Теорема о дезинтеграции

В математике теорема распада является результатом теории меры и теории вероятностей . Он строго определяет идею нетривиального «ограничения» меры на нулевое подмножество меры рассматриваемого с мерой пространства . Это связано с существованием условных вероятностных мер . В некотором смысле «дезинтеграция» — это процесс, противоположный построению меры продукта .

Мотивация

Рассмотрим единичный квадрат $S=[0,1]\times [0,1]$ в евклидовой плоскости $\mathbb {R} ^{2}$. Рассмотрим вероятностную меру $\mu$ определено на $S$ ограничением двумерной меры Лебега $\lambda ^{2}$ к $S$. То есть вероятность события $E\subseteq S$ это просто площадь $E$. Мы предполагаем $E$ является измеримым подмножеством $S$.

Рассмотрим одномерное подмножество $S$ например, отрезок прямой $L_{x}=\{x\}\times [0,1]$. $L_{x}$ имеет $\mu$-измерить ноль; каждое подмножество $L_{x}$ это $\mu$- нулевой набор ; поскольку пространство с мерой Лебега является полным пространством с мерой ,

$$E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.$$

Хотя это и правда, это несколько неудовлетворительно. Было бы здорово сказать это $\mu$ "ограничено" $L_{x}$ — одномерная мера Лебега $\lambda ^{1}$, а не нулевая мера . Вероятность «двумерного» события $E$ тогда можно было бы получить как интеграл одномерных вероятностей вертикальных «срезов». $E\cap L_{x}$: более формально, если $\mu _{x}$ обозначает одномерную меру Лебега на $L_{x}$, затем

$$\mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d} x$$

за любое "хорошее" $E\subseteq S$. Теорема о дезинтеграции делает этот аргумент строгим в контексте мер в метрических пространствах .

Формулировка теоремы

(далее ${\mathcal {P}}(X)$ будет обозначать совокупность борелевских вероятностных мер на топологическом пространстве $(X,T)$.)Предположения теоремы следующие:

• Позволять $Y$ и $X$ — два пространства Радона (т. е. такое топологическое пространство , что каждая борелевская вероятностная мера на нем является внутренней регулярной , например, сепарабельно метризуемые пространства; в частности, каждая вероятностная мера на нем является непосредственно мерой Радона ).
• Позволять $\mu \in {\mathcal {P}}(Y)$.
• Позволять $\pi :Y\to X$ — измеримая по Борелю функция . Здесь следует подумать о $\pi$ как функция «распадания» $Y$, в смысле разделения $Y$ в $\{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}$. Например, для приведенного выше мотивирующего примера можно определить $\pi ((a,b))=a$, $(a,b)\in [0,1]\times [0,1]$, что дает это $\pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]$, фрагмент, который мы хотим захватить.
• Позволять $\nu \in {\mathcal {P}}(X)$ быть мерой продвижения вперед $\nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}$. Эта мера обеспечивает распределение $x$ (что соответствует событиям $\pi ^{-1}(x)$).

Вывод теоремы: существует $\nu$- почти всюду однозначно определенное семейство вероятностных мер $\{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)$, что обеспечивает «распад» $\mu$ в $\{\mu _{x}\}_{x\in X}$, такой, что:

• функция $x\mapsto \mu _{x}$ измерима по Борелю в том смысле, что $x\mapsto \mu _{x}(B)$ — измеримая по Борелю функция для каждого измеримого по Борелю множества $B\subseteq Y$;
• $\mu _{x}$ «живет» на волокне $\pi ^{-1}(x)$: для $\nu$- почти все $x\in X$,
  $$\mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,$$
  и так $\mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))$;
• для каждой измеримой по Борелю функции $f:Y\to [0,\infty ]$,
  $$\int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\,\mathrm {d} \nu (x).$$
  В частности, для любого мероприятия $E\subseteq Y$, принимая $f$ быть индикаторной функцией $E$,
  $$\mu (E)=\int _{X}\mu _{x}(E)\,\mathrm {d} \nu (x).$$

Приложения

Пространства продукта

Исходный пример представлял собой частный случай проблемы пространств произведений, к которой применима теорема дезинтеграции.

Когда $Y$ записывается как декартово произведение $Y=X_{1}\times X_{2}$ и $\pi _{i}:Y\to X_{i}$ — естественная проекция , то каждое волокно $\pi _{1}^{-1}(x_{1})$ может быть канонически отождествлен с $X_{2}$ и существует борелевское семейство вероятностных мер $\{\mu _{x_{1}}\}_{x_{1}\in X_{1}}$ в ${\mathcal {P}}(X_{2})$ (что $(\pi _{1})_{*}(\mu )$-почти всюду однозначно определена) такая, что

$$\mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_{1}),$$

что в частности

$$\int _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)$$

и

$$\mu (A\times B)=\int _{A}\mu \left(B\mid x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right).$$

Связь с условным ожиданием задается тождествами

$$\operatorname {E} (f\mid \pi _{1})(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1}),$$

$$\mu (A\times B\mid \pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})\cdot \mu (B\mid x_{1}).$$

Векторное исчисление

Теорему о дезинтеграции можно также рассматривать как оправдывающую использование «ограниченной» меры в векторном исчислении . Например, в теореме Стокса применительно к векторному полю, текущему через компактную поверхность $\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}$, подразумевается, что «правильная» мера по $\Sigma$ — это распад трехмерной меры Лебега $\lambda ^{3}$ на $\Sigma$, и что распад этой меры на ∂Σ аналогичен распаду $\lambda ^{3}$ на $\partial \Sigma$.

Условные распределения

Теорему дезинтеграции можно применять для строгого рассмотрения условных распределений вероятностей в статистике, избегая при этом чисто абстрактных формулировок условной вероятности.

См. также

• Теорема Ионеску-Тулчи - Теорема вероятности
• Совместное распределение вероятностей - Тип распределения вероятностей
• Копула (статистика) – статистическое распределение зависимости между случайными величинами. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Условное ожидание - ожидаемое значение случайной величины при условии, что известны определенные условия.
• Парадокс Бореля – Колмогорова
• Регулярная условная вероятность