Дискретная мера

Схематическое изображение меры Дирака в виде линии, увенчанной стрелкой. Мера Дирака — это дискретная мера, носителем которой является точка 0. Мера Дирака любого множества, содержащего 0, равна 1, а мера любого множества, не содержащего 0, равна 0.

В математике , точнее в теории меры , мера на вещественной прямой называется дискретной мерой (относительно меры Лебега ), если она сосредоточена на не более чем счетном множестве . Поддержка не обязательно должна быть дискретным набором . Геометрически дискретная мера (на вещественной прямой относительно меры Лебега) представляет собой совокупность точечных масс.

Определение и свойства

Смотрите также: Атом (теория меры)

Учитывая две (положительные) σ-конечные меры $\mu$ и $\nu$ на измеримом пространстве $(X,\Sigma )$. Затем $\mu$ называется дискретным относительно $\nu$ если существует не более чем счетное подмножество $S\subset X$ в $\Sigma$ такой, что

1. Все синглтоны $\{s\}$ с $s\in S$ измеримы (что означает, что любое подмножество $S$ измеримо)
2. $\nu (S)=0\,$
3. $\mu (X\setminus S)=0.\,$

Мера $\mu$ на $(X,\Sigma )$ дискретен (относительно $\nu$) тогда и только тогда, когда $\mu$ имеет форму

$\mu =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\delta _{s_{i}}$

с $a_{i}\in \mathbb {R} _{>0}$ и меры Дирака $\delta _{s_{i}}$ на съемочной площадке $S=\{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ определяется как

$\delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}$

для всех $i\in \mathbb {N}$.

Можно также определить понятие дискретности для знаковых мер . Тогда вместо условий 2 и 3 выше следует спросить, что $\nu$ быть нулевым на всех измеримых подмножествах $S$ и $\mu$ быть нулем на измеримых подмножествах $X\backslash S.$

Пример на R

Мера $\mu$ определенные на измеримых по Лебегу множествах действительной прямой со значениями в $[0,\infty ]$ называется дискретным, если существует (возможно, конечная) последовательность чисел

$s_{1},s_{2},\dots \,$

такой, что

$\mu (\mathbb {R} \backslash \{s_{1},s_{2},\dots \})=0.$

Обратите внимание, что первые два требования предыдущего раздела всегда выполняются для не более чем счетного подмножества вещественной прямой, если $\nu$ является мерой Лебега.

Простейшим примером дискретной меры на действительной прямой является дельта-функция Дирака. $\delta .$ У одного есть $\delta (\mathbb {R} \backslash \{0\})=0$ и $\delta (\{0\})=1.$

В более общем смысле можно доказать, что любая дискретная мера на действительной прямой имеет вид

$\mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}$

для правильно выбранной (возможно, конечной) последовательности $s_{1},s_{2},\dots$ действительных чисел и последовательности $a_{1},a_{2},\dots$ чисел в $[0,\infty ]$ одинаковой длины.

См. также

• Изолированная точка - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
• Теорема Лебега о разложении
• Синглтон (математика) - набор ровно из одного элемента.
• Сингулярная мера - мера или распределение вероятностей, поддержка которой имеет нулевую меру Лебега (или другую). Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• «Почему дискретная атомарная мера должна допускать разложение на меры Дирака? Более того, что такое «атомный класс»?» . math.stackexchange.com . 24 февраля 2022 г.
• Курбатов, В.Г. (1999). Функционально-дифференциальные операторы и уравнения . Академическое издательство Клювер. ISBN  0-7923-5624-1 .

Внешние ссылки

• А. П. Терехин (2001) [1994], «Дискретная мера» , Энциклопедия Математики , EMS Press