Базовый ассортимент

В математике , особенно в теории меры , существенный диапазон или набор существенных значений интуитивно функции представляет собой «непренебрежимо малый» диапазон функции: он не меняется между двумя функциями, которые равны почти всюду . Одним из способов представления существенного диапазона функции является множество , на котором «концентрирован» диапазон функции.

Формальное определение

Позволять $(X,{\cal {A}},\mu )$ — пространство с мерой, и пусть $(Y,{\cal {T}})$ быть топологическим пространством. Для любого $({\cal {A}},\sigma ({\cal {T}}))$-измеримый $f:X\to Y$, мы говорим существенный диапазон $f$ иметь в виду набор

$\operatorname {ess.im} (f)=\left\{y\in Y\mid 0<\mu (f^{-1}(U)){\text{ for all }}U\in {\cal {T}}{\text{ with }}y\in U\right\}.$

Эквивалентно, $\operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {supp} (f_{*}\mu )$, где $f_{*}\mu$ является мерой продвижения вперед на $\sigma ({\cal {T}})$ из $\mu$ под $f$ и $\operatorname {supp} (f_{*}\mu )$ означает поддержку ​ $f_{*}\mu .$

Основные ценности

Иногда мы используем фразу « существенная ценность $f$«означать элемент существенного диапазона $f.$

Особые случаи,

Y = C

Сказать $(Y,{\cal {T}})$ является $\mathbb {C}$ оснащен своей обычной топологией. Тогда существенный диапазон f определяется выражением

$\operatorname {ess.im} (f)=\left\{z\in \mathbb {C} \mid {\text{for all}}\ \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}:0<\mu \{x\in X:|f(x)-z|<\varepsilon \}\right\}.$

Другими словами: существенный диапазон комплекснозначной функции — это набор всех комплексных чисел z таких, что прообраз каждой ε-окрестности z относительно f имеет положительную меру.

( Y , T ) дискретно

Сказать $(Y,{\cal {T}})$ является дискретным , т.е. ${\cal {T}}={\cal {P}}(Y)$ это мощности набор $Y,$ т. е. дискретная топология на $Y.$ Тогда существенным диапазоном f является набор значений y в Y со строго положительными значениями. $f_{*}\mu$-мера:

$\operatorname {ess.im} (f)=\{y\in Y:0<\mu (f^{\text{pre}}\{y\})\}=\{y\in Y:0<(f_{*}\mu )\{y\}\}.$

Свойства

• Существенная область измеримой функции, являющаяся носителем меры , всегда замкнута.
• Существенный диапазон ess.im(f) измеримой функции всегда является подмножеством ${\overline {\operatorname {im} (f)}}$.
• По сущностному образу нельзя отличить функции, почти всюду равные: если $f=g$ держит $\mu$- почти везде , то $\operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {ess.im} (g)$.
• Эти два факта характеризуют сущностный образ: это самый большой набор, содержащийся в замыканиях $\operatorname {im} (g)$ для всех g, которые ae равны f:

$\operatorname {ess.im} (f)=\bigcap _{f=g\,{\text{a.e.}}}{\overline {\operatorname {im} (g)}}$.

• Основной диапазон удовлетворяет $\forall A\subseteq X:f(A)\cap \operatorname {ess.im} (f)=\emptyset \implies \mu (A)=0$.
• Этот факт характеризует сущностный образ: это наименьшее замкнутое подмножество $\mathbb {C}$ с этим свойством.
• Существенная верхняя грань вещественнозначной функции равна верхней границе ее существенного образа, а существенная нижняя грань равна нижней нижней границе ее существенного диапазона. Следовательно, функция существенно ограничена тогда и только тогда, когда ее существенная область значений ограничена.
• Существенный образ существенно ограниченной функции f равен спектру $\sigma (f)$ где f рассматривается как элемент C *-алгебры $L^{\infty }(\mu )$.

Примеры

• Если $\mu$ — нулевая мера, то существенный образ всех измеримых функций пуст.
• Это также показывает, что даже несмотря на то, что существенный диапазон функции является подмножеством замыкания диапазона этой функции, равенство двух наборов не обязательно должно соблюдаться.
• Если $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ открыт, $f:X\to \mathbb {C}$ непрерывный и $\mu$ мера Лебега, то $\operatorname {ess.im} (f)={\overline {\operatorname {im} (f)}}$ держит. В более общем смысле это справедливо для всех борелевских мер, которые присваивают ненулевую меру каждому непустому открытому множеству.

Расширение

Понятие существенного диапазона можно распространить на случай $f:X\to Y$, где $Y$ является сепарабельным метрическим пространством.Если $X$ и $Y$ являются дифференцируемыми многообразиями одной и той же размерности, если $f\in$ ВМО $(X,Y)$ и если $\operatorname {ess.im} (f)\neq Y$, затем $\deg f=0$.

См. также

• Существенное высшее и существенное низшее
• мера
• л ^п космос

Ссылки

• Вальтер Рудин (1974). Реальный и комплексный анализ (2-е изд.). МакГроу-Хилл . ISBN  978-0-07-054234-1 .