Регулярная мера

В математике в регулярной мерой топологическом пространстве называется мера , для которой каждое измеримое множество может быть аппроксимировано сверху открытыми измеримыми множествами, а снизу — компактными измеримыми множествами.

Определение

Пусть ( X , T ) — топологическое пространство и Σ — -алгебра на X. σ Пусть µ — мера на ( X , Σ). Измеримое подмножество A в X называется внутренне регулярным , если

\mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ compact and measurable}}\}

и называется внешним регулярным, если

\mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ open and measurable}}\}

Мера называется внутренней регулярной , если каждое измеримое множество является внутренне регулярным. Некоторые авторы используют другое определение: мера называется внутренней регулярной, если каждое открытое измеримое множество является внутренне регулярным.
Мера называется внешне регулярной, если каждое измеримое множество является внешне регулярным.
Мера называется регулярной, если она является внешне регулярной и внутренней регулярностью.

Примеры

Регулярные меры

Мера Лебега на действительной прямой является регулярной мерой: см. теорему о регулярности меры Лебега .
Любая Бэра вероятностная мера на любом локально компактном σ-компактном хаусдорфовом пространстве является регулярной мерой.
Любая борелевская вероятностная мера на локально компактном хаусдорфовом пространстве со счетной базой его топологии, или компактном метрическом пространстве, или пространстве Радона является регулярной.

Внутренние регулярные меры, не являющиеся внешними регулярными

Примером меры на вещественной прямой с ее обычной топологией, не являющейся внешне регулярной, является мера $\mu$ где $\mu (\emptyset )=0$ , $\mu \left(\{1\}\right)=0\,\,$ , и $\mu (A)=\infty \,\,$ для любого другого набора $A$ .
Борелевская мера на плоскости, которая ставит в соответствие любому борелевскому множеству сумму (1-мерных) мер его горизонтальных сечений, является внутренней регулярной, но не внешней регулярной, поскольку каждое непустое открытое множество имеет бесконечную меру. Разновидностью этого примера является непересекающееся объединение несчетного числа копий вещественной строки с мерой Лебега.
Пример меры Бореля $\mu$ на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которое является внутренним регулярным, σ-конечным и локально конечным, но не внешне регулярным, дается Бурбаки (2004 , глава IV, упражнение 5 раздела 1) следующим образом. Топологическое пространство $X$ имеет в качестве базового набора подмножество реальной плоскости, заданное y осью $\{0\}\times \mathbb {R}$ вместе с точками (1/ n , m / n ²) с m , n положительными целыми числами. Топология задается следующим образом. Отдельные точки (1/ n , m / n ²) все являются открытыми множествами. База окрестностей точки (0, y ) задается клиньями, состоящими из всех точек из X вида ( u , v ) с | в - у | ≤ | ты | ≤ 1/ n для положительного целого числа n . Это пространство X локально компактно. Мера µ задается, если ось y имеет меру 0 и точка (1/ n , m / n ²) имеют меру 1/ n ³. Эта мера является внутренней регулярной и локально конечной, но не является внешней регулярной, поскольку любое открытое множество, содержащее ось y , имеет меру бесконечности.

Внешние регулярные меры, которые не являются внутренними регулярными

Если µ — внутренняя регулярная мера в предыдущем примере, а M — мера, заданная формулой M ( S ) = inf _{U ⊇ S} µ ( U ), где inf берется по всем открытым множествам, содержащим борелевское множество S , то M — это внешняя регулярная локально конечная борелевская мера на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которая не является внутренней регулярной в сильном смысле, хотя все открытые множества являются внутренне регулярными, поэтому она является внутренней регулярной в слабом смысле. Меры M и µ совпадают на всех открытых множествах, всех компактах и всех множествах, на которых M имеет конечную меру. Ось y имеет бесконечную M -меру, хотя все ее компактные подмножества имеют меру 0.
Измеримый кардинал с дискретной топологией имеет борелевскую вероятностную меру такую, что каждое компактное подмножество имеет меру 0, поэтому эта мера является внешней регулярной, но не внутренней регулярной. Существование измеримых кардиналов не может быть доказано в теории множеств ZF, но (по состоянию на 2013 год) считается совместимым с ней.

Меры, которые не являются ни внутренними, ни внешними регулярными

Пространство всех ординалов, не более чем первому несчетному ординалу Ω, с топологией, порожденной открытыми интервалами, является компактным хаусдорфовым пространством. Мера, которая присваивает меру 1 борелевским наборам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество счетных ординалов, и присваивает 0 другим борелевским наборам, является борелевской вероятностной мерой, которая не является ни внутренней регулярной, ни внешней регулярной.

См. также

Ссылки

Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк: ISBN 0-471-19745-9 .
Бурбаки, Николя (2004). Интеграция И. Издательство Спрингер. ISBN 3-540-41129-1 .
Партасарати, КР (2005). Вероятностные меры в метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд. п. xii+276. ISBN 0-8218-3889-Х . МИСТЕР 2169627 (см. главу 2)
Дадли, РМ (1989). Реальный анализ и вероятность . Чепмен и Холл.