Измерение корреляции

В теории хаоса корреляционная размерность (обозначаемая ν ) — это мера размерности пространства , занимаемого набором случайных точек, часто называемая разновидностью фрактальной размерности .

Например, если у нас есть набор случайных точек на линии действительных чисел между 0 и 1, корреляционная размерность будет ν = 1, а если они распределены, скажем, по треугольнику, встроенному в трехмерное пространство (или m — в многомерном пространстве) корреляционная размерность будет ν = 2. Это то, что мы интуитивно ожидаем от меры размерности. Реальная польза корреляционного измерения заключается в определении (возможно, дробных) размеров фрактальных объектов. Существуют и другие методы измерения размеров (например , размерность Хаусдорфа , размерность подсчета ящиков и метод измерения размеров). информационное измерение ), но корреляционное измерение имеет то преимущество, что оно легко и быстро рассчитывается, менее зашумлено, когда доступно лишь небольшое количество точек, и часто согласуется с другими вычислениями размерности.

Для любого набора из N точек m -мерного пространства

${\vec {x}}(i)=[x_{1}(i),x_{2}(i),\ldots ,x_{m}(i)],\qquad i=1,2,\ldots N$

тогда корреляционный интеграл C ( ε ) вычисляется по формуле:

$C(\varepsilon )=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {g}{N^{2}}}$

где g — общее количество пар точек, расстояние между которыми меньше расстояния ε (графическим представлением таких близких пар является рекуррентный график ). Поскольку число точек стремится к бесконечности, а расстояние между ними стремится к нулю, корреляционный интеграл для малых значений ε примет вид:

$C(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\nu }$

Если количество точек достаточно велико и равномерно распределено, логарифмический график корреляционного интеграла в зависимости от ε даст оценку ν . Эту идею можно качественно понять, если осознать, что для объектов более высоких измерений будет больше способов сблизиться друг с другом, и поэтому количество пар, близких друг к другу, будет расти быстрее для более высоких измерений.

Грассбергер и Прокачча представили эту технику в 1983 году; в статье приведены результаты таких оценок для ряда фрактальных объектов, а также сравнение значений с другими мерами фрактальной размерности. Этот метод можно использовать для различения (детерминированного) хаотического и действительно случайного поведения, хотя он может оказаться неэффективным для обнаружения детерминированного поведения, если детерминированный механизм генерации очень сложен.

Например, в статье «Солнце во времени»: метод был использован, чтобы показать, что количество солнечных пятен на Солнце после учета известных циклов, таких как суточный и 11-летний циклы, скорее всего, представляет собой не случайный шум, а скорее хаотический шум с низкоразмерным фрактальным аттрактором. .

См. также

• Теорема Такенса
• Корреляционный интеграл
• Количественный анализ рецидивов
• Приблизительная энтропия