходную меру.

Примеры [ править ]

Учитывая два пространства меры, всегда существует единственная максимальная мера-произведение µ _max на их произведении со свойством, что если µ _max ( A ) конечен для некоторого измеримого множества A , то µ _max ( A ) = µ( A ) для любого мера произведения μ. В частности, его значение на любом измеримом множестве не меньше, чем значение любой другой меры продукта. Это мера, полученная по теореме Каратеодори о продолжении .
Иногда существует также единственная мера минимального произведения µ _min , заданная выражением µ _min ( S ) = sup _{A ⊂ S , µ _max ( A ) конечного} µ _max ( A ), где A и S предполагаются измеримыми.
Вот пример, когда продукт имеет более одной меры продукта. Возьмем произведение X × Y , где X — единичный интервал с мерой Лебега, а Y — единичный интервал со счетной мерой, и все множества измеримы. Тогда для меры минимального произведения мера множества есть сумма мер его горизонтальных сечений, а для меры максимального произведения мера множества имеет бесконечность, если только оно не содержится в объединении счетного числа множеств вида A × B , где либо A имеет меру Лебега 0, либо B — одна точка. (В этом случае мера может быть конечной или бесконечной.) В частности, диагональ имеет меру 0 для меры минимального продукта и бесконечность для меры максимального продукта.

См. также [ править ]

Теория Фубини

Ссылки [ править ]

Лоев, Мишель (1977). «8.2. Меры произведения и повторные интегралы». Теория вероятностей, том. Я (4-е изд.). Спрингер. стр. 135–137. ISBN 0-387-90210-4 .
Халмос, Пол (1974). «35. Меры продукта». Теория меры . Спрингер. стр. 143–145 . ISBN 0-387-90088-8 .

В эту статью включены материалы из Product Measure на сайте PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .