Мера Лебега

В теории меры разделе математики , мера Лебега , названная в честь французского математика Анри Лебега , является стандартным способом присвоения меры подмножествам , размерности более высокой евклидовых n -пространств . Для меньших размерностей n = 1, 2 или 3 он совпадает со стандартной мерой длины , площади или объёма . В общем, его еще называют n -мерным объемом , n -объемом , гиперобъемом или просто объемом . ^[1] Он используется в реальном анализе , в частности, для определения интегрирования Лебега . Множества, которым можно приписать меру Лебега, называются измеримыми по Лебегу ; мера измеримого по Лебегу множества A здесь обозначается через λ ( A ).

Анри Лебег описал эту меру в 1901 году, а годом позже за ним последовало описание интеграла Лебега . Оба были опубликованы в рамках его диссертации в 1902 году. ^[2]

Определение

Для любого интервала $I=[a,b]$ , или $I=(a,b)$ , в наборе $\mathbb {R}$ действительных чисел, пусть $\ell (I)=b-a$ обозначим его длину. Для любого подмножества $E\subseteq \mathbb {R}$ Лебега , внешняя мера ^[3] $\lambda ^{\!*\!}(E)$ определяется как нижняя грань

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.

Приведенное выше определение можно обобщить на более высокие измерения следующим образом. ^[4]Для любого прямоугольного кубоида $C$ что является декартовым произведением $C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}$ открытых интервалов, пусть $\operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})$ (произведение действительного числа) обозначают его объем.Для любого подмножества $E\subseteq \mathbb {R^{n}}$ ,

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.

Некоторые наборы $E$ удовлетворяют критерию Каратеодори , который требует, чтобы для каждого $A\subseteq \mathbb {R}$ ,

\lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).

Наборы $E$ которые удовлетворяют критерию Каратеодори, называются измеримыми по Лебегу, а их мера Лебега определяется как внешняя мера Лебега: $\lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)$ . Набор всего такого $E$ образует σ -алгебру .

Набор $E$ не удовлетворяющее критерию Каратеодори , не измеримо по Лебегу. ZFC доказывает, что неизмеримые множества существуют; Пример — наборы Виталия .

Интуиция

Первая часть определения гласит, что подмножество $E$ действительных чисел сводится к внешней мере путем покрытия множествами открытых интервалов. Каждый из этих наборов интервалов $I$ обложки $E$ в некотором смысле, поскольку объединение этих интервалов содержит $E$ . Общая длина любого набора покрывающих интервалов может переоценивать меру $E,$ потому что $E$ является подмножеством объединения интервалов, поэтому интервалы могут включать точки, не входящие в $E$ . Внешняя мера Лебега возникает как величайшая нижняя граница (нижняя грань) длин среди всех возможных таких множеств. Интуитивно понятно, что это общая длина тех наборов интервалов, которые соответствуют $E$ максимально плотно и не перекрываться.

Это характеризует внешнюю меру Лебега. Перейдет ли эта внешняя мера в собственно меру Лебега, зависит от дополнительного условия. Это условие проверяется путем взятия подмножеств $A$ действительных чисел с помощью $E$ как инструмент раскола $A$ на две части: часть $A$ который пересекается с $E$ и оставшаяся часть $A$ которого нет в $E$ : установленная разница $A$ и $E$ . Эти разделы $A$ подлежат внешней мере. Если для всех возможных таких подмножеств $A$ действительных чисел, разбиения $A$ разрезать на части $E$ иметь внешние меры, сумма которых является внешней мерой $A$ , то внешняя мера Лебега $E$ дает свою меру Лебега. Интуитивно это условие означает, что множество $E$ не должно иметь каких-либо любопытных свойств, вызывающих расхождение в мере другого множества при $E$ используется как «маска» для «обрезания» этого набора, намекая на существование множеств, для которых внешняя мера Лебега не дает меры Лебега. (Такие множества на самом деле не измеримы по Лебегу.)

Примеры

Любой замкнутый интервал [ a , b ] действительных чисел измерим по Лебегу, а его мерой Лебега является длина b − a . ( Открытый интервал a , b ) имеет одинаковую меру, поскольку разница между двумя множествами состоит только из конечных точек a и b , каждая из которых имеет нулевую меру .
Любое декартово произведение интервалов [ a , b ] и [ c , d ] измеримо по Лебегу, а его мера Лебега равна ( b - a )( d - c ) , площади соответствующего прямоугольника .
Более того, любое борелевское множество измеримо по Лебегу. Однако существуют измеримые по Лебегу множества, не являющиеся борелевскими. ^[5]^[6]
Любое счетное множество действительных чисел имеет меру Лебега 0. В частности, мера Лебега множества алгебраических чисел равна 0, даже если это множество плотно в $\mathbb {R}$ .
и Множество Кантора множество чисел Лиувилля являются примерами несчетных множеств , имеющих меру Лебега 0.
Если аксиома определенности верна, то все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Однако детерминированность несовместима с аксиомой выбора .
Множества Витали являются примерами множеств, которые не измеримы относительно меры Лебега. Их существование опирается на аксиому выбора .
Кривые Осгуда — это простые плоские кривые с положительной мерой Лебега. ^[7] (его можно получить, немного изменив конструкцию кривой Пеано ). — Кривая дракона еще один необычный пример.
Любая строка в $\mathbb {R} ^{n}$ , для $n\geq 2$ , имеет нулевую меру Лебега. В общем случае каждая собственная гиперплоскость имеет нулевую меру Лебега в своем объемлющем пространстве .
Объем n можно вычислить с помощью гамма - -шара функции Эйлера.

Характеристики

Мера Лебега на R ^н имеет следующие свойства:

Если A — произведение интервалов декартово I ₁ × I ₂ × ⋯ × I _n , то A измеримо по Лебегу и $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.$
Если A — дизъюнктное объединение непересекающихся счетного числа множеств, измеримых по Лебегу, то A само измеримо по Лебегу и λ ( A ) равно сумме (или бесконечной серии ) мер задействованных измеримых множеств.
Если A измеримо по Лебегу, то измеримо и его дополнение .
λ ( A ) ≥ 0 для любого измеримого по Лебегу множества A .
Если A и B измеримы по Лебегу и A — подмножество B , то λ ( A ) ⩽ λ ( B ). (Следствие 2.)
Счётные объединения и пересечения множеств, измеримых по Лебегу, измеримы по Лебегу. (Это не следствие 2 и 3, поскольку семейство множеств, замкнутое относительно дополнений и непересекающихся счетных объединений, не обязательно должно быть замкнутым относительно счетных объединений: $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$ .)
Если A — открытое или закрытое подмножество R ^н (или даже борелевское множество , см. метрическое пространство ), то A измеримо по Лебегу.
Если А — измеримое по Лебегу множество, то оно «приближенно открыто» и «приближенно замкнуто» в смысле меры Лебега.
Измеримое по Лебегу множество можно «втиснуть» между содержащим его открытым множеством и содержащимся замкнутым множеством. Это свойство использовалось как альтернативное определение измеримости по Лебегу. Точнее, $E\subset \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существует открытый набор $G$ и закрытый набор $F$ такой, что $F\subset E\subset G$ и $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$ . ^[8]
Измеримое по Лебегу множество можно «втиснуть» между содержащимся в G _δ множеством и содержащимся в нем F _σ . Т.е. если A измеримо по Лебегу, то существуют G _δ множество G и F _σ F такие, что G ⊇ A ⊇ F и λ ( G \ A ) = λ ( A \ F ) = 0.
Мера Лебега одновременно локально конечна и внутренне регулярна , поэтому она является мерой Радона .
Мера Лебега строго положительна на непустых открытых множествах, поэтому ее носителем является все R ^н.
Если A — измеримое по Лебегу множество с λ( A ) = 0 ( нулевое множество ), то каждое подмножество A также является нулевым множеством. Тем более , что каждое подмножество A измеримо.
Если A измеримо по Лебегу и x — элемент R ^н, то сдвиг A на x , определенный формулой A + x = { a + x : a ∈ A }, также измерим по Лебегу и имеет ту же меру, что и A .
Если A измеримо по Лебегу и $\delta >0$ , то расширение $A$ к $\delta$ определяется $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ также измерим по Лебегу и имеет меру $\delta ^{n}\lambda \,(A).$
В более общем смысле, если T — линейное преобразование , а A — измеримое подмножество R ^н, то T ( A ) также измеримо по Лебегу и имеет меру $\left|\det(T)\right|\lambda (A)$ .

Все вышесказанное можно кратко резюмировать следующим образом (хотя последние два утверждения нетривиально связаны со следующим):

Измеримые по Лебегу множества образуют σ -алгебру, содержащую все произведения интервалов, а λ — единственная полная трансляционно-инвариантная мера на этой σ-алгебре с

\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.

Мера Лебега также обладает свойством быть σ -конечной .

Нулевые наборы

Подмножество R ^н является нулевым множеством , если для любого ε > 0 его можно покрыть счетным числом произведений из n интервалов, общий объем которых не превосходит ε. Все счетные множества являются нулевыми множествами.

Если подмножество R ^н имеет хаусдорфову размерность меньше n , то это нулевое множество относительно n -мерной меры Лебега. Здесь размерность Хаусдорфа относится к евклидовой метрике на R ^н (или любую липшицеву эквивалентную ей метрику). С другой стороны, множество может иметь топологическую размерность меньше n и иметь положительную n -мерную меру Лебега. Примером этого является множество Смита – Вольтерры – Кантора , которое имеет топологическую размерность 0, но имеет положительную одномерную меру Лебега.

