Измерение

Эта статья о размерах пространства. Чтобы узнать о размерах объекта, см. размер . Информацию о размерности величины см. в разделе Анализ размерностей . Чтобы узнать о других значениях, см. Измерение (значения) .

Слева направо: квадрат , куб и тессеракт . Квадрат двумерен (2D) и ограничен одномерными отрезками ; куб трехмерен (3D) и ограничен двумерными квадратами; тессеракт четырехмерен (4D) и ограничен трехмерными кубами.

Первые четыре пространственных измерения представлены в двухмерной картинке.

1. Две точки можно соединить, чтобы создать сегмент линии .
2. Два параллельных отрезка линии можно соединить, образуя квадрат .
3. Два параллельных квадрата можно соединить в куб .
4. Два параллельных куба можно соединить в тессеракт .

В физике и математике размерность ) математического пространства (или объекта неформально определяется как минимальное количество координат, необходимых для указания любой точки внутри него. Таким образом, линия имеет размерность единица (1D), поскольку для указания точки на ней необходима только одна координата — например, точка 5 на числовой прямой. Поверхность широта , такая как граница цилиндра (2D), поскольку или сферы , имеет размерность два для указания точки на ней необходимы две координаты — например, для определения местоположения точки на поверхности необходимы как так и долгота. , сферы. Двумерное евклидово пространство — это двумерное пространство на плоскости . Внутренняя часть куба , цилиндра или сферы трехмерна (3D), поскольку для определения местоположения точки в этих пространствах необходимы три координаты.

В классической механике пространство и время представляют собой разные категории и относятся к абсолютному пространству и времени . Эта концепция мира представляет собой четырехмерное пространство , но не то, которое было признано необходимым для описания электромагнетизма . Четыре измерения (4D) пространства-времени состоят из событий , которые не абсолютно определены в пространстве и времени, а скорее известны относительно движения наблюдателя . Пространство Минковского сначала приближается к Вселенной без гравитации ; псевдоримановы многообразия описывают общей теории относительности пространство-время с материей и гравитацией. 10 измерений используются для описания теории суперструн (6D-гиперпространство + 4D), 11 измерений могут описывать супергравитацию и М-теорию (7D-гиперпространство + 4D), а пространство состояний квантовой механики представляет собой бесконечномерное функциональное пространство .

Понятие измерения не ограничивается физическими объектами. Многомерные пространства часто встречаются в математике и естественных науках . Это могут быть евклидовы пространства или пространства более общих параметров или пространства конфигураций , такие как лагранжева или гамильтонова механика ; это абстрактные пространства , независимые от физического пространства .

По математике

В математике размерность объекта — это, грубо говоря, количество степеней свободы точки, которая движется по этому объекту. Другими словами, размерность — это количество независимых параметров или координат , которые необходимы для определения положения точки, которая должна находиться на объекте. Например, размерность точки равна нулю; размерность линии равна единице, так как точка может двигаться по линии только в одном направлении (или противоположном ему); размерность плоскости равна двум и т. д.

Размерность — это внутреннее свойство объекта в том смысле, что оно не зависит от размерности пространства, в котором объект находится или может быть встроен. Например, кривая , такая как окружность , имеет размерность один, поскольку положение точки на кривой определяется ее знаковым расстоянием вдоль кривой до фиксированной точки на кривой. Это не зависит от того факта, что кривая не может быть вложена в евклидово пространство размерности меньше двух, если только она не является линией.

Размерность евклидова n -пространства E ^н это н . При попытке обобщить другие типы пространств возникает вопрос: «Что делает E ^н n -мерный?" Один из ответов состоит в том, что для покрытия фиксированного шара в E ^н маленькими шариками радиуса ε нужно порядка ε ^{− п} такие маленькие шарики. Это наблюдение приводит к определению измерения Минковского и его более сложного варианта, измерения Хаусдорфа , но есть и другие ответы на этот вопрос. Например, граница шара в E ^н локально выглядит как E ^{п -1} и это приводит к понятию индуктивной размерности . Хотя эти понятия согласуются с E ^н , они оказываются разными, если взглянуть на более общие пространства.

Тессеракт — это пример четырехмерного объекта. В то время как за пределами математики термин «размерность» используется следующим образом: «Тессеракт имеет четыре измерения », математики обычно выражают это так: «Тессеракт имеет измерение 4 », или: «Размерность тессеракта равна 4» или: 4Д.

Хотя понятие высших измерений восходит к Рене Декарту , существенное развитие многомерной геометрии началось только в 19 веке благодаря работам Артура Кэли , Уильяма Роуэна Гамильтона , Людвига Шлефли и Бернхарда Римана . Римана 1854 года Habilitationsschrift Шлефли 1852 года , Theorie der vielfachen Continuität , а также открытие Гамильтоном кватернионов и открытие Т. Грейвсом Джоном октонионов в 1843 году положили начало многомерной геометрии.

В оставшейся части этого раздела рассматриваются некоторые наиболее важные математические определения размерности.

Векторные пространства

Основная статья: Измерение (векторное пространство)

Размерность векторного пространства — это количество векторов в любом базисе пространства, т.е. количество координат, необходимых для задания любого вектора. Это понятие размерности ( мощности базиса) часто называют размерностью Гамеля или алгебраической размерностью, чтобы отличить его от других понятий размерности.

Для несвободного случая это обобщается до понятия длины модуля .

Коллекторы

однозначно определенную размерность каждого связного топологического многообразия Можно вычислить . Связное топологическое многообразие локально гомеоморфно евклидову n -пространству, в котором число n является размерностью многообразия.

Для связных дифференцируемых многообразий размерность также является размерностью касательного векторного пространства в любой точке.

В геометрической топологии теория многообразий характеризуется тем, что измерения 1 и 2 являются относительно элементарными, многомерные случаи n > 4 упрощаются за счет наличия дополнительного пространства для «работы»; а случаи n = 3 и 4 в некотором смысле являются наиболее трудными. Такое положение дел было ярко выражено в различных случаях гипотезы Пуанкаре , в которых применяются четыре различных метода доказательства.

Комплексное измерение

Размерность многообразия зависит от основного поля, относительно которого определяется евклидово пространство. Хотя анализ обычно предполагает, что многообразие основано на действительных числах , иногда при изучении комплексных многообразий и алгебраических многообразий полезно вместо этого работать с комплексными числами . Комплексное число ( x + iy ) имеет действительную часть x и мнимую часть y , в которой x и y являются действительными числами; следовательно, комплексное измерение вдвое меньше реального.

И наоборот, в алгебраически неограниченном контексте одна комплексная система координат может быть применена к объекту, имеющему два действительных измерения. Например, обычная двумерная сферическая поверхность , если ей задана комплексная метрика, становится сферой Римана одного комплексного измерения.

Разновидности

Основная статья: Размерность алгебраического многообразия

Размерность алгебраического многообразия можно определить различными эквивалентными способами. Самый интуитивный способ, вероятно, — это измерение размерности касательного пространства в любой регулярной точке алгебраического многообразия . Другой интуитивный способ — определить размерность как количество гиперплоскостей , необходимых для пересечения с многообразием, сведенным к конечному числу точек (нулевая размерность). Это определение основано на том факте, что пересечение многообразия с гиперплоскостью уменьшает размерность на единицу, если только гиперплоскость не содержит многообразие.

Алгебраическое множество представляет собой конечное объединение алгебраических многообразий, его размерность равна максимальной размерности его компонентов. Она равна максимальной длине цепей $V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{d}$ подмногообразий данного алгебраического множества (длина такой цепочки равна числу " $\subsetneq$").

Каждое многообразие можно рассматривать как алгебраическую стопку , и его размерность как разнообразия согласуется с его размерностью как стека. Однако существует множество стопок, которые не соответствуют разновидностям, и некоторые из них имеют отрицательное измерение. В частности, если V — многообразие размерности m , а G — алгебраическая группа размерности n, действующая на V , то стек факторов [ V / G ] имеет размерность m − n .

Измерение Крулла

Размерность Крулля коммутативного кольца — это максимальная длина цепочек простых идеалов в нем, причем цепочкой длины n является последовательность ${\mathcal {P}}_{0}\subsetneq {\mathcal {P}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {P}}_{n}$ простых идеалов, связанных включением. Оно тесно связано с размерностью алгебраического многообразия из-за естественного соответствия между подмногообразиями и простыми идеалами кольца многочленов на многообразии.

Для алгебры над полем размерность векторного пространства конечна тогда и только тогда, когда ее размерность Крулля равна 0.

Топологические пространства

Для любого нормального топологического пространства X X размерность покрытия Лебега определяется n как наименьшее целое число , для которого выполняется следующее: любое открытое покрытие имеет открытое уточнение (второе открытое покрытие, в котором каждый элемент является подмножеством элемента из первое покрытие) такое, что ни одна точка не входит более чем в n + 1 элемент. В этом случае dim X = n . Для X многообразия это совпадает с упомянутой выше размерностью. Если такого целого числа n не существует, то размерность X называется бесконечной и пишут dim X = ∞ . Более того, X имеет размерность −1, т. е. dim X = −1 тогда и только тогда, когда X пусто. Это определение накрывающей размерности можно распространить с класса нормальных пространств на все тихоновские пространства, просто заменив в определении термин «открытый» термином « функционально открытый ».

Индуктивный размер можно определить индуктивно следующим образом. Считайте дискретный набор точек (например, конечный набор точек) 0-мерным. Перетаскивая 0-мерный объект в некотором направлении, можно получить 1-мерный объект. Перетаскивая одномерный объект в новом направлении , можно получить двухмерный объект. Обычно можно получить ( n + 1 )-мерный объект, перетаскивая n- мерный объект в новом направлении. Индуктивная размерность топологического пространства может относиться к малой индуктивной размерности или большой индуктивной размерности и основана на аналогии, согласно которой в случае метрических пространств ( n + 1 )-мерные шары имеют n -мерные границы , что позволяет индуктивное определение, основанное на размерности границ открытых множеств. Более того, граница дискретного набора точек является пустым множеством, и поэтому пустое множество можно считать размерностью -1.

Аналогично, для класса CW-комплексов размерность объекта равна наибольшему n, для которого n -скелет нетривиален. Интуитивно это можно описать следующим образом: если исходное пространство можно непрерывно деформировать в набор треугольников более высокой размерности, соединенных на своих гранях сложной поверхностью, то размерность объекта равна размерности этих треугольников.

См. также: Размерность схемы.

Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа полезна для изучения структурно сложных множеств, особенно фракталов . Размерность Хаусдорфа определена для всех метрических пространств и, в отличие от рассмотренных выше размерностей, может иметь и нецелые действительные значения. Размерность коробки или размерность Минковского — это вариант той же идеи. В общем, существует больше определений фрактальных размерностей , которые работают для сильно нерегулярных множеств и достигают нецелочисленных положительных действительных значений.

Гильбертовы пространства

Каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис , и любые два таких базиса для конкретного пространства имеют одинаковую мощность . Эта мощность называется размерностью гильбертова пространства. пространства Это измерение конечно тогда и только тогда, когда размерность Гамеля конечна, и в этом случае два измерения совпадают.

По физике

Пространственные размеры

Теории классической физики описывают три физических измерения : из определенной точки пространства мы можем двигаться в основных направлениях: вверх/вниз, влево/вправо и вперед/назад. Движение в любом другом направлении можно выразить только через эти три. Перемещение вниз аналогично перемещению вверх на отрицательное расстояние. Движение по диагонали вверх и вперед соответствует названию направления; т. е . перемещение в линейной комбинации вверх и вперед. В своей простейшей форме: линия описывает одно измерение, плоскость описывает два измерения, а куб описывает три измерения. (См. Пространство и декартова система координат .)

Количество размеры	Пример системы координат
1	Числовая линия Угол
2	Декартово   (двумерное) Полярный Широта и долгота
3	Декартовский (трехмерный) Цилиндрический сферический

Время

Временное измерение или измерение времени — это измерение времени. По этой причине время часто называют « четвертым измерением », но это не означает, что оно является пространственным измерением. . Временное измерение — это один из способов измерения физических изменений. Оно воспринимается иначе, чем три пространственных измерения, тем, что оно существует только одно, и что мы не можем свободно перемещаться во времени, а субъективно движемся в одном направлении .

Уравнения, используемые в физике для моделирования реальности, не рассматривают время так, как его обычно воспринимают люди. Уравнения классической механики симметричны относительно времени , а уравнения квантовой механики обычно являются симметричными, если и время, и другие величины (такие как заряд и четность ) меняются местами. В этих моделях восприятие времени, текущего в одном направлении, является артефактом законов термодинамики (мы воспринимаем время как текущее в направлении увеличения энтропии ).

Самая известная трактовка времени как измерения — это и Эйнштейна ( Пуанкаре специальная теория относительности и расширенная до общей теории относительности ), которая рассматривает воспринимаемое пространство и время как компоненты четырехмерного многообразия , известного как пространство-время , и в специальной теории, плоский случай как пространство Минковского . Время отличается от других пространственных измерений, поскольку время действует во всех пространственных измерениях. Время действует в первом, втором и третьем, а также в теоретических пространственных измерениях, таких как четвертое пространственное измерение . Однако время не присутствует ни в одной точке абсолютной бесконечной сингулярности , определенной как геометрическая точка , поскольку бесконечно малая точка не может иметь никаких изменений и, следовательно, не иметь времени. Точно так же, как когда объект перемещается по позициям в пространстве, он также перемещается по позициям во времени. В этом смысле сила, заставляющая любой объект изменяться, — это время .

Дополнительные размеры

В физике общепринятой нормой является три измерения пространства и одно измерение времени. Однако существуют теории, которые пытаются объединить четыре фундаментальные силы путем введения дополнительных измерений / гиперпространства . В частности, теория суперструн требует 10 измерений пространства-времени и берет свое начало из более фундаментальной 11-мерной теории, предварительно названной М-теорией , которая объединяет пять ранее различных теорий суперструн. Теория супергравитации также утверждает, что 11-мерное пространство-время = 7-мерное гиперпространство + 4 общих измерения. На сегодняшний день нет прямых экспериментальных или наблюдательных доказательств, подтверждающих существование этих дополнительных измерений. Если гиперпространство существует, оно должно быть скрыто от нас каким-то физическим механизмом. Одна из хорошо изученных возможностей заключается в том, что дополнительные измерения могут быть «свернуты» в таких крошечных масштабах, что они будут фактически невидимы для текущих экспериментов.

В 1921 году теория Калуцы-Клейна представила 5D, включая дополнительное измерение пространства. На уровне квантовой теории поля теория Калуцы-Клейна объединяет гравитацию с калибровочными взаимодействиями, основываясь на осознании того, что гравитация, распространяющаяся в небольших, компактных дополнительных измерениях, эквивалентна калибровочным взаимодействиям на больших расстояниях. В частности, когда геометрия дополнительных измерений тривиальна, она воспроизводит электромагнетизм . Однако при достаточно высоких энергиях или коротких расстояниях эта установка по-прежнему страдает теми же патологиями, которые, как известно, препятствуют прямым попыткам описать квантовую гравитацию . Следовательно, эти модели по-прежнему требуют УФ-дополнения , такого типа, которое призвана обеспечить теория струн. В частности, теория суперструн требует шести компактных измерений (6D-гиперпространства), образующих многообразие Калаби – Яу . Таким образом, теорию Калуцы-Клейна можно рассматривать либо как неполное описание само по себе, либо как подмножество построения модели теории струн.

Помимо маленьких и свернутых дополнительных измерений, могут существовать дополнительные измерения, которые вместо этого не очевидны, поскольку материя, связанная с нашей видимой Вселенной, локализована в (3 + 1)-мерном подпространстве. Таким образом, дополнительные измерения не обязательно должны быть маленькими и компактными, но могут быть и большими . D-браны — это динамические расширенные объекты различной размерности, предсказанные теорией струн, которые могут играть эту роль. Они обладают тем свойством, что возбуждения открытых струн, связанные с калибровочными взаимодействиями, ограничены браной своими конечными точками, тогда как закрытые струны, опосредующие гравитационное взаимодействие, могут свободно распространяться во всем пространстве-времени или «массе». Это может быть связано с тем, почему гравитация экспоненциально слабее, чем другие силы, поскольку она эффективно растворяется по мере распространения в объем более высокого измерения.

Некоторые аспекты физики бран были применены в космологии . Например, космология газа на бране попытки объяснить, почему существует три измерения пространства, используя топологические и термодинамические соображения. Согласно этой идее, так и есть, поскольку три — это наибольшее число пространственных измерений, в которых струны могут пересекаться. Если изначально существует множество витков струн вокруг компактных размеров, пространство может расшириться до макроскопических размеров только после устранения этих витков, что требует, чтобы струны с противоположной обмоткой нашли друг друга и аннигилировали. Но струны могут находить друг друга, чтобы аннигилировать со значительной скоростью только в трех измерениях, из чего следует, что только в трех измерениях пространства разрешено увеличиваться в размерах при такой начальной конфигурации.

Дополнительные измерения называются универсальными , если все поля могут распространяться внутри них одинаково свободно.

В компьютерной графике и пространственных данных

Основная статья: Геометрический примитив

Несколько типов цифровых систем основаны на хранении, анализе и визуализации геометрических фигур, включая программное обеспечение для иллюстраций , системы автоматизированного проектирования и географические информационные системы . Различные векторные системы используют самые разнообразные структуры данных для представления фигур, но почти все они в основе своей основаны на наборе геометрических примитивов, соответствующих пространственным измерениям:

• Точка (0-мерная), одна координата в декартовой системе координат .
• Линия или полилиния (1-мерная), обычно представленная в виде упорядоченного списка точек, выбранных из непрерывной линии, после чего ожидается, что программное обеспечение интерполирует промежуточную форму линии в виде сегментов прямой или изогнутой линии.
• Многоугольник (двумерный), обычно представленный как линия, закрывающаяся в своих конечных точках, представляющая границу двухмерной области. Ожидается, что программное обеспечение будет использовать эту границу для разделения двухмерного пространства на внутреннее и внешнее.
• Поверхность (3-мерная), представленная с использованием различных стратегий, например многогранник, состоящий из соединенных граней многоугольника. Ожидается, что программное обеспечение будет использовать эту поверхность для разделения трехмерного пространства на внутреннюю и внешнюю части.

