Мера Бэра

В математике мера Бэра — это мера на σ-алгебре множеств Бэра топологического пространства , значение которой на каждом компактном множестве Бэра конечно. В компактных метрических пространствах борелевские множества и множества Бэра одинаковы, поэтому меры Бэра такие же, как и борелевские меры , конечные на компактных множествах . В общем случае множества Бэра и множества Бореля не обязательно должны быть одинаковыми. В пространствах с неберелевскими множествами используются меры Бэра, поскольку они более непосредственно связаны со свойствами непрерывных функций .

Вариации

Существует несколько неэквивалентных определений множеств Бэра , поэтому, соответственно, существует несколько неэквивалентных понятий меры Бэра в топологическом пространстве. Все они совпадают в пространствах, которые являются локально компактными σ-компактными хаусдорфовыми пространствами .

с

На практике меры Бэра можно заменить обычными мерами Бореля . Связь между мерами Бэра и регулярными мерами Бореля следующая:

• Ограничение конечной борелевской меры на множества Бэра является мерой Бэра.
• Конечная мера Бэра на компакте всегда регулярна.
• Конечная мера Бэра на компакте является ограничением единственной регулярной борелевской меры.
• В компактных (или σ-компактных) метрических пространствах борелевские множества совпадают с множествами Бэра, а борелевские меры — с мерами Бэра.

Примеры

• Считающая мера на единичном интервале — это мера на множествах Бэра, которая не является регулярной (или σ-конечной).
• (левая или правая) Мера Хаара на локально компактной группе является мерой Бэра, инвариантной относительно левого (правого) действия группы на себя. В частности, если группа является абелевой группой , левая и правая меры Хаара совпадают, и мы говорим, что мера Хаара трансляционно-инвариантна . См. также Двойственность Понтрягина .

Ссылки

• Леонард Гиллман и Мейер Джерисон , Кольца непрерывных функций , Springer Verlag № 43, 1960 г.