Чтобы показать, что данное множество A измеримо по Лебегу, обычно пытаются найти «более хорошее» множество B , которое отличается от A только нулевым набором (в том смысле, что симметричная разность ( A − B ) ∪ ( B − A ) — нулевое множество), а затем покажите, что B можно сгенерировать с помощью счетных объединений и пересечений открытых или закрытых множеств.

Построение меры Лебега.

Современная конструкция меры Лебега представляет собой применение теоремы Каратеодори о продолжении . Это происходит следующим образом.

Зафиксируйте n ∈ N. Коробка в R ^н представляет собой набор вида

B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,

где b _i ≥ a _i , а символ продукта здесь представляет декартово произведение. Объем этого ящика определяется как

\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.

Для любого подмножества A из R ^н, мы можем определить его внешнюю меру λ *( A ) следующим образом:

\lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.

Затем мы определяем множество A как измеримое по Лебегу, если для любого подмножества S из R ^н,

\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.

Эти измеримые по Лебегу множества образуют σ -алгебру , а мера Лебега определяется соотношением λ ( A ) = λ *( A ) для любого измеримого по Лебегу множества A .

Существование множеств, не измеримых по Лебегу, является следствием теоретико-множественной аксиомы выбора , которая не зависит от многих обычных систем аксиом теории множеств . Теорема Витали , следующая из аксиомы, утверждает, что существуют подмножества R , которые не измеримы по Лебегу. Предполагая аксиому выбора, неизмеримые множества были продемонстрированы со многими удивительными свойствами, такими как парадокс Банаха-Тарского .

В 1970 году Роберт М. Соловей показал, что существование множеств, которые не измеримы по Лебегу, недоказуемо в рамках теории множеств Цермело – Френкеля в отсутствие аксиомы выбора (см. модель Соловея ). ^[9]

Связь с другими мерами

Мера Бореля согласуется с мерой Лебега на тех множествах, для которых она определена; однако множеств, измеримых по Лебегу, гораздо больше, чем множеств, измеримых по Борелю. Мера Бореля является трансляционно-инвариантной, но не полной .

Мера Хаара может быть определена на любой локально компактной группе и является обобщением меры Лебега ( R ^н со сложением является локально компактной группой).

Мера Хаусдорфа — это обобщение меры Лебега, которое полезно для измерения подмножеств R ^н размерностей меньших, чем n , как подмногообразия , например, поверхности или кривые в R ³ и фрактальные множества. Меру Хаусдорфа не следует путать с понятием размерности Хаусдорфа .

Можно показать, что не существует бесконечномерного аналога меры Лебега .

См. также

Ссылки

^ Термин «объем» также используется, более строго, как синоним трехмерного объема.
^ Лебег, Х. (1902). «Интеграл, Длина, Площадь» . Анналы чистой и прикладной математики . 7 : 231–359. дои : 10.1007/BF02420592 . S2CID 121256884 .
^ Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 56. ИСБН 0-02-404151-3 .
^ «Лебег-Масс» . 29 августа 2022 г. Проверено 9 марта 2023 г. - из Википедии.
^ Асаф Карагила. «Какие множества измеримы по Лебегу?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.
^ Асаф Карагила. «Существует ли на R сигма-алгебра строго между алгебрами Бореля и Лебега?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.
^ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жордановая кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество: 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
^ Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 293 . ISBN 9780521497565 .
^ Соловей, Роберт М. (1970). «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу». Анналы математики . Вторая серия. 92 (1): 1–56. дои : 10.2307/1970696 . JSTOR 1970696 .

[1] Термин «объем» также используется, более строго, как синоним трехмерного объема.

[2] Лебег, Х. (1902). «Интеграл, Длина, Площадь» . Анналы чистой и прикладной математики . 7 : 231–359. дои : 10.1007/BF02420592 . S2CID 121256884 .

[3] Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 56. ИСБН 0-02-404151-3 .

[4] «Лебег-Масс» . 29 августа 2022 г. Проверено 9 марта 2023 г. - из Википедии.

[5] Асаф Карагила. «Какие множества измеримы по Лебегу?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.

[6] Асаф Карагила. «Существует ли на R сигма-алгебра строго между алгебрами Бореля и Лебега?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.

[7] Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жордановая кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество: 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

[8] Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 293 . ISBN 9780521497565 .

[9] Соловей, Роберт М. (1970). «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу». Анналы математики . Вторая серия. 92 (1): 1–56. дои : 10.2307/1970696 . JSTOR 1970696 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]