Часто в этих системах, особенно в ГИС и картографии , представление явлений реального мира может иметь другое (обычно более низкое) измерение, чем представляемое явление. Например, город (двумерный регион) может быть представлен в виде точки, а дорога (трехмерный объем материала) может быть представлена ​​в виде линии. Это размерное обобщение коррелирует с тенденциями пространственного познания. Например, вопрос о расстоянии между двумя городами предполагает концептуальную модель городов в виде точек, тогда как указание направлений движения «вверх», «вниз» или «вдоль» дороги подразумевает одномерную концептуальную модель. Это часто делается в целях эффективности данных, визуальной простоты или когнитивной эффективности и приемлемо, если понятно различие между представлением и представляемым, но может вызвать путаницу, если пользователи информации предполагают, что цифровая форма является идеальным представлением реальности. (т.е. верить в то, что дороги на самом деле являются линиями).

Дополнительные размеры

• Степени свободы
  • по механике
  • по физике и химии
  • в статистике
• Внешний размер
• показатель Херста
• Изопериметрический размер
• Метрический размер
• Размер заказа
• q -размерность
  • Фрактал ( q = 1)
  • Корреляция ( q = 2)

Список тем по параметрам

• Ноль
  • Точка
  • Нульмерное пространство
  • Целое число
• Один
  • Линия
  • Изгиб
  • Граф (комбинаторика)
  • Действительное число
  • Длина
• Два
  • Самолет
  • Поверхность
  • Полигон
  • Сеть
  • Комплексное число
  • Декартова система координат
  • Список однородных мозаик
  • Область
• Три
  • Платоново твердое тело
  • Многогранник
  • Стереоскопия (3-D визуализация)
  • 3-многообразие
  • Ось вращения
  • Узлы
  • Наклонить линии
  • Наклон многоугольника
  • Объем
• Четыре
  • Пространство-время
  • Четвертое пространственное измерение
  • Выпуклый правильный 4-многогранник
  • Кватернион
  • 4-многообразие
  • Полихорон
  • Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве
  • Четвертое измерение в искусстве
  • Четвертое измерение в литературе
• Высшие измерения
  • по математике
    • Октонион
    • Векторное пространство
    • Плоскость вращения
    • Проклятие размерности
  • по физике
    • Теория Калуцы – Клейна
    • Теория струн
    • М-теория
• бесконечный
  • Гильбертово пространство
  • Функциональное пространство

См. также

• Измерение (хранилище данных)
  • Таблицы размеров
• Размерный анализ
• Гиперпространство (значения)
• Внутреннее измерение
• Многомерный анализ
• Кривая заполнения пространства
• Средний размер
• Флатландия

Дальнейшее чтение

• Мурти, Катта Г. (2014). «1. Системы одновременных линейных уравнений» (PDF) . Вычислительная и алгоритмическая линейная алгебра и n-мерная геометрия . Мировое научное издательство. дои : 10.1142/8261 . ISBN  978-981-4366-62-5 .
• Эбботт, Эдвин А. (1884). Флатландия: многомерный роман . Лондон: Seely & Co.
  • —. Флатландия: ... Проект Гутенберг .
  • —; Стюарт, Ян (2008). Аннотированная Флатландия: многомерный роман . Основные книги. ISBN  978-0-7867-2183-2 .
• Банчофф, Томас Ф. (1996). За пределами третьего измерения: геометрия, компьютерная графика и высшие измерения . Научная американская библиотека. ISBN  978-0-7167-6015-3 .
• Пиковер, Клиффорд А. (2001). Серфинг в гиперпространстве: понимание высших вселенных за шесть простых уроков . Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-992381-6 .
• Ракер, Руди (2014) [1984]. Четвертое измерение: к геометрии высшей реальности . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-77978-2 . Предварительный просмотр Google
• Каку, Мичио (1994). Гиперпространство: научная одиссея через 10-е измерение . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-286189-4 .
• Краусс, Лоуренс М. (2005). Спрятавшись в зеркале . Викинг Пресс. ISBN  978-0-670-03395-9 .

Внешние ссылки

• Коупленд, Эд (2009). «Дополнительные измерения» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .