Jump to content

Теорема о дезинтеграции

В математике теорема распада является результатом теории меры и теории вероятностей . Он строго определяет идею нетривиального «ограничения» меры на нулевое подмножество меры рассматриваемого с мерой пространства . Это связано с существованием условных вероятностных мер . В некотором смысле «дезинтеграция» — это процесс, противоположный построению меры продукта .

Мотивация [ править ]

Рассмотрим единичный квадрат в евклидовой плоскости . Рассмотрим вероятностную меру определено на ограничением двумерной меры Лебега к . То есть вероятность события это просто площадь . Мы предполагаем является измеримым подмножеством .

Рассмотрим одномерное подмножество например, отрезок прямой . имеет -измерить ноль; каждое подмножество это - нулевой набор ; поскольку пространство с мерой Лебега является полным пространством с мерой ,

Хотя это и правда, это несколько неудовлетворительно. Было бы здорово сказать это "ограничено" — одномерная мера Лебега , а не нулевая мера . Вероятность «двумерного» события тогда можно было бы получить как интеграл одномерных вероятностей вертикальных «срезов». : более формально, если обозначает одномерную меру Лебега на , затем

за любое "хорошее" . Теорема о дезинтеграции делает этот аргумент строгим в контексте мер в метрических пространствах .

Формулировка теоремы [ править ]

(далее будет обозначать совокупность борелевских вероятностных мер на топологическом пространстве .)Предположения теоремы следующие:

  • Позволять и — два пространства Радона (т. е. такое топологическое пространство , что каждая борелевская вероятностная мера на нем является внутренней регулярной , например, сепарабельно метризуемые пространства; в частности, каждая вероятностная мера на нем является непосредственно мерой Радона ).
  • Позволять .
  • Позволять измеримая по Борелю функция . Здесь следует подумать о как функция «распадания» , в смысле разделения в . Например, для приведенного выше мотивирующего примера можно определить , , что дает это , фрагмент, который мы хотим захватить.
  • Позволять быть мерой продвижения вперед . Эта мера обеспечивает распределение (что соответствует событиям ).

Вывод теоремы: существует - почти всюду однозначно определенное семейство вероятностных мер , что обеспечивает «распад» в , такой, что:

  • функция измерима по Борелю в том смысле, что — измеримая по Борелю функция для каждого измеримого по Борелю множества ;
  • «живет» на волокне : для - почти все ,
    и так ;
  • для каждой измеримой по Борелю функции ,
    В частности, для любого мероприятия , принимая быть индикаторной функцией , [1]

Приложения [ править ]

Пространства продукта [ править ]

Исходный пример представлял собой частный случай проблемы пространств произведений, к которой применима теорема дезинтеграции.

Когда записывается как декартово произведение и — естественная проекция , то каждое волокно может быть канонически отождествлен с и существует борелевское семейство вероятностных мер в (что -почти всюду однозначно определена) такая, что

что в частности [ нужны разъяснения ]
и

Связь с условным ожиданием задается тождествами

Векторное исчисление [ править ]

Теорему о дезинтеграции можно также рассматривать как оправдывающую использование «ограниченной» меры в векторном исчислении . Например, в теореме Стокса применительно к векторному полю, текущему через компактную поверхность , подразумевается, что «правильная» мера по — это распад трехмерной меры Лебега на , и что распад этой меры на ∂Σ аналогичен распаду на . [2]

Условные распределения [ править ]

Теорему дезинтеграции можно применять для строгого рассмотрения условных распределений вероятностей в статистике, избегая при этом чисто абстрактных формулировок условной вероятности. [3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Деллачери, К.; Мейер, П.-А. (1978). Вероятности и потенциал . Математические исследования Северной Голландии. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-7204-0701-Х .
  2. ^ Амбросио, Л.; Джильи, Н.; Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. ISBN  978-3-7643-2428-5 .
  3. ^ Чанг, Джей Ти; Поллард, Д. (1997). «Кондиционирование как распад» (PDF) . Статистика Неерландики . 51 (3): 287. CiteSeerX   10.1.1.55.7544 . дои : 10.1111/1467-9574.00056 . S2CID   16749932 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: daba479c4300a2cf5dce71ac9e6a2daf__1711140120
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/da/af/daba479c4300a2cf5dce71ac9e6a2daf.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Disintegration theